基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的黏彈性懸架減振模型及其數(shù)值方法

李占龍， 孫大剛， 宋　勇， 劉付喜， 趙樹(shù)萍

(1.西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器學(xué)院，西安　710028; 2.太原科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，太原　030024)

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基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的黏彈性懸架減振模型及其數(shù)值方法

李占龍1,2， 孫大剛1,2， 宋勇2， 劉付喜1， 趙樹(shù)萍2

(1.西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器學(xué)院，西安710028; 2.太原科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，太原030024)

為了準(zhǔn)確掌握黏彈性懸架的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，針對(duì)傳統(tǒng)整數(shù)階減振模型的不足，引入分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)原理，構(gòu)建了黏彈性材料FKV本構(gòu)模型，建立了考慮幾何參數(shù)的黏彈性懸架分?jǐn)?shù)階減振模型，利用Grumwald-Letnikov定義將模型中分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)離散化，并轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程形式，依據(jù)矩陣函數(shù)理論推導(dǎo)出模型的數(shù)值解。以某型安裝黏彈性懸架的履帶車輛參數(shù)為例，分別建立了懸架的動(dòng)態(tài)接觸有限元模型和分?jǐn)?shù)階減振模型，獲得了在翻越障礙工況下兩種模型響應(yīng)的對(duì)比解。結(jié)果表明：分?jǐn)?shù)階減振模型體現(xiàn)了黏彈性懸架響應(yīng)具有全局相關(guān)性和記憶性，且歷史作用漸近加強(qiáng)；黏彈性懸架有較好的緩沖減振性能；分?jǐn)?shù)階減振模型解與有限元方法計(jì)算結(jié)果有較好的一致性。旨為下一步的實(shí)車試驗(yàn)和實(shí)際應(yīng)用提供理論參考。

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù);黏彈性懸架;減振模型;數(shù)值方法

黏彈性懸架(VEDS)為大型履帶車輛行走機(jī)構(gòu)的緩沖減振裝置，可有效衰減履帶車輛在非路面的行走和作業(yè)時(shí)所產(chǎn)生的大幅動(dòng)載，增加車輛的附著性能和舒適性能[1]。在復(fù)雜隨機(jī)大載荷作用下，該懸架的黏彈性件內(nèi)部大分子鏈反復(fù)張弛和互相摩擦而產(chǎn)生熱耗，實(shí)現(xiàn)對(duì)振動(dòng)能的耗散，達(dá)到減振緩沖的目的。

目前對(duì)黏彈性懸架的建模分析主要將黏彈性結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為無(wú)結(jié)構(gòu)特性的流變模型(例如，Maxwell、 Kelvin-Voigt，等)，結(jié)合傳統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方法進(jìn)行建模計(jì)算，或在此基礎(chǔ)上增加非線性擾動(dòng)因子，對(duì)阻尼緩沖結(jié)構(gòu)在低頻重載大變形條件下的非線性動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行分析[2-4]。上述方法均采用基于局部極限定義的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)對(duì)黏彈阻尼進(jìn)行描述，對(duì)黏彈性材料的歷史依賴性和記憶性刻畫(huà)較差，在較寬頻域和較長(zhǎng)響應(yīng)時(shí)間內(nèi)誤差尤為明顯[5]，所需參數(shù)較多，計(jì)算過(guò)程復(fù)雜；另外，描述黏彈性材料力學(xué)特性的流變模型是唯象的純力學(xué)簡(jiǎn)化模型，不包含黏彈性件的幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)，無(wú)法討論其幾何參數(shù)的影響規(guī)律。

分?jǐn)?shù)階微積分由于其全局相關(guān)性能較好地體現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)發(fā)展的歷史依賴過(guò)程，在描述復(fù)雜物理問(wèn)題時(shí)，與傳統(tǒng)整數(shù)階導(dǎo)數(shù)模型相比，所需參數(shù)較少，且參數(shù)物理意義清晰，已被廣泛應(yīng)用于具有長(zhǎng)程記憶的演化過(guò)程建模(如黏彈性材料本構(gòu)模型、生物物理、圖像處理和隨機(jī)游走模型等)[6-7]。用分?jǐn)?shù)階微積分對(duì)黏彈性阻尼材料的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行描述，即其阻尼力(應(yīng)力)正比于位移(應(yīng)變)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)(用分?jǐn)?shù)階算子代替?zhèn)鹘y(tǒng)整數(shù)階算子)，已被驗(yàn)證對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)有很好的擬合性[8-9]。目前，分?jǐn)?shù)階微積分理論的應(yīng)用研究主要集中在對(duì)黏彈性材料本構(gòu)模型的建立，從而導(dǎo)出黏彈性材料的分?jǐn)?shù)階蠕變和松弛形式10-11]；將振動(dòng)方程中一階導(dǎo)數(shù)阻尼項(xiàng)用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)代替，獲得線性或非線性分?jǐn)?shù)階振動(dòng)方程，研究其解析解法和數(shù)值算法[12-14]。鮮有將分?jǐn)?shù)階微積分理論推廣到機(jī)械工程領(lǐng)域黏彈性緩沖減振結(jié)構(gòu)的動(dòng)特性分析。

