自復(fù)位單自由度體系隨機(jī)地震響應(yīng)分析

胡曉斌， 江衛(wèi)波

(武漢大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院,武漢　430072)

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自復(fù)位單自由度體系隨機(jī)地震響應(yīng)分析

胡曉斌， 江衛(wèi)波

(武漢大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院,武漢430072)

給出了自復(fù)位體系恢復(fù)力的數(shù)學(xué)描述，建立了正態(tài)白噪聲地面激勵(lì)下采用等價(jià)線性化法求解自復(fù)位單自由度體系隨機(jī)響應(yīng)的流程，并采用Monte-Carlo法驗(yàn)證了其正確性，最后通過(guò)參數(shù)分析對(duì)隨機(jī)響應(yīng)的影響因素進(jìn)行了研究。結(jié)果表明：結(jié)構(gòu)周期越小，屈服位移系數(shù)或耗能參數(shù)越大，體系位移方差系數(shù)和速度方差系數(shù)越??；結(jié)構(gòu)屈服后剛度系數(shù)越大，位移方差系數(shù)越小，速度方差系數(shù)越大；結(jié)構(gòu)周期越大，屈服位移系數(shù)、屈服后剛度系數(shù)和耗能參數(shù)對(duì)位移方差系數(shù)和速度方差系數(shù)的影響越大。

自復(fù)位體系；恢復(fù)力；正態(tài)白噪聲；隨機(jī)地震響應(yīng)；參數(shù)分析

自復(fù)位(Self-centering)結(jié)構(gòu)近年來(lái)引起了研究者和工程技術(shù)人員的高度重視。作為一種新型的抗震結(jié)構(gòu)體系，自復(fù)位結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)抗震結(jié)構(gòu)的本質(zhì)區(qū)別在于其卸載后變形能完全或基本恢復(fù)。在強(qiáng)震作用下，自復(fù)位結(jié)構(gòu)基本不產(chǎn)生殘余變形，震后不需或經(jīng)少量的維修即可恢復(fù)正常使用[1-6]。

針對(duì)自復(fù)位單自由度體系，國(guó)內(nèi)外少數(shù)學(xué)者通過(guò)非線性時(shí)程分析對(duì)其抗震性能進(jìn)行了較為深入的研究。CHRISTOPOULOS等[7]針對(duì)自復(fù)位單自由度體系，分析了體系基本周期、屈服強(qiáng)度、屈服后剛度系數(shù)、耗能參數(shù)對(duì)體系位移延性、絕對(duì)加速度及耗能的影響，并和雙線性單自由度體系進(jìn)行了對(duì)比。結(jié)果表明：屈服后剛度系數(shù)或耗能參數(shù)越大，自復(fù)位體系位移延性越小，通過(guò)調(diào)整上述二個(gè)參數(shù)，可使自復(fù)位體系和雙線性體系位移延性大致相當(dāng)；和雙線性體系相比，自復(fù)位體系絕對(duì)加速度更大、耗能更少，但其沒(méi)有殘余位移。SEO等[8]對(duì)自復(fù)位單自由度體系和雙線性單自由度體系的位移延性需求進(jìn)行了對(duì)比研究，結(jié)果表明，當(dāng)強(qiáng)度折減系數(shù)和屈服后剛度系數(shù)相同時(shí)，自復(fù)位體系的位移延性比雙線性體系大，且兩種體系的位移延性隨著屈服后剛度系數(shù)和耗能參數(shù)的增大而顯著減小。HU等[9]針對(duì)產(chǎn)生少量殘余位移的部分自復(fù)位單自由度體系，研究了屈服后剛度系數(shù)、耗能參數(shù)和殘余位移系數(shù)對(duì)其位移延性的影響，結(jié)果表明，屈服后剛度系數(shù)、耗能參數(shù)或殘余位移系數(shù)的增加會(huì)減小體系的位移延性。

可以看出，以上研究基本上針對(duì)確定性的地面激勵(lì)，而在隨機(jī)地面激勵(lì)下尚缺乏相關(guān)的成果?；诖?，本文首先給出自復(fù)位體系恢復(fù)力的數(shù)學(xué)描述，然后建立了正態(tài)白噪聲地面激勵(lì)下采用等價(jià)線性化法求解自復(fù)位單自由度體系隨機(jī)響應(yīng)的流程，最后通過(guò)參數(shù)分析對(duì)其影響因素進(jìn)行初步研究。

