最優(yōu)非負(fù)變權(quán)灰色非線性模型及橋梁變形預(yù)測

陳洋，文鴻雁，覃輝，楊志

（1.廣西空間信息與測繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西桂林 541004； 2.桂林理工大學(xué)測繪地理信息學(xué)院，廣西桂林 541004；3.桂林理工大學(xué)廣西礦冶與環(huán)境科學(xué)實(shí)驗(yàn)中心，廣西桂林 541004）

最優(yōu)非負(fù)變權(quán)灰色非線性模型及橋梁變形預(yù)測

陳洋1，2，3*，文鴻雁1，2，3，覃輝1，2，3，楊志1，2，3

（1.廣西空間信息與測繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西桂林 541004； 2.桂林理工大學(xué)測繪地理信息學(xué)院，廣西桂林 541004；3.桂林理工大學(xué)廣西礦冶與環(huán)境科學(xué)實(shí)驗(yàn)中心，廣西桂林 541004）

針對灰色預(yù)測模型GM（1，1）擬合精度低的情況，創(chuàng)新性的提出GM（1，1）模型同正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和同常數(shù)相結(jié)合的灰色非線性模型，并給出模型解算和精度評定方法。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)變權(quán)原理又提出了最優(yōu)非負(fù)變權(quán)灰色非線性模型解算思路。并用某橋梁變形監(jiān)測工程實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證。通過比較分析各模型精度發(fā)現(xiàn)：最優(yōu)非負(fù)變權(quán)灰色非線性模型預(yù)測精度較GM（1，1）模型、灰色非線性模型得到一定程度的提高，可以應(yīng)用于橋梁變形預(yù)測中。

GM（1，1）；灰色非線性模型；最優(yōu)非負(fù)變權(quán)灰色非線性模型；橋梁變形預(yù)測

1　引 言

橋梁建設(shè)是國家重要的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)［1］。隨著我國經(jīng)濟(jì)、社會(huì)以及科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，我國對交通運(yùn)輸事業(yè)的需求也日益增長。橋梁工程是交通運(yùn)輸中的咽喉工程。橋梁變形監(jiān)測是橋梁建造和安全運(yùn)營當(dāng)中的重要內(nèi)容。研究表明，成橋后預(yù)警值的設(shè)定、損傷監(jiān)測以及適時(shí)維修制度的建立，將有助于從根本上消除隱患以及避免災(zāi)難性事件的發(fā)生［2］。

橋梁規(guī)模大，工藝復(fù)雜，測量精度要求較高。在橋梁運(yùn)營中，其受力和線形受到許多諸如氣候，環(huán)境等因素的影響。而在實(shí)際計(jì)算中，往往忽視了這些因素，這就使得計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況有一定的偏差［3］。而灰色理論作為一種預(yù)測理論，它能深入挖掘橋梁變形內(nèi)在信息，具有原理簡單，要求的樣本數(shù)據(jù)少，運(yùn)用方便等獨(dú)特優(yōu)勢，因此不少學(xué)者將灰色理論運(yùn)用到橋梁變形預(yù)測分析當(dāng)中［4］。然而，隨著新材料新工藝的開發(fā)，致使超大跨度橋梁等現(xiàn)代化橋梁的建造成為可能，這就對橋梁預(yù)測精度提出了更高的要求。本文針對當(dāng)前灰色預(yù)測模型GM（1，1）擬合精度低、殘差大的劣勢［4］，提出GM（1，1）同正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、常數(shù)進(jìn)行組合的灰色非線性模型，并根據(jù)最小方差估計(jì)［5］提出最優(yōu)非負(fù)變權(quán)灰色非線性模型，最后將各個(gè)模型應(yīng)用到橋梁變形預(yù)測工程實(shí)例中。通過對比分析各模型精度，證實(shí)新算法在橋梁變形預(yù)測中是可行的，更具有優(yōu)越性。

2　最優(yōu)非負(fù)變權(quán)灰色非線性模型

2.1GM（1，1）模型

令原始數(shù)據(jù)列為:x（0）（k）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）），對x（0）（k）作一次累加生成（1-AGO）［5］，得到數(shù)列x（1）（k）=（x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）），其中，k=1，2，…，n。用x（1）的緊鄰均值生成均值序列z（1）=（z1（1），z1（2），…z1（n-1）），其中z1（k）=（x1（k）+x（1）（k+1））/2，k=1，2，…，n-1。