本文構(gòu)建了分?jǐn)?shù)階Kelvin-Voigt黏彈性材料本構(gòu)模型，結(jié)合動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，建立了考慮幾何參數(shù)的黏彈性懸架減振模型，并將其推演到狀態(tài)空間，利用Grumwald-Letnikov定義將模型中分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)離散化，依據(jù)矩陣函數(shù)理論推導(dǎo)出減振模型的數(shù)值解，最后以動(dòng)態(tài)接觸有限元模型對(duì)理論模型數(shù)值方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1　模型建立

1.1黏彈性懸架物理模型

黏彈性懸架安裝在履帶式車輛的行走機(jī)構(gòu)中(見(jiàn)圖1(a))，由鋼板和黏彈性件粘結(jié)而成，呈上下對(duì)稱布置(見(jiàn)圖1(b))，頂部和臺(tái)車架相聯(lián)，底部和對(duì)應(yīng)支重輪的中間筋相聯(lián)。履帶車輛在“非路面”上行駛作業(yè)時(shí)，懸架會(huì)受到?jīng)_擊型大載荷，并作用在緩沖裝置上，使阻尼材料產(chǎn)生形變，由于阻尼材料的遲滯特性，將振動(dòng)能轉(zhuǎn)化為阻尼材料內(nèi)部熱并逸散，從而降低由懸架傳遞到車體的沖擊振動(dòng)，提升車輛的穩(wěn)定性和舒適性以及作業(yè)效率。

(a) 實(shí)物圖　　　　　　　(b) 結(jié)構(gòu)圖圖1　履帶車輛黏彈性懸架Fig.1 VEDS for crawler vehicle

履帶式車輛通常需要安裝多組黏彈性懸架以獲得較好的減振效果和緩減單懸架的受載情況。本文以1/N(N為懸架數(shù))懸架為研究對(duì)象。

1.2分?jǐn)?shù)階減振模型

1.2.1FKV本構(gòu)模型

選用分?jǐn)?shù)階Kelvin-Voigt(簡(jiǎn)稱FKV)模型來(lái)表征黏彈性材料的力學(xué)本構(gòu)。FKV模型由理想胡克彈簧k和分?jǐn)?shù)階阻尼元，其中：σe，εe為彈性元應(yīng)力、應(yīng)變；σf，εf為分?jǐn)?shù)階阻尼元應(yīng)力、應(yīng)變；σ，ε為FKV模型阻尼應(yīng)力、應(yīng)變;k為剛度系數(shù)，N/m;c為阻尼系數(shù)，N/(m/s);a為分?jǐn)?shù)階數(shù)。分?jǐn)?shù)階阻尼元描述的阻尼特性介于彈性元件(零階導(dǎo)數(shù))和理想牛頓流體(一階導(dǎo)數(shù))，即：

(1)

(2)

式中：f(t)為求導(dǎo)函數(shù)，t為自變量，Γ為gamma函數(shù)，α為分?jǐn)?shù)階數(shù)，τ為中間變量。

由于并聯(lián)結(jié)構(gòu)，F(xiàn)KV模型總應(yīng)變與彈性元和分?jǐn)?shù)階阻尼元應(yīng)變相等，即：ε=εe=εf，總應(yīng)力為彈性元和分?jǐn)?shù)階阻尼元應(yīng)力之和，即：σ=σe+σf。故KFV模型本構(gòu)方程為：

(3)

圖2　FKV模型Fig.2 FKV model

1.2.2減振模型

由于黏彈性懸架結(jié)構(gòu)復(fù)雜，參數(shù)較多，因此在建立減振模型前應(yīng)對(duì)其進(jìn)行力學(xué)簡(jiǎn)化，為此作如下假設(shè)：

①黏彈性部分在懸架行程中上半部分和下半部分接觸面積A保持常數(shù)； ②履帶車輛常在“非路面”行駛或作業(yè)時(shí)，工作環(huán)境溫度和路面級(jí)別保持穩(wěn)定，不考慮黏彈性材料的溫頻效應(yīng)； ③黏彈性材料變形尚在線性黏彈性范疇，即分?jǐn)?shù)階數(shù)不具有時(shí)間依賴性。

