三維重力異常的正則化反演

劉　堯，李延清，陶鵬飛，胡尊平

（新疆維吾爾自治區(qū)地質(zhì)調(diào)查院，新疆烏魯木齊830000）

三維重力異常的正則化反演

劉堯*，李延清，陶鵬飛，胡尊平

（新疆維吾爾自治區(qū)地質(zhì)調(diào)查院，新疆烏魯木齊830000）

以BG理論為基礎(chǔ)，將該理論與吉洪諾夫正則化方法相結(jié)合，應(yīng)用于重力異常三維反演中，用來確定地下場源的密度分布和質(zhì)心坐標。針對位場缺少深度上的分辨能力、垂向分辨率低這一問題，聯(lián)合地面和航空測量的數(shù)據(jù)組成三維重力異常數(shù)據(jù)，對地下地質(zhì)模型參數(shù)進行等維反演，即用三維重力異常數(shù)據(jù)反演地下三維的地質(zhì)模型參數(shù)。用于反演的異常數(shù)據(jù)包含了不同高度上的重力觀測數(shù)據(jù)，與傳統(tǒng)的反演方法相比，相當于增加了數(shù)據(jù)維數(shù)，在一定程度上有效改善了垂向分辨率低這一問題。

重力異常；正則化；三維反演；線性反演

1　概述

地球物理場是由地下地質(zhì)體引起，因此場的分布也就反映了地下地質(zhì)體的分布特征。地球物理反演就是利用地面觀測到的地球物理場的異常數(shù)據(jù)來推測地下地質(zhì)體的分布，即根據(jù)觀測數(shù)據(jù)求取相應(yīng)的地球物理模型［1-2］。眾所周知，位場數(shù)據(jù)不能很好反映地質(zhì)體的垂向分布信息，反演結(jié)果深度分辨率低，這是因為實際觀測數(shù)據(jù)總是有限個數(shù)據(jù)體，而地球物理模型是連續(xù)的介質(zhì)模型。地球物理反演時，需要將連續(xù)的地球物理模型進行離散化，根據(jù)離散數(shù)據(jù)來求取離散模型。觀測數(shù)據(jù)一般是一條剖面或一個平面上的離散數(shù)據(jù)，而相應(yīng)的模型是二維或三維的連續(xù)介質(zhì)模型，這樣就導致我們經(jīng)常采用一維的觀測數(shù)據(jù)反演二維的地球物理模型，或者采用二維的觀測數(shù)據(jù)反演三維的地球物理模型，最終使得反演結(jié)果的垂向分辨率低［3-5］。

針對重磁位場反演結(jié)果垂向分辨率低這一問題，介紹了一種新的位場反演方法，即“等維反演”。“等維反演”所采用的異常數(shù)據(jù)體包含了不同高度上的位場觀測數(shù)據(jù)，這相當于增加了“數(shù)據(jù)維”，實現(xiàn)了用三維數(shù)據(jù)反演三維模型，必然能夠提高反演結(jié)果垂向分辨率低的問題［4-5］。不同飛行高度上的航空重磁測量數(shù)據(jù)，聯(lián)合地面觀測數(shù)據(jù)即可構(gòu)成等維反演的三維的異常觀測數(shù)據(jù)［6-7］。

2　位場正則化線性反演理論

在許多地球物理學問題中，觀察數(shù)據(jù)和模型之間存在線性泛函關(guān)系，并可以通過第一類弗雷德霍姆方程表示。根據(jù)觀察數(shù)據(jù)和模型參數(shù)的個數(shù)不同，方程可能為不同的類型。當方程為欠定時，解不唯一，可以通過多種方法構(gòu)制不同的模型［8-9］。根據(jù)BG理論，引入加權(quán)函數(shù)和拉格朗日乘數(shù)，構(gòu)制最小長度解模型：

通過變分原理，可得該無條件極值問題的解模型。進一步分析該泛函模型，可知方程（1）是不適定方程，需要引入正則化因子來求解該不適定方程。根據(jù)吉洪諾夫正則化方法選取合適的正則算子和正則參數(shù)，通過變分原理，解得不適定方程的正則解［4-5］。

3　三維重力正則化等維反演

3.1模型構(gòu)制

重力場情況下弗雷德霍姆方程的具體表達式為：

式中：（x，y，z）——整個重力場源區(qū)域v內(nèi)的任意點；

Δρ（x，y，z）——模型在點（x，y，z）處的剩余密度值；

Δg（ξ，η，ζ）——整個重力場源在觀測點（ξ，η，ζ）處產(chǎn)生的重力值；

K——萬有引力常數(shù)。

我們構(gòu)制最小長度解模型，即在方程（1）的約束下，求泛函的極?。?］。

在公式（3）中，ω（x，y，z）為加權(quán)函數(shù)，可根據(jù)先驗信息加大或縮小某部分Δρ（x，y，z）的權(quán)重。引入拉格朗日乘數(shù)αj（j=1，2，…，N），將上述條件極值問題化為求泛函的極小值的無條件極值問題。