按GM（1，1）的定義，灰色微分方程為［6～8］:

在最小二乘原理準(zhǔn)則下求出灰色微分方程系數(shù)a，b。

對x（1）求導(dǎo)，建立GM（1，1）預(yù)測模型的白化方程:

式中:a是發(fā)展系數(shù)，控制系統(tǒng)發(fā)展態(tài)勢的大??；b為灰色作用量，反映數(shù)據(jù)的變化關(guān)系，對式（2）求一重積分，得GM（1，1）白化方程的時(shí)間響應(yīng)式:

通過累減生成GM（1，1）預(yù)測值:

2.2灰色非線性組合模型

通過大量的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，灰色模型方程解與原始數(shù)據(jù)的偏差在一定的范圍內(nèi)波動(dòng)。但如果在白化方程的時(shí)間響應(yīng)式（3）基礎(chǔ)上加上某一個(gè)波動(dòng)函數(shù)Cf（t，w）和一個(gè)常量C3，此時(shí)灰色非線性模型為:

其中，f（t，w）表示不同增減性質(zhì)的函數(shù)。在這種情況下，灰色非線性模型將波動(dòng)值加入到GM（1，1）模型當(dāng)中，所以預(yù)測精度有望得到進(jìn)一步提高。根據(jù)f （t，w）增減特性，本論文選取正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，和常數(shù)分別進(jìn)行計(jì)算，主要模型公式如下:

灰色正弦模型:

灰色常數(shù)模型:

灰色余弦模型:

灰色指數(shù)模型:

（1）灰色非線性組合模型解算

①發(fā)展系數(shù)v的求解

為了使灰色非線性模型的解在GM（1，1）的解式（3）周圍波動(dòng)，并且不破壞灰色模型預(yù)測的完整性，本論文直接令GM（1，1）的發(fā)展系數(shù)a作為灰色非線性模型發(fā)展系數(shù)v。

②最佳適值W的求取

本文通過多次迭代求取最佳適值W。本運(yùn)算是在MATLAB軟件中完成，通過將周期函數(shù)w設(shè)定在某一范圍內(nèi)，使用for循環(huán)，以0.1或者更小的數(shù)為步長［9］，對于每一個(gè)不同的w0。有方程:

在最小二乘原理下求出方程系數(shù)C的值

則得到預(yù)測模型函數(shù):

通過一次累減得到預(yù)測值，再計(jì)算預(yù)測值的后驗(yàn)比。不同的數(shù)值w0，對應(yīng)不同的后驗(yàn)比，選取最小后驗(yàn)比所對應(yīng)的數(shù)值，即為灰色非線性模型的周期函數(shù)解，根據(jù)需要依次計(jì)算出式（6），式（7），式（8），式（9）中的、后驗(yàn)比、和最佳預(yù)測值。

2.3后驗(yàn)比精度評定

令S1為原始數(shù)列｛x（0）（k）｝的均方差，而S2為殘差序列｛△（k）｝的均方差。后驗(yàn)差比小誤差概率表示P=P｛|△（k）-△|＜0.6745S1｝，即表示落在［△-0.6745S1，△+0.6745S1］的概率，模型精度等級= max｛P所在的級別，C所在的級別｝［2，6］

模型精度等級　表1

2.4最優(yōu)非負(fù)變權(quán)灰色非線性模型

設(shè)某橋梁n期實(shí)測變形值為Yt，t=1，2…n，用以上4種預(yù)測模型對其進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測值為Yti，i=1，2，3，4，Yti表示第i種模型在t時(shí)刻的預(yù)測值。令［10］

設(shè)eti=（Yt-Yti）表示第i種單項(xiàng)灰色非線性模型在t時(shí)刻的預(yù)測誤差，et為加權(quán)預(yù)測值在t時(shí)刻的預(yù)測誤差，則

設(shè)f為最優(yōu)非負(fù)可變加權(quán)系數(shù)的預(yù)測誤差平方和，則以預(yù)測誤差平方和最小為目標(biāo)的函數(shù)方程為:

