考慮老化時(shí)間影響的隔震支座橡膠本構(gòu)Moony-Rivlin模型常數(shù)研究

李艷敏， 馬玉宏, 羅佳潤(rùn), 趙桂峰

(1.廣州大學(xué) 工程抗震研究中心，廣州　510405；2. 上海筑房工程科技有限公司，上?！?00062；3.廣州大學(xué) 土木工程學(xué)院，廣州　510006)

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考慮老化時(shí)間影響的隔震支座橡膠本構(gòu)Moony-Rivlin模型常數(shù)研究

李艷敏1， 馬玉宏1, 羅佳潤(rùn)2, 趙桂峰3

(1.廣州大學(xué) 工程抗震研究中心，廣州510405；2. 上海筑房工程科技有限公司，上海200062；3.廣州大學(xué) 土木工程學(xué)院，廣州510006)

目前Moony-Rivlin模型被廣泛應(yīng)用于橡膠隔震支座的有限元分析中，其中，材料常數(shù)的標(biāo)定是關(guān)鍵環(huán)節(jié)。為充分了解老化作用對(duì)橡膠材料常數(shù)的影響，采用最小二乘擬合法計(jì)算老化試驗(yàn)后的Moony-Rivlin模型材料常數(shù)，擬合出材料常數(shù)隨老化時(shí)間的變化關(guān)系式，提出了修正Moony-Rivlin模型，并將擬合值和計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比。最后，根據(jù)上述方法確定的材料常數(shù)用Abaqus軟件對(duì)隔震橡膠支座老化前后的性能進(jìn)行了模擬分析，并將有限元分析結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明：隨著老化時(shí)間的增加，Moony-Rivlin模型常數(shù)逐漸增大；老化前、后橡膠隔震支座的豎向剛度、水平剛度試驗(yàn)測(cè)試與有限元模擬值的誤差均在可接受的范圍內(nèi)，驗(yàn)證了所建立修正本構(gòu)模型的準(zhǔn)確性，可為橡膠隔震支座老化性能的研究和橋梁等結(jié)構(gòu)全壽命性能設(shè)計(jì)提供理論支撐。

Moony-Rivlin模型常數(shù)；橡膠；老化；有限元分析

早在19世紀(jì)，橡膠材料因其良好的黏彈性，被廣泛用作飛機(jī)、火車、汽車、船舶和建筑物的減震部件。但是，因?yàn)橄鹉z材料的復(fù)雜分子特性、材料和幾何的雙重非線性以及溫度、荷載時(shí)間、應(yīng)變量等多種因素的復(fù)雜影響，所以橡膠材料力學(xué)性能的計(jì)算就顯得十分困難[1-3]。有限元分析方法的廣泛推廣為橡膠制品的工程模擬提供了廣闊的發(fā)展前景。而有限元模擬分析結(jié)果的準(zhǔn)確性與所采用橡膠本構(gòu)關(guān)系模型以及模型中材料常數(shù)的準(zhǔn)確性有著密切聯(lián)系。隨著跨海橋梁的不斷發(fā)展，橡膠隔震支座在復(fù)雜海洋環(huán)境中的老化現(xiàn)象較為嚴(yán)重，但橡膠隔震支座有限元分析中普遍采用的橡膠本構(gòu)模型Moony-Rivlin常數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化，以及變化規(guī)律如何是目前急需解決的科學(xué)問題。