1　自復(fù)位體系恢復(fù)力的數(shù)學(xué)描述

1.1數(shù)學(xué)描述

對(duì)于自復(fù)位體系，常采用FS(Flag-Shaped)模型描述其恢復(fù)力，如圖1(a)所示，其中fy、xy分別為屈服力及屈服位移，k為彈性剛度，α、β分別為屈服后剛度系數(shù)及耗能參數(shù)。

圖1　自復(fù)位體系恢復(fù)力的分解Fig.1 Decomposition of restoring force of self-centering system

自復(fù)位體系恢復(fù)力可以分解為彈性力(圖1(b))和滯變力(圖1(c))的和，即：

(1)

(2)

借助于階躍函數(shù)，經(jīng)過(guò)反復(fù)試湊，滯變位移可以表示為如下微分方程的形式：

(3)

式中：ε(·)為單位階躍函數(shù)。

圖2　自復(fù)位體系的滯變位移Fig.2 The hysteretic displacement of self-centering system

1.2數(shù)值驗(yàn)證

為驗(yàn)證上述數(shù)學(xué)描述的正確性，本節(jié)采用MATLAB/Simulink對(duì)其進(jìn)行仿真。仿真模型如圖3所示，主要包括四個(gè)模塊或子系統(tǒng)：輸入模塊、彈性力子系統(tǒng)、滯變力子系統(tǒng)及輸出模塊。其中，輸入模塊采用正弦位移激勵(lì)，彈性力子系統(tǒng)的封裝參數(shù)為k，滯變力子系數(shù)的封裝參數(shù)包括α、β及xy。

采用上述仿真模型，變化α、β，其它參數(shù)一定，可輸出相應(yīng)的力-位移曲線，如圖4所示?？梢钥闯?，滯回曲線為“旗形”，符合FS模型的特征，因此式(1)、(3)能正確地描述自復(fù)位體系的恢復(fù)力。

圖3　Simulink模型圖Fig.3 Model diagram established in Simulink

(a) α=0.02,β=0　　　　　(b) α=0.1,β=0.3

(c) α=0.2,β=0.6　　　　　(d) α=0.35,β=1圖4　Simulink仿真結(jié)果Fig.4 The simulation results obtained from Simulink

2　自復(fù)位單自由度體系隨機(jī)響應(yīng)分析

2.1運(yùn)動(dòng)微分方程

隨機(jī)地面激勵(lì)下自復(fù)位單自由度體系的運(yùn)動(dòng)微分方程可以表示為：

(4)

2.2恢復(fù)力的等價(jià)線性化

式(3)的等價(jià)線性方程可以表示為：

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：H是式(3)右端的具體函數(shù)。

將式(3)代入式(6)，整理可得：

(9)

式中：δ(·)為單位脈沖函數(shù)。

(10)

(11)

(12)

2.3隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算

由式(1)、(4)、(5)，可得自復(fù)位單自由度體系的狀態(tài)方程為：

(13)

(14)

(15)

設(shè)狀態(tài)向量Z的二階中心矩為Γ，則如下方程成立[10]：

AΓ+ΓAT+Ds=0

(16)

式中：

(17)

對(duì)于零均值平穩(wěn)地面激勵(lì)，體系響應(yīng)的均值也為零，且位移響應(yīng)和速度響應(yīng)互不相關(guān)，因此Γ可表示：

(18)

將式(14)、(17)、(18)代入式(16)，經(jīng)整理可得如下方程：

(19)

式中：p*=(1-α)k/m，q*=αk/m。

(20)

2.4等價(jià)線性化法的驗(yàn)證

前面二節(jié)建立了采用等價(jià)線性化法求解自復(fù)位單自由度體系隨機(jī)地震響應(yīng)的流程，為驗(yàn)證其可行性，本節(jié)采用Monte-Carlo法[11]進(jìn)行對(duì)比分析。

(1) 計(jì)算參數(shù)

由圖1可以看出，F(xiàn)S模型需要4個(gè)參數(shù)才能完全確定下來(lái)，本文選取xy、k、α、β來(lái)描述。屈服位移xy定義如下：

(21)

式中：η為屈服位移系數(shù)，De(X)為白噪聲地面激勵(lì)下線彈性單自由度體系的位移方差，如下所示：

(22)