其中，式（17）和式（14）滿足的條件相同，則在式（16）和式（17）條件下求得最優(yōu)預(yù)測值。

3　工程實(shí)例對比與分析

某橋梁使用Trimble Di Ni03電子水準(zhǔn)儀按國家二等水準(zhǔn)要求進(jìn)行變形觀測。本論文以監(jiān)測點(diǎn)37922D1連續(xù)11期橋墩垂直位移監(jiān)測數(shù)據(jù)為例，觀測周期為7天，進(jìn)行模型論證。垂直位移量是指每次觀測高程與第1次高程比較值，實(shí)測下沉數(shù)據(jù)為表2中的垂直位移量。實(shí)測下沉數(shù)據(jù)少，下沉比較平緩，符合GM（1，1）建模要求。但是，下沉數(shù)據(jù)并不是呈現(xiàn)指數(shù)增長趨勢，所以使用GM（1，1）模型很難滿足預(yù)測精度要求。筆者利用監(jiān)測點(diǎn)前8期的數(shù)據(jù)分別來建立GM（1，1）模型、灰色非線性模型、最優(yōu)非負(fù)變權(quán)灰色非線性模型，并進(jìn)行后3期的預(yù)測，然后進(jìn)行各模型精度的對比分析。

3.1GM（1，1）和最優(yōu)非負(fù)變權(quán)灰色非線性模型比較分析

表2表示GM（1，1）和最優(yōu)非負(fù)變權(quán)灰色非線性模型預(yù)測對比，而圖1表示GM（1，1）和最優(yōu)非負(fù)變權(quán)灰色非線性模型預(yù)測圖像。

GM（1，1）和最優(yōu)非負(fù)變權(quán)灰色非線性模型預(yù)測對比　表2

圖1　GM（1，1）和最優(yōu)非負(fù)變權(quán)灰色非線性模型預(yù)測數(shù)值比較

由表2可知，在數(shù)據(jù)平穩(wěn)時(shí)，GM（1，1）和最優(yōu)非負(fù)變權(quán)灰色非線性模型擬合精度都比較高。在GM（1，1）模型中，最大擬合殘差為6.05×10-2mm，而最優(yōu)非負(fù)變權(quán)灰色非線性模型擬合精度更高，最大擬合殘差僅為1.14×10-2mm。但是在進(jìn)行預(yù)測時(shí)，GM（1，1）預(yù)測精度明顯開始下降，本次預(yù)測最大殘差高達(dá)21.52× 10-2mm，因其殘差太大而不能使用該模型。然而，最優(yōu)非負(fù)變權(quán)灰色非線性模型在后期預(yù)測中仍然保持著較高的精度，最大殘差為5.95×10-2mm。殘差在誤差允許范圍內(nèi)，可以使用。從預(yù)測曲線圖（圖1）可以看出最優(yōu)非負(fù)變權(quán)灰色非線性模型預(yù)測值比GM（1，1）模型預(yù)測值較原始數(shù)據(jù)波動(dòng)范圍更小。

3.2各模型精度綜合比較分析

表3表示各模型的擬合值平均殘差，擬合值后驗(yàn)比和預(yù)測值平均殘差等的比較。由表2可算出原始數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差S1為11.86，根據(jù)各殘差方差計(jì)算后驗(yàn)比。由表1可知當(dāng)后驗(yàn)比小于0.35，且滿足小概率發(fā)生事件，則模型等級為一級。

各模型精度綜合比較　表3

圖2是各灰色非線性模型預(yù)測值圖。由圖2和表3數(shù)據(jù)可知，GM（1，1）模型的擬合值和預(yù)測值與原始數(shù)據(jù)相差最大。其擬合平均殘差為12.02%，只滿足一般要求，而其預(yù)測殘差高達(dá)21.52%，則不能進(jìn)行使用?？梢詮臍埐顖D（圖3）中得到進(jìn)一步了解。而灰色非線性模型和最優(yōu)非負(fù)變權(quán)灰色非線性模型卻具有良好的預(yù)測效果，其擬合平均殘差最大2.02，后驗(yàn)比最大為0.0455，最優(yōu)非負(fù)變權(quán)灰色非線性模型預(yù)測平均殘差僅為4.32%。在本次試驗(yàn)中的最優(yōu)非負(fù)變權(quán)灰色非線性模型既保留了GM（1，1）的預(yù)測穩(wěn)定性，同時(shí)還具有擬合精度和預(yù)測精度高等獨(dú)特優(yōu)勢。其擬合值平均殘差較GM（1，1）模型減小了7倍，而后驗(yàn)比大小減少了5.5倍，預(yù)測精度提高了5倍。所以在實(shí)際運(yùn)用中，能夠運(yùn)用本試驗(yàn)中的最優(yōu)非負(fù)組合模型來預(yù)測橋梁后幾期數(shù)據(jù)的大小，或者設(shè)定預(yù)定值，估計(jì)沉降到預(yù)定值所需要用的時(shí)間。這就為了快速判斷橋梁的安全狀態(tài)，準(zhǔn)確識(shí)別險(xiǎn)情，保障橋梁安全施工與安全運(yùn)營提供了理論基礎(chǔ)。