老化對(duì)橡膠材料性能的影響一直受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，并建立了許多不同的理論本構(gòu)模型：RIVLIN[2]認(rèn)為橡膠各向同性，且拉壓性質(zhì)相同，將應(yīng)變能密度函數(shù)改成了級(jí)數(shù)的形式，為Moony-Rivlin模型的發(fā)展提供了理論條件；NAMJOO等[4]在用數(shù)值模擬輪胎、土壤的相互作用時(shí)采用了三維有限元模型，其中采用Moony-Rivlin模型分析了不可壓縮橡膠輪胎的性能；余超等[5]在研究熱空氣和海水對(duì)橡膠的老化行為時(shí)，擬合出了兩種環(huán)境下力學(xué)性能指標(biāo)與老化時(shí)間的關(guān)系；左亮等[6]采用理論估算確定Moony-Rivlin模型材料常數(shù)；黃建龍等[7]采用Ansys有限元分析軟件對(duì)橡膠材料的Moony-Rivlin模型和Yeoh模型進(jìn)行分析對(duì)比研究；左亮等[8]在橡膠小變形范圍內(nèi)，采用理論推導(dǎo)的方法，得到在相同硬度下橡膠Moony-Rivlin 模型材料系數(shù)的關(guān)系式；仲健林等[9]通過開展橡膠材料單軸拉伸試驗(yàn)，并結(jié)合Exp-ln超彈性體本構(gòu)模型和廣義黏彈性方法，提出了一種描述橡膠材料不同應(yīng)變率下力學(xué)響應(yīng)的超彈性本構(gòu)模型。以上研究大多側(cè)重理論推導(dǎo)，缺少較好的試驗(yàn)依據(jù)，難以充分考慮老化作用給橡膠材料性能產(chǎn)生的影響，更不能很好地解決老化作用引起的橡膠材料性能隨時(shí)間變化的問題。

為解決上述問題，本文以Moony-Rivlin模型為例，根據(jù)老化試驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用最小二乘擬合法對(duì)橡膠在老化試驗(yàn)過程中獲得的材料常數(shù)進(jìn)行了分析，得出了橡膠材料常數(shù)隨老化時(shí)間的時(shí)變規(guī)律。最后，通過有限元模擬與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比分析，驗(yàn)證本文研究成果的準(zhǔn)確性，為今后深入研究復(fù)雜海洋環(huán)境中的橡膠隔震支座性能變化規(guī)律提供理論基礎(chǔ)，為近海隔震結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供參考。

1　Moony-Rivlin模型的本構(gòu)關(guān)系

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者主要采用統(tǒng)計(jì)理論和唯象理論這兩種方法來研究橡膠材料本構(gòu)關(guān)系中的應(yīng)變能密度函數(shù)[1，10-12]。本文主要采用唯象理論。

唯象理論在處理橡膠材料時(shí)認(rèn)為橡膠材料的變形都是各向同性的超彈性材料的均勻變形。隨著橡膠材料本構(gòu)關(guān)系研究的不斷發(fā)展，建立了很多不同的本構(gòu)模型，這些模型都屬于應(yīng)變能函數(shù)的某種特殊形式。橡膠材料應(yīng)變能函數(shù)有兩種表達(dá)方式，即用變形張量的三個(gè)不變量I1、I2和I3來表示的應(yīng)變能函數(shù)W(I1,I2,I3)；用主伸長(zhǎng)比λ1、λ2和λ3的關(guān)系式來表示的W(λ1,λ2,λ3)。三個(gè)變形張量不變量與三個(gè)主伸長(zhǎng)比的關(guān)系式如下：

I1=λ12+λ22+λ32

(1)

I2=λ12λ22+λ22λ32+λ12λ32

(2)

I3=λ12λ22λ32

(3)

λi=1+εi

(4)

式中：Ii為變形張量不變量；λi為定義的伸長(zhǎng)比；εi為主軸方向的應(yīng)變，i=1，2,3

橡膠材料這種超彈性材料的應(yīng)變能函數(shù)轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式形式后，可由應(yīng)變偏量能和體積應(yīng)變兩部分之和構(gòu)成，表示如下：

(5)

式中：N為多項(xiàng)式階數(shù)；J為彈性體積比；Di為定義材料的壓縮性，Di的值決定材料是否可壓縮，如果所有N=1都為0，則材料是完全不可壓縮。

對(duì)于多項(xiàng)式，無論N取何值，橡膠的初始剪切模量μ0、初始體積模量k0都取決于多形式一階(N=1)系數(shù)，即μ0=2(C10+C01)，k0=2/D1。