體系剛度k計(jì)算如下：

(23)

阻尼系數(shù)c計(jì)算如下：

(24)

式中：ξ和T分別為體系的阻尼比和周期。

(2) 計(jì)算結(jié)果對(duì)比

假設(shè)自復(fù)位單自由度體系的參數(shù)取值如下：S0=1 m2/s3，m=1 kg，ξ=0.05，α=0.35，β=0.6，η=0.1，T=1 s。分別采用等價(jià)線性化法及Monte-Carlo法進(jìn)行對(duì)比分析。采用Monte-Carlo法計(jì)算時(shí)，正態(tài)白噪聲的樣本由三角級(jí)數(shù)法得到，樣本數(shù)取為300，每個(gè)樣本時(shí)間間隔為0.02 s，共1 000個(gè)點(diǎn)。

圖5為二種方法計(jì)算得到的位移方差及速度方差隨時(shí)間的變化曲線。可以看出，在外部激勵(lì)是正態(tài)白噪聲的情況下，體系的位移及速度方差大致與時(shí)間無(wú)關(guān)，且二種方法的計(jì)算結(jié)果很接近，表明采用等價(jià)線性化法求解自復(fù)位單自由度體系的隨機(jī)地震響應(yīng)是可行的。

圖5　正態(tài)白噪聲作用下的隨機(jī)響應(yīng)方差Fig.5 Random response variance of normal white noise

3　隨機(jī)響應(yīng)的影響因素分析

3.1計(jì)算參數(shù)

為研究不同參數(shù)對(duì)自復(fù)位單自由度體系隨機(jī)響應(yīng)的影響，各參數(shù)取值如下：α分別取0.02、0.1、0.2、0.35；β分別取0、0.3、0.6、1；η分別取0.05、0.1、0.2、0.3；T分別取0.1 s、0.25～2 s(間隔0.25 s)。其它參數(shù)取為定值，分別為：S0=1 m2/s3，m=1 kg，ζ=0.05。

3.2隨機(jī)響應(yīng)的定義

(25)

(26)

(27)

3.3影響因素分析

(1) 隨機(jī)響應(yīng)譜

當(dāng)給定α、β及η時(shí)，式(25)、(26)可表示為：

u=u(T)

(28)

v=v(T)

(29)

上式給出了位移方差系數(shù)、速度方差系數(shù)與體系周期之間的關(guān)系，本文分別稱之為位移方差系數(shù)譜及速度方差系數(shù)譜。

取α=0.35，β=1，η=0.1，計(jì)算所得典型的位移方差系數(shù)譜和速度方差系數(shù)譜如圖6所示。可以看出：隨著T增加，u和v均單調(diào)增大，但曲線形狀存在明顯差異，前者凸向橫軸，而后者凹向橫軸。

圖6　典型的隨機(jī)響應(yīng)譜曲線(α=0.35，β=1，η=0.1)Fig.6 Typical random response spectrum curves(α=0.35，β=1，η=0.1)

(2) 屈服位移系數(shù)的影響

分別取η=0.05、0.1、0.2、0.3，α=0.35，β=1，計(jì)算所得位移方差系數(shù)譜和速度方差系數(shù)譜如圖7所示?？梢钥闯觯孩?隨著η增加，u和v均減小，表明體系屈服位移系數(shù)越大，其位移方差系數(shù)和速度方差系數(shù)越??；② 隨著T增加，η增大時(shí)u和v減小的幅度增大，表明體系周期越大時(shí)，體系的屈服位移系數(shù)對(duì)位移方差系數(shù)和速度方差系數(shù)的影響越大；③ 當(dāng)η較小時(shí)，增大η時(shí)v減小的幅度越大，表明對(duì)于屈服位移較小的體系，可通過(guò)增大屈服位移顯著減小體系的速度方差系數(shù)。

圖7　η對(duì)隨機(jī)響應(yīng)譜曲線的影響(α=0.35，β=1)Fig.7 Effect of η on the random response spectrum curves(α=0.35，β=1)