圖2　灰色非線性模型預(yù)測值對比

圖3　各預(yù)測模型殘差對比圖

4　結(jié) 論

針對GM（1，1）模型擬合精度和預(yù)測精度不高的情況，本文提出了灰色非線性模型和最優(yōu)非負(fù)變權(quán)灰色非線性模型的算法。并以某橋梁變形數(shù)據(jù)為例，進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。通過工程實(shí)例對比分析得出如下結(jié)論:

（1）變形是自然界普遍存在的現(xiàn)象。將灰色理論運(yùn)用于橋梁變形監(jiān)測當(dāng)中，能夠得到挖掘變形數(shù)據(jù)中潛在的某種規(guī)律，為橋梁變形監(jiān)測提供理論基礎(chǔ)。

（2）灰色非線性模型與GM（1，1）模型相比，灰色非線性模型能夠有效地減小平均殘差大小，擬合曲線與原始數(shù)據(jù)曲線更加逼近，預(yù)測值具有更高的可信度。

（3）從預(yù)測值精度的角度看，最優(yōu)非負(fù)變權(quán)灰色非線性模型相對GM（1，1）、灰色非線性模型擁有最高的精度，它既有GM（1，1）模型能夠挖掘數(shù)據(jù)中潛在規(guī)律的優(yōu)勢，同時(shí)又擁有了灰色非線性模型擬合精度高的特點(diǎn)，因此可以運(yùn)用于橋梁變形預(yù)測工程實(shí)際當(dāng)中。

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The Optimal Non-negative Variable Weight-grey Nonlinear Model and Bridge Deformation Prediction

Chen Yang1，2，3，Wen Hongyan1，2，3，Qin Hui1，2，3，Yang Zhi1，2，3
（1.Guangxi Key Laboratory of Spatial Information and Geomatics，Guilin 541004，China； 2.College of Geomatics and Geoinformation，Guilin University of Technology，Guilin 541004，China； 3.Guangxi Scientific Experiment Center of Mining，Metallurgy and Environment，Guilin University of Technology，Guilin 541004，China）

The GM（1，1）model fitting precision in some case is low，so this paper put forward the grey nonlinear model which combined GM（1，1）with sine function，cosine function，exponential function and constant.the accuracy evaluation method also given by this paper.On this basis，the optimal non-negative variable weight combination model and it's calculating way have been proposed according to the principle of variable weight.The project of bridge deformation monitoring is used to verify the feasibility of the model.By comparing the precision，we found that the optimal non-negative variable weight combination forecasting accuracy is higher than GM（1，1）model and the grey nonlinear model. Therefore，we can apply the optimal non-negative variable weight combination model to the bridge deformation prediction.

GM（1，1）；the grey non-linear models；the optimal non-negative variable weight combination model；the bridge deformation prediction

1672-8262（2016）04-126-05

TU196，P258

A

2016—05—07

陳洋（1991—），男，碩士研究生，主要從事精密工程測量與變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理及變形數(shù)據(jù)處理理論優(yōu)化研究。

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（41461089），廣西“八桂學(xué)者”崗位專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)資助項(xiàng)目，廣西空間信息與測繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室資助課題（桂科能151400702，140452402）；廣西礦冶與環(huán)境科學(xué)實(shí)驗(yàn)中心資助課題（KH2012ZD004）；廣西研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目（YCSZ2014151，YCSZ2012083）；廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2014GXNSFAA118288）。