對(duì)于完全多項(xiàng)式，如果N=1則只有線性部分的應(yīng)變能保留下來，即Moony-Rivlin模型：

(6)

式中：W為應(yīng)變勢(shì)能；I1、I2為變形張量；C10、C01、Di為材料常數(shù)；J為彈性體積比(代表模型的體積應(yīng)變)。

2　橡膠材料老化試驗(yàn)

在對(duì)天然橡膠隔震支座開展老化試驗(yàn)的同時(shí)，設(shè)計(jì)了與支座相同材料的橡膠片，將支座與橡膠片放置在同樣的試驗(yàn)環(huán)境下開展老化試驗(yàn)，研究橡膠材料物理力學(xué)性能在老化作用下隨時(shí)間的變化規(guī)律。得到了大量的老化試驗(yàn)數(shù)據(jù)，為本文的研究工作奠定了良好的基礎(chǔ)。

2.1試驗(yàn)概況

在對(duì)橡膠支座進(jìn)行老化試驗(yàn)時(shí)，在同一個(gè)老化試驗(yàn)箱里同時(shí)晾掛了橡膠片，且在試驗(yàn)期間對(duì)橡膠片每隔2天取樣一次，以查看橡膠材料性能隨老化時(shí)間的變化情況。而進(jìn)行老化試驗(yàn)之前，先對(duì)橡膠片取樣并對(duì)12組橡膠隔震支座做了相應(yīng)的基本性能測(cè)試試驗(yàn)，然后，將其放置于80℃恒溫老化箱中進(jìn)行20天(480 h)熱老化試驗(yàn)，測(cè)試橡膠材料硬度、定伸應(yīng)力、拉伸強(qiáng)度及扯斷伸長(zhǎng)率在老化作用下隨時(shí)間的變化規(guī)律。橡膠隔震支座及橡膠片晾掛情況見圖1[13]。

圖1　橡膠隔震支座及橡膠塊體放置圖Fig.1 The place of rubber isolated bearing and rubber piece

2.2試驗(yàn)結(jié)果

針對(duì)單獨(dú)老化480 h的定伸應(yīng)力和硬度的測(cè)試數(shù)據(jù)，采用最小二乘擬合法計(jì)算相應(yīng)的橡膠本構(gòu)模型常數(shù)值。依照中位數(shù)的原則來選取數(shù)據(jù)，具體數(shù)據(jù)如圖2～圖5所示。

圖2　老化時(shí)間對(duì)橡膠50%、100%定伸應(yīng)力的影響Fig.2 The influence of aging time on stretch stress at 50%、100% strain

3　用最小二乘法確定橡膠材料系數(shù)

3.1應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系推導(dǎo)

材料的主要特性通常由應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系來表征，而橡膠材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以通過應(yīng)變能密度函數(shù)對(duì)其主伸長(zhǎng)比求偏導(dǎo)來表示，此應(yīng)力稱為Piola-Kirchhoff應(yīng)力，應(yīng)變稱為Cauchy-Green應(yīng)變，其應(yīng)力-應(yīng)變形式如下[14]：

(7)

由式(1)～(6)得主軸力ti和主伸長(zhǎng)比λi之間的關(guān)系：

(8)

式中：t1、t2、t3為三個(gè)主應(yīng)力。

對(duì)于單軸拉伸試驗(yàn)，有t2=t3=0，得到

λ22=λ32=1/λ1

(9)

對(duì)于不可壓縮材料則有：

I3=λ12λ22λ32=1

(10)

由式(9)、(10)得到不可壓縮橡膠材料的主應(yīng)力和主伸長(zhǎng)比與不變量的關(guān)系式如下：

(11)

式中：C10=?W/?I1、C01=?W/?I2。

3.2材料常數(shù)的確定

為了確定材料常數(shù)C10和C01，假定橡膠是完全不可壓縮材料。根據(jù)試驗(yàn)所得到的定伸應(yīng)力和應(yīng)變數(shù)據(jù)應(yīng)用最小二乘擬合法求出參數(shù)C10和C01。首先，令：