(3) 屈服后剛度系數(shù)的影響

分別取α=0.02、0.1、0.2、0.35，β=1，η=0.3，計(jì)算所得位移方差系數(shù)譜和速度方差系數(shù)譜如圖8所示?？梢钥闯觯孩?隨著α增加，u減小，v增大，表明體系屈服后硬化程度越大，其位移方差系數(shù)越小，而速度方差系數(shù)越大；② 當(dāng)T較大時(shí)，α增大時(shí)u和v改變的幅度增大，表明體系周期越大，體系的屈服后硬化程度對(duì)位移方差系數(shù)和速度方差系數(shù)的影響越大；③ 當(dāng)α較小時(shí)，增大α?xí)ru減小的幅度越大，表明對(duì)于屈服后剛度系數(shù)較小的體系，可通過(guò)增大屈服后剛度系數(shù)顯著減小體系的位移方差系數(shù)。

圖8　α對(duì)隨機(jī)響應(yīng)譜曲線的影響(β=1，η=0.3)Fig.8 Effect of α on the random response spectrum curves(β=1，η=0.3)

(4) 耗能參數(shù)的影響

分別取β=0、0.3、0.6、1，α=0.2，η=0.3，計(jì)算所得位移方差系數(shù)譜和速度方差系數(shù)譜如圖9 所示。可以看出：① 隨著β增加，u和v均減小，表明體系耗能能力越強(qiáng)，其位移方差系數(shù)和速度方差系數(shù)越小；② 隨著T增加，β增大時(shí)u和v減小的幅度增大，表明體系周期越大時(shí)，體系的耗能能力對(duì)位移方差系數(shù)和速度方差系數(shù)的影響越大。

圖9　β對(duì)隨機(jī)響應(yīng)譜曲線的影響(α=0.2，η=0.3)Fig.9 Effect of β on the random response spectrum curves (α=0.2，η=0.3)

4　結(jié)　論

本文首先給出了自復(fù)位單自由度體系恢復(fù)力的數(shù)學(xué)描述，并通過(guò)Simulink平臺(tái)驗(yàn)證了其合理性，然后建立了正態(tài)白噪聲地面激勵(lì)下采用等價(jià)線性化法求解自復(fù)位單自由度體系隨機(jī)響應(yīng)的流程，并和Monte-Carlo法進(jìn)行了對(duì)比分析，驗(yàn)證了其正確性，最后進(jìn)一步通過(guò)參數(shù)分析研究了隨機(jī)響應(yīng)的影響因素?？梢缘贸鋈缦轮饕Y(jié)論：

(1) 結(jié)構(gòu)周期越小，屈服位移系數(shù)或耗能參數(shù)越大，位移方差系數(shù)和速度方差系數(shù)越小。

(2) 結(jié)構(gòu)屈服后剛度系數(shù)越大，位移方差系數(shù)越小，速度方差系數(shù)越大。

(3) 結(jié)構(gòu)周期較大時(shí)，屈服位移、屈服后剛度系數(shù)和耗能參數(shù)對(duì)位移方差系數(shù)和速度方差系數(shù)的影響越大。

(4) 對(duì)于屈服位移較小的體系，可通過(guò)增大屈服位移顯著減小體系的速度方差系數(shù)。

(5) 對(duì)于屈服后剛度系數(shù)較小的體系，可通過(guò)增大屈服后剛度系數(shù)顯著減小體系的位移方差系數(shù)。

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A random seismic response analysis of self-centering SDOF systems

HU Xiaobin, JIANG Weibo

(School of Civil Engineering, Wuhan University, Wuhan 430072, China)

In this work, the mathematical expression of restoring force of a self-centering system was given. The procedure of solving the random responses of self-centering SDOF(single degree of freedom) system under normal white noise ground excitation was established, which was compared and verified using the Monte-Carlo simulation method. Finally, the factors influencing the random responses were investigated by parametric analyses. The results indicate that the smaller structure period, the larger yield displacement ratio, or energy dissipation parameter leads to smaller displacement variance ratio and velocity variance ratio. With the rise of post-yielding stiffness coefficient, the displacement variance ratio decreases whereas the velocity variance ratio increases. For larger structure period, the yield displacement ratio, the post-yielding stiffness coefficient or energy dissipation parameter exerts greater impact on the displacement variance ratio or the velocity variance ratio.

self-centering system; restoring force; normal white noise; random seismic response; parametric analyses

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51578429;51208386)

2015-10-09修改稿收到日期：2016-01-28

胡曉斌 男，博士，副教授，1979年生

TU352

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.16.024