基于上述基本假設(shè)，將懸架和車體的質(zhì)量分別等效為m1,m2，單位kg；懸架黏彈性部分用FKV模型代替；懸架、車體質(zhì)心的絕對(duì)位移和地面激勵(lì)分別為x1,x2和x0，單位m;ke為等效地面剛度，單位N/m。見(jiàn)圖3。

圖3　黏彈性懸架受力圖Fig.3 Force diagram of VEDS

建立黏彈性懸架的減振模型：

1) 動(dòng)力學(xué)方程：

(4)

2) 運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：

(5)

3) 黏彈性材料的廣義本構(gòu)方程：

Pσ=Qε

(6)

式中：Fd為黏彈性元的阻尼力，l為懸架黏彈性件厚度，P,Q是本構(gòu)微分算子，表達(dá)式為：

(7)

(8)

將本構(gòu)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系代入動(dòng)力學(xué)方程得黏彈性懸架分?jǐn)?shù)階減振模型：

(9)

化簡(jiǎn)得：

將分?jǐn)?shù)階微分算子參數(shù)代入式(10)得：

(11)

2　數(shù)值求解

將式(11)推演到狀態(tài)空間：

(12)

(13)

由于

(14)

(15)

對(duì)式(15)取截?cái)嗖糠?，有?/p>

h-αy(t)+GL(t)

(16)

將式(17)中k個(gè)(-1)均攤到分子每一項(xiàng)得：

(18)

因?yàn)?/p>

Γ(-α)=

(19)

式(18)變化為：

(20)

由于Γ函數(shù)性質(zhì)

Γ(z)=zΓ(z-1)

(21)

式(20)變換為：

(22)

(23)

此時(shí)，稱bk為歷史相關(guān)系數(shù)，其迭代形式為式(23)，初始條件b0=1。

由式(23)及圖4可以看出黏彈性懸架分?jǐn)?shù)階減振模型具有長(zhǎng)程相關(guān)性，即歷史響應(yīng)會(huì)作用于瞬時(shí)響應(yīng)，且作用漸近加強(qiáng)，類似于整數(shù)階模型的Boltzmann疊加原理，體現(xiàn)了黏彈性材料的歷史依賴和記憶特性。

圖4　歷史相關(guān)系數(shù)Fig.4 History correlation coefficient

將bk代入GL(t)可得如下迭代公式：

(24)

(25)

依據(jù)矩陣?yán)碚摚?25)解的形式為：

(26)

將式(26)積分區(qū)間替換為[tn,tn+1]，上式離散化為：

(27)

將式(27)等號(hào)右端第二項(xiàng)積分采取Simpson離散化，得式(12)的數(shù)值解為：

(28)

其中：

Y1(tn)=B1GL(tn+1)+B2p(tn+1)+

因此，結(jié)合式(24)、(28)以及初始條件，可利用迭代算法求解黏彈性懸架的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，計(jì)算流程如圖5。

圖5　理論模型數(shù)值計(jì)算流程Fig.5 Flow chart for numerical calculation of VEDS

3　數(shù)值方法對(duì)比計(jì)算

以某履帶車輛安裝的黏彈性懸架為例，分別建立其動(dòng)態(tài)接觸有限元模型和分?jǐn)?shù)階振動(dòng)模型，對(duì)兩種數(shù)值方法進(jìn)行對(duì)比計(jì)算。

3.1有限元模型

該履帶車輛整備質(zhì)量(帶松土器)51 000 kg，整機(jī)尺寸為9 630 mm ×4 320 mm ×4 320 mm (長(zhǎng)×寬×高)，裝配8組該型懸架。懸架黏彈性件為半橢球狀(如圖6)，其主要結(jié)構(gòu)參數(shù)有：底面直徑D、頂部圓弧半徑R、總高度Ht、頂部圓弧高度Ha、中部高度Hb、底部高度Hc和側(cè)面形狀角φ，見(jiàn)表1。

圖6　黏彈性件結(jié)構(gòu)Fig.6 Structure of viscoelastic part

參數(shù)數(shù)值總高度Ht/mm45底面直徑D/mm305頂部圓弧半徑R/mm950頂部高度Ha/mm10.36中部高度Hb/mm30.6底部高度Hc/mm4.05側(cè)面形狀角φ/(°)55