A1=2(λ12-1/λ1)，B1=t1/A1，E1=1/λ1

則函數(shù)式(11)可改寫成:

B1=C10+E1C01

(12)

根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)λi和ti求出相應(yīng)的A1、B1和E1，并得到老化前后的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，見圖6、圖7。

根據(jù)最優(yōu)平方逼近式的正規(guī)方程組[14]：

(13)

式中:(，)是內(nèi)積，基函數(shù)(x)=xj，cj是系數(shù)(下同)。所逼近的近似多項(xiàng)式為：

(14)

式中:基函數(shù)φj(x)=xj。

用矩陣的形式表示為：

式中:(φi,φj)為內(nèi)積，(i=0，1，2…n;j=0，1，2…n)。

由上述應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)，分別計(jì)算出老化前與老化后的相關(guān)數(shù)據(jù)。然后，由矩陣方程組：

(16)

計(jì)算出老化0～480 h工況下的橡膠材料常數(shù)C10和C01，并根據(jù)計(jì)算結(jié)果擬合出橡膠材料常數(shù)隨老化時(shí)間的變化情況，詳見圖6、圖7。

圖6　老化時(shí)間對(duì)橡膠材料常數(shù)C10的影響Fig.6 The influence of aging time on rubber material constant C10

圖7　老化時(shí)間對(duì)橡膠常數(shù)的影響Fig.7 The influence of aging time on rubber material constant absolute value

式(6)中的D1值可以根據(jù)橡膠的初始體積模量k0=2/D1來確定，k0為橡膠材料的初始體積模量。而橡膠支座的的體積模量通常根據(jù)表2來確定。

表中，E0為橡膠彈性模量，近似等于3G；G為橡膠剪切模量；E∞為橡膠體積彈性模量；k為與橡膠硬度有關(guān)的彈性模量修正系數(shù)。

由圖4可知橡膠硬度的初始值為43，老化480 h(小時(shí))后的硬度值為47，根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)采用插值方法計(jì)算出相應(yīng)的體積模量，并計(jì)算出相應(yīng)的D1值和1/D1值，計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表1　材料常數(shù)擬合值和計(jì)算值的誤差對(duì)比

表2　支座橡膠材料性能參數(shù)[15]

表3　老化工況下計(jì)算的壓縮性常數(shù)

由表2的數(shù)據(jù)來看，老化前、后橡膠材料的壓縮性常數(shù)變化不大，后續(xù)研究中忽略壓縮性常數(shù)D1的變化，僅考慮材料常數(shù)C10和C01的變化。

因此，隨著老化時(shí)間t的變化，應(yīng)變能密度函數(shù)公式近似擬合為：

W=0.375 1e0.000 5t(I1-3)+

(17)

式中：C10=0.375 1e0.000 5t,C01=-0.202 2e0.000 5t,t為試驗(yàn)時(shí)間(h)。

實(shí)際使用時(shí)間treal與試驗(yàn)時(shí)間t可以根據(jù)下列公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換：

(18)[13]

式中,Ea反應(yīng)活化能(kJ/mol·K)，取95 kJ/mol;R為氣體常數(shù)(取8.3[J/mol·K])，其與氣體類型無關(guān)，僅與量綱有關(guān)；Treal為實(shí)際環(huán)境中的絕對(duì)溫度(K)，取293 K；Ttest為熱氧老化試驗(yàn)的絕對(duì)溫度(K)，取353 K；Treal為實(shí)際老化時(shí)間；t為試驗(yàn)時(shí)間。

由式(17)可見，考慮老化影響后橡膠Moony-Rivlin模型常數(shù)會(huì)隨著老化時(shí)間的變化而發(fā)生變化，本構(gòu)模型能夠體現(xiàn)老化時(shí)間的變化規(guī)律，可為橡膠隔震支座老化性能的研究提供理論支撐。