體育教育對于增強青少年身體體質(zhì)、提高運動技能具有重要作用，作為體育教育的一線工作者，體育教師的能力水平直接影響體育教育質(zhì)量。然而在學校體育領(lǐng)域，眾多體育教師還保留著傳統(tǒng)的“運動技能中心”和“運動訓練模式”的思維來接受教育培訓，體育教師教育專業(yè)化的理念并沒有得到體現(xiàn)[1]。體育教師相較于其他文化課教師而言，其“邊緣化”的地位也是顯而易見的。“同工不同酬”、“由其他任課老師替代”等情況時有發(fā)生，其根本原因就是體育教師職業(yè)“專業(yè)性”的缺失。因此，有必要將體育教師教育放置于一個專業(yè)化的框架中進行整體規(guī)劃，促進體育教師教育發(fā)展，實現(xiàn)國家建立高素質(zhì)專業(yè)化體育教師隊伍的目標。

公式（4）即為反演的目標函數(shù)，目標函數(shù)的極小值即為所求的模型。

3.2重力場離散模型

通常情況下，地球物理場源是連續(xù)的無規(guī)則形狀模型，為了方便數(shù)值計算，我們需將連續(xù)的模型離散成一系列規(guī)則模型的組合。

本文采用右手坐標系，x軸垂直于礦體走向，y軸沿著礦體走向，z軸垂直向下。場源網(wǎng)由多個矩形體排列而成，源網(wǎng)的左上角點坐標是（x0，y0，z0）。各單元體的中心坐標是（xk，yl，zm），具有常數(shù)密度Δρ（k，l，m）；不同單元體的密度不同（圖1）。

圖1　三維密度場源模型

由于重力場問題是線性的，所以地面觀測點（ξj，ηj，ζj）處的重力異常是所有單元塊體效應(yīng)之和，公式（1）可以表示為：

其中，（x，y，z）是重力場源區(qū)域內(nèi)的任意點；Δg（ξj，ηj，ζj）是所有單元在觀測點（ξj，ηj，ζj）處產(chǎn)生的重力值之和。

3.3重力核函數(shù)

在將場源離散化的過程中，單個塊體的剩余密度值視為常數(shù)值，因此，對于單個塊體（圖2），公式（5）可以簡化為：

式中的參量含義如圖2所示。其中，（x，y，z）是單元塊體重力場源區(qū)域內(nèi)的任意點；Δg′（ξj，ηj，ζj）是圖中單個場源塊在觀測點（ξj，ηj，ζj）處產(chǎn)生的重力值［2］。

圖2　三維重力核函數(shù)中的參量關(guān)系

式中：G（j，k，l，m）——重力核函數(shù)。

3.4場源分布及質(zhì)心的確定

根據(jù)位場線性反演理論，可以構(gòu)制模型如下［8］：

其中對稱正定矩陣G的元素是：

反演求解過程如下：

（1）對重力場根據(jù)（8）式計算重力核函數(shù)G（j，xk，yl，zm）；

（2）根據(jù)（11）式計算內(nèi)積矩陣Γ；

（3）用正則化方法解方程（10），求得系數(shù)向量-→αj；

（4）根據(jù)（9）式計算重力場源分布；

（5）計算該重力場源分布所產(chǎn)生的理論重力異常，以便判斷與實際觀測值擬合程度；

（6）計算重力場源質(zhì)心坐標：

4　結(jié)論

針對位場數(shù)據(jù)反演過程中出現(xiàn)的垂向分辨率低這一問題，在BG理論的基礎(chǔ)上，結(jié)合吉洪諾夫正則化方法，給出了用于地球物理位場三維反演的重力異常正則化等維反演方法，詳細介紹了方法的理論基礎(chǔ)及主要公式推導，給出了運用此方法求解地球物理重力場的密度源分布的公式。與傳統(tǒng)位場反演方法相比，正則化等維反演方法參與反演的數(shù)據(jù)體本身就體現(xiàn)了三維結(jié)構(gòu)，可有效地改善重力位場反演垂向分辨率低的問題。

［1］楊文采.地球物理反演的理論與方法［M］.地質(zhì)出版社，1996.

［2］劉天佑.重磁異常反演的理論與方法［M］.武漢：中國地質(zhì)大學出版社，1992.

［3］張貴賓.地磁梯度測深與位場反演［M］.北京：冶金工業(yè)出版社，1997.

［4］晉風明.重力異常的正則化等維反演研究［D］.中國地質(zhì)大學（北京），2008.

［5］盛君.三維重力梯度正反演研究［D］.中國地質(zhì)大學（北京），2008.

［6］張永明，盛君，張貴賓.航空重力測量技術(shù)的現(xiàn)狀及應(yīng)用［J］.勘探地球物理進展，2006，29（2）：94-97.

［7］張永明，張貴賓，盛君.航空重力梯度測量技術(shù)及應(yīng)用［J］.工程地球物理學報，2006，3（5）：375-380.

［8］王家映.地球物理反演理論［M］.2版.高等教育出版社，2002.

［9］王華嘯.廣義線性反演理論及其在磁異常解釋中的應(yīng)用［D］.長春地質(zhì)學院，1985.

P59

A

1004-5716（2016）05-0126-03

2015-12-29

劉堯（1989-），男（漢族），陜西渭南人，現(xiàn)從事地球物理正反演研究及勘探工作。