選取懸架的1/4結(jié)構(gòu)，在軸對(duì)稱截面處施加軸對(duì)稱約束，最后以實(shí)體問(wèn)題求解。選用Solid 185固體單元和Hyper 58橡膠類單元分別對(duì)鋼板和黏彈性件網(wǎng)格化；對(duì)與黏彈性件固結(jié)的上鋼板X、Z方向施加約束，對(duì)與黏彈性件固結(jié)的下鋼板采取X、Y方向的耦合，在軸對(duì)稱截面處施加軸對(duì)稱約束；對(duì)與黏彈性件固結(jié)鋼板部分，在網(wǎng)格劃分時(shí)采取共節(jié)點(diǎn)；由于地面隨機(jī)沖擊載荷通過(guò)支重輪中間筋傳遞到下鋼板上，為了與理論模型簡(jiǎn)化一致，將此視為均布載荷，施加在下鋼板，且利用斜坡分步加載及階躍平穩(wěn)加載模擬黏彈性懸架受車輛自重后的動(dòng)態(tài)過(guò)程。選用修正的2參數(shù)Mooney-Rivlin黏彈性材料應(yīng)變能密度函數(shù)，其特征參數(shù)[16]：C01=0.025 MPa，C01=1.246 5 MPa，泊松比ν=0.499，密度1 130 kg/m3；鋼板彈性模量E=2.1×105MPa，泊松比μ=0.3，密度7 850 kg/m3。

履帶車輛在“非路面”行駛或作業(yè)，黏彈性懸架中的黏彈性件受到來(lái)自地面和作業(yè)對(duì)象的低頻重載沖擊型隨機(jī)載荷，致使上下黏彈性件的接觸分離時(shí)而發(fā)生，產(chǎn)生動(dòng)態(tài)接觸問(wèn)題。采用罰函數(shù)法和拉格朗日乘子混合法來(lái)解決黏彈性接觸問(wèn)題，即在黏彈性件接觸受壓時(shí)采用拉格朗日乘子法，分離時(shí)采用罰函數(shù)法。

3.2分?jǐn)?shù)階減振模型

計(jì)算參數(shù)為：m1=550 kg,m2=6 250 kg;ke=6.0×106N/m，k=2.67×107N/m,c=2.13×104N/(m/s),α=0.49，r=152.5 mm，l=45 mm。

據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)[17]知，該履帶車輛在翻越障礙工況下受到的沖擊載荷最大，其平均沖擊力為機(jī)重0.6倍，為最嚴(yán)酷工況，因此以此工況為例進(jìn)行計(jì)算分析。此時(shí)，減振模型的輸入為：

(29)

式中:g為重力常數(shù)，δ(t)為狄拉克δ函數(shù)。

將上述數(shù)據(jù)代入式(28)，依據(jù)數(shù)值算法在MATLAB環(huán)境下編程計(jì)算該履帶車輛在翻越障礙工況下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

3.3比較分析

分別采用有限元模型和分?jǐn)?shù)階減振模型對(duì)黏彈性懸架在翻越障礙工況下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算，以車體振動(dòng)和黏彈性件形變?yōu)榭疾鞂?duì)象，比較二者的計(jì)算結(jié)果，參見(jiàn)圖7～8及表2。

圖7　有限元計(jì)算云圖Fig.7 Cloud maps of FEM

圖8　車體振動(dòng)響應(yīng)Fig.8 Vibration response of vehicle body

分?jǐn)?shù)階減振模型計(jì)算結(jié)果中車體和懸架位移之差(x1-x2)為黏彈性件的壓縮量或黏彈性懸架行程，則黏彈性件所受的應(yīng)力為：

σ=kε+cDαε

(30)

(31)

根據(jù)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)線性性質(zhì)得：

(32)

式中:[f]表示單位函數(shù)f(x)≡1，且

(33)

因此，黏彈性件所受應(yīng)力可表示為：

(34)

表2　分?jǐn)?shù)階模型數(shù)值解與有限元解對(duì)比值

在翻越障礙受到?jīng)_擊載荷后，車體響應(yīng)迅速達(dá)到峰值，但由于黏彈性懸架的動(dòng)能耗散作用，使車體響應(yīng)快速衰減，在8 s時(shí)已經(jīng)衰減了約81.6%，說(shuō)明該黏彈性懸架具有較好緩沖減振能力。有限元結(jié)果顯示，黏彈性件的最大壓縮變形為25.79 mm，最大形變率為28.67%，節(jié)點(diǎn)最大應(yīng)力為4.17 MPa，滿足設(shè)計(jì)要求(壓縮形變?cè)O(shè)計(jì)要求為13～76 mm，形變率設(shè)計(jì)要求為20%～75%)。