4　有限元分析與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比分析[13]

4.1老化前有限元分析與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

以橡膠支座試驗(yàn)結(jié)果作為與有限元分析對(duì)比的參考標(biāo)準(zhǔn)，有限元分析中參數(shù)采用上述擬合公式算出的Moony-Rivlin參數(shù)。

由于對(duì)橡膠隔震支座豎向剛度試驗(yàn)時(shí)未記錄力-位移曲線，本文只展示有限元模擬的力-位移曲線。豎向力取隔震支座下封板表面193個(gè)節(jié)點(diǎn)的豎向反力之和，位移取隔震支座上封板表面193個(gè)節(jié)點(diǎn)豎向位移的平均值，模型圖見圖8。老化前后的豎向剛度見圖9，水平剛度則取5#支座的實(shí)測(cè)曲線與有限元分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，見圖10。

圖8　橡膠隔震支座有限元模型圖Fig.8 The finite element model of isolation rubber bearing

取12個(gè)橡膠隔震支座性能試驗(yàn)值的平均值與有限元模擬值進(jìn)行對(duì)比。支座豎向剛度的試驗(yàn)結(jié)果為188.66 kN/mm，有限元模擬結(jié)果為184.56 kN/mm，誤差為2.17%；水平剛度的試驗(yàn)結(jié)果為0.189 kN/mm(未考慮溫度修正)，0.193 kN/mm (考慮溫度修正)，有限元模擬結(jié)果為0.181 7 kN/mm，誤差分別為3.86%、5.85%，可見，模擬精度比較高。因此，下文研究中按照同樣方法確定Moony-Rivlin本構(gòu)模型參數(shù)。

4.2老化后試驗(yàn)結(jié)果與有限元模擬對(duì)比

與前述方法類似，老化后的豎向剛度有限元分析結(jié)果見圖9，老化后水平剛度測(cè)試值與有限元對(duì)比見圖11。

老化后隔震支座豎向剛度的試驗(yàn)數(shù)據(jù)：233.79 kN/mm，有限元模擬老化后的豎向剛度為210.16 kN/mm，誤差為10.11%，這個(gè)誤差基本認(rèn)為在接受的范圍內(nèi)；老化后水平剛度試驗(yàn)數(shù)據(jù)為0.215 4 kN/mm(未考慮溫度修正)，0.211 4 kN/mm(考慮溫度修正)，有限元模擬數(shù)據(jù)為0.234 9 kN/mm，誤差分別為9.09%、11.12%。同時(shí)，可以看出：有限元模擬老化后的豎直剛度比老化前的剛度增大了13.87%；而有限元模擬老化后的水平剛度比老化前剛度增大了29.28%。

4.3誤差分析

(1) 本文中采用的Moony-Rivlin本構(gòu)模型參數(shù)是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算并擬合之后的結(jié)果，試驗(yàn)數(shù)據(jù)本身存在一定的誤差。

(2) 用有限元模擬時(shí)，采用的是理想模型，沒有考慮實(shí)際生產(chǎn)過程及試驗(yàn)工裝方面的影響，也會(huì)造成一定的誤差。

(3) 有限元模擬老化后的橡膠支座性能分析時(shí)，沒有充分考慮橡膠厚度對(duì)材料參數(shù)的影響，認(rèn)為其老化程度相同，這也是產(chǎn)生誤差的一個(gè)原因。

5　結(jié)　論

本文分析了老化作用對(duì)橡膠材料常數(shù)C10和C01的影響，根據(jù)老化試驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用最小二乘擬合法計(jì)算材料常數(shù)C10、C01和|C01|，并擬合出老化時(shí)間與材料常數(shù)C10和材料常數(shù)|C01|的關(guān)系，且計(jì)算了擬合值與計(jì)算值的誤差范圍；進(jìn)而得到了考慮了老化作用影響的橡膠材料修正Moony-Rivlin本構(gòu)模型。最后利用修正橡膠本構(gòu)模型，采用有限元軟件Abaqus對(duì)橡膠隔震支座進(jìn)行了模擬分析，并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。主要結(jié)論如下：