由圖9與表2可知，分?jǐn)?shù)階減振模型數(shù)值解與有限元模型解吻合較好。在響應(yīng)初始，分?jǐn)?shù)階減振模型計(jì)算結(jié)果的峰值大于有限元計(jì)算結(jié)果的峰值，這是因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階減振模型在假設(shè)①的基礎(chǔ)上建立，即上下黏彈性件接觸面積A在懸架行程中保持不變，但在有限元模型中考慮了黏彈性件頂部弧度，在響應(yīng)初始懸架行程較大，或出現(xiàn)“彈跳”現(xiàn)象，上下黏彈性件的接觸由剛開(kāi)始的點(diǎn)接觸逐漸增加到定面A接觸或反之，這樣導(dǎo)致整個(gè)過(guò)程的平均接觸面積小于數(shù)值模型的平均接觸面積，進(jìn)而導(dǎo)致有限元模型的接觸壓變大，故懸架行程峰值較大；在響應(yīng)后期，分?jǐn)?shù)階減振模型和有限元計(jì)算結(jié)果較接近，這是因?yàn)檎駝?dòng)已經(jīng)被黏彈性懸架大幅過(guò)濾，懸架行程變小，有限元模型上下黏彈性件接觸面積漸趨穩(wěn)定，并接近靜壓接觸面積A。另外，二者在最大壓縮、最大形變率和最大應(yīng)力計(jì)算值上相對(duì)誤差均控制在10%內(nèi)，分?jǐn)?shù)階減振模型數(shù)值方法滿足實(shí)際工程的計(jì)算要求。

4　結(jié)　論

(1) 提出了基于FKV本構(gòu)的黏彈性懸架分?jǐn)?shù)階減振模型及其數(shù)值方法，并和有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，結(jié)果證實(shí)兩者具有較好的一致性，滿足實(shí)際工程計(jì)算要求。

(2) 歷史相關(guān)系數(shù)的變化特征表明分?jǐn)?shù)階減振模型具有全局相關(guān)性，整個(gè)歷史響應(yīng)會(huì)作用于瞬時(shí)響應(yīng)，從基礎(chǔ)層面體現(xiàn)了黏彈性懸架響應(yīng)的歷史依賴性和記憶性。

(3) 黏彈性懸架在車輛受到?jīng)_擊載荷時(shí)，能快速將振動(dòng)能轉(zhuǎn)化為阻尼熱而耗散，具有良好的減振性能，滿足履帶車輛在極端工況的支撐強(qiáng)度及穩(wěn)定性要求。

(4) 為掌握低頻重載下黏彈性材料的溫頻效應(yīng)對(duì)懸架響應(yīng)的影響，下一步將建立包含溫頻變量及分?jǐn)?shù)階數(shù)時(shí)間依賴性的減振模型及其數(shù)值方法，并開(kāi)展DMA試驗(yàn)，繪制黏彈性材料的諾模圖，對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證和修正，研究減振效果的參數(shù)敏感性。

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A fractional calculus-based vibration suppression model and its numerical solution for viscoelastic suspension

LI Zhanlong1,2, SUN Dagang1,2, SONG Yong2, LIU Fuxi1, ZHAO Shuping2

(1. School of Mechanical and Precision Instrument Engineering, Xi’an University of Technology，Xi’an 710048, China;2. College of Mechanical Engineering, Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan 030024, China)

To obtain dynamic responses of viscoelastic suspension accurately, an FKV constitutive model of viscoelastic materials was developed by employing fractional derivative. A vibration model of viscoelastic suspension considering geometric factor was built based on FKV. Numerical solution was derived by employing Grumwald-Letnikov definition for fraction calculus and matrix function theory. Dynamic contact FEM was established based on a crawler vehicle that was installed viscoelastic suspension and used to compare with the fractional method. Results show that the fractional vibration control model can embody the nonlocal correlation and memory feature of viscoelastic suspension which exhibits excellent vibration control capability. The numerical result shows good agreement with that from the FEM. The study provides essential theoretical references for future in-situ tests and practice applications.

factional calculus; viscoelastic suspension; vibration control model; numerical method

國(guó)家青年科學(xué)基金(51305288); 山西省回國(guó)留學(xué)人員科研資助項(xiàng)目(2012-073); 山西省青年科學(xué)基金(2013021020-1)

2015-05-14修改稿收到日期：2015-07-27

李占龍 男，博士生，1985年11月生

孫大剛 男，教授，博士生導(dǎo)師，1955年4月生

U461.4

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.16.020