(1) 老化等因素會(huì)對(duì)橡膠Moony-Rivlin模型常數(shù)產(chǎn)生影響；

(2) 隨著老化時(shí)間的增加，橡膠Moony-Rivlin模型常數(shù)隨著老化時(shí)間的增加而增大；

(3) 利用修正的Moony-Rivlin橡膠本構(gòu)模型進(jìn)行有限元模擬與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合良好，證明所建立的本構(gòu)模型合理準(zhǔn)確；

(4) 所建立的修正Moony-Rivlin橡膠本構(gòu)模型可以充分考慮老化時(shí)間的影響，可為橡膠隔震支座老化性能的研究和橋梁等結(jié)構(gòu)全壽命性能設(shè)計(jì)提供理論支撐。

本文已經(jīng)對(duì)橡膠隔震支座橡膠本構(gòu)模型Moony-Rivlin模型常數(shù)隨老化時(shí)間的變化規(guī)律開展了研究，并根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合出了材料常數(shù)隨老化時(shí)間的變化關(guān)系式，得出了一些規(guī)律。但是，隨著隔震支座在跨海橋梁等近海工程中的推廣，由于復(fù)雜的海洋環(huán)境，仍有一些問題需要更深入的研究：

(1)考慮海蝕環(huán)境對(duì)隔震支座橡膠本構(gòu)模型Moony-Rivlin模型常數(shù)的影響，結(jié)合試驗(yàn)結(jié)果，計(jì)算并總結(jié)出模型常數(shù)隨海蝕的變化規(guī)律；

(2)綜合考慮老化時(shí)間和老化厚度兩方面的因素，得出更為接近實(shí)際老化工況的變化規(guī)律；

(3)考慮老化和海蝕的綜合作用，來擬合材料常數(shù)隨環(huán)境的變化關(guān)系式。

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The effect of aging on the material constant of the rubber isolator’s constitutive model Moony-Rivlin

LI Yanmin1, MA Yuhong1, LUO Jiarun2, ZHAO Guifeng3

(1. Engineering Seismic Research Centre of Guangzhou University, Guangzhou 510405, China;2. Shanghai Construction Engineering Technology Co., Ltd., Shanghai 200062, China;3. School of Civil Engineering of Guangzhou University, Guangzhou 510006, China)

The Moony-Rivlin model is widely applied in finite element analysis of rubber isolators, in which a key point is to determine material parameters of the model. In order to study the effect of aging on material constant of rubber intensively, the material constants of Moony-Rivlin model were obtained through investigating aging test result of rubber by the Least-square method. The relationship between the material constants and the aging time was derived and a modified model was achieved. The fitting values were compared with the calculating ones. Finally, the performance of the rubber isolators was simulated and studied by using the Abaqus software and the material constants were determined from the above method. The results of finite element analysis were compared with the test results. The results show that: Moony-Rivlin model constant increases gradually with aging time; the errors between the test values and the finite element simulation values for the vertical stiffness and the horizontal stiffness are acceptable, whether before aging or aged, which proves the accuracy of the modified constitutive model. This work provides theoretical support for the performance study of rubber isolated bearings under the aging environment and the life-cycle performance design about bridges and other structures.

Moony-Rivlin model constant; rubber; aging; finite element analysis

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃973項(xiàng)目(2011CB013606);國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51578170);國(guó)家自然科學(xué)基金高鐵聯(lián)合基金重點(diǎn)項(xiàng)目(U1334209);長(zhǎng)江學(xué)者和創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(IRT13057);廣州市屬高?？萍加?jì)劃項(xiàng)目(1201421152)

2015-12-07修改稿收到日期：2016-03-03

李艷敏 女，碩士生，1992年生

馬玉宏 女，博士，研究員，1972年生E-mall：849502749@qq.com

P315.966

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.16.026