某連續(xù)梁地震響應(yīng)分析

詹英杰， 唐懷平， 童少偉

(西南交通大學(xué)， 四川成都 610031)

?

某連續(xù)梁地震響應(yīng)分析

詹英杰， 唐懷平， 童少偉

(西南交通大學(xué)， 四川成都 610031)

選擇某連續(xù)梁，采用有限元軟件建立相應(yīng)模型，并選擇汶川地震波作為荷載進(jìn)行加載計算。作者分析了該連續(xù)梁跨中點的應(yīng)力、撓度時程響應(yīng)及根部的應(yīng)力時程響應(yīng);采用功率譜密度函數(shù)分析了地震波頻域特性，根據(jù)功率譜密度函數(shù)頻域特性分析，重新計算了模型在固有頻率接近地震功率譜密度峰值處情況下的響應(yīng)。

地震；連續(xù)梁；響應(yīng)；應(yīng)力；荷載；功率譜密度

地震對土木結(jié)構(gòu)的破壞作用巨大，汶川“5·12”大地震中，無數(shù)的房屋、橋梁、道路被毀；人身財產(chǎn)安全在地震中也受到了巨大的威脅。近年來，結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計也越來越成為人們關(guān)心的問題。基于此，筆者對我國某連續(xù)梁進(jìn)行了抗震驗算，分析了結(jié)構(gòu)固有特性、地震荷載特性與結(jié)構(gòu)響應(yīng)之間的相互影響。

1　模型概要

1.1連續(xù)梁模型

選擇一我國高速鐵路線上的連續(xù)梁作為計算模型，采用有限元計算軟件進(jìn)行數(shù)值模擬。該連續(xù)梁模型整體采用C50號混凝土材料，跨度為40+64+40 m，模型見圖1。

材料參數(shù)為：

彈性模量：E=3.55E10 MPa

密度：ρ=2 600 kg/m3

泊松比：μ=0.3

圖1　計算模型

軟件中采用solid45空間實體單元對結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格劃分；底面采用兩方向位移約束；端部一邊采用三方向位移約束，另一邊采用兩方向位移約束。

1.2地震荷載

筆者選擇了汶川地震波作為該橋的驗算地震波。由于汶川地震強(qiáng)度大、持續(xù)時間長。本文僅選擇其8 s時間的波(圖2)作為本次計算荷載；選定波的峰值加速度為2.28 m/s2；離散荷載共計400步，每個荷載步持續(xù)時間為0.02 s，其值遠(yuǎn)低于結(jié)構(gòu)固有第一階頻率0.27 s，因此可選擇作為驗算荷載。

圖2　地震波荷載

2　模型計算

根據(jù)選定的模型以及相應(yīng)的荷載，即可在通用有限元軟件中進(jìn)行計算；計算采用瞬態(tài)動力學(xué)方法進(jìn)行。瞬態(tài)動力學(xué)計算方法存在一定缺陷，如：計算量大，對計算機(jī)的性能要求較高；需要的存儲容量高，對計算機(jī)的存儲容量要求較高。但是，現(xiàn)今計算機(jī)性能日益提升，瞬態(tài)動力學(xué)方法的優(yōu)點也日益體現(xiàn)，例如計算處理器性能的提升，對計算大型矩陣將不存在困難，存儲容量的加大，使得數(shù)據(jù)存儲不存在困難，并且，瞬態(tài)動力學(xué)計算是基于時間域的計算，其結(jié)果有直觀的物理意義，可以很好的被人們接受。

為了解結(jié)構(gòu)在該荷載作用的響應(yīng)以及對結(jié)構(gòu)的影響，筆者重點選擇了幾個關(guān)鍵截面上的響應(yīng)作為分析對象：跨中截面應(yīng)力和撓度響應(yīng)、根部截面的應(yīng)力響應(yīng)，其分析結(jié)果見圖3～圖6。

圖3　跨中正應(yīng)力時程曲線

圖4　跨中撓度時程曲線

圖5　根部正應(yīng)力時程曲線

圖6　根部剪應(yīng)力時程曲線

通過處理后，該結(jié)構(gòu)根部剪應(yīng)力最大值為32 881.9 Pa，正應(yīng)力最大值為1.953 MPa；跨中正應(yīng)力最大值為2.375 MPa，撓度最大值為0.0078 m，總結(jié)發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)應(yīng)力均未超過C50混凝土的強(qiáng)度限值；撓度也小于相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)中的L/400的規(guī)定。筆者認(rèn)為，從該橋整體上的響應(yīng)分析，可初步判斷結(jié)構(gòu)可以抵抗該地震荷載的作用。

根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學(xué)的常識，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)取決于荷載的大小、荷載的形式以及結(jié)構(gòu)本身的形式以及相應(yīng)的結(jié)構(gòu)特性，為驗證結(jié)構(gòu)響應(yīng)同荷載類型的相關(guān)性，筆者繼續(xù)通過功率譜密度函數(shù)分析的方式，分析了荷載特性與結(jié)構(gòu)特性之間的聯(lián)系對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響。

3　功率譜密度函數(shù)分析

3.1功率譜密度函數(shù)理論

譜分析是研究振動的一個重要手段。根據(jù)傅里葉分析，任何一個周期T的周期運動x(t)都可以展開成傅里葉級數(shù)：

(1)

(2)

上式的物理意義：任何形式的周期運動可以看成是基頻(ω)和一系列的泛諧振的疊加。

對于任何非周期運動的時間函數(shù)x(t)，不能把它展開成傅里葉級數(shù)，而只能將其寫成傅里葉積分，假設(shè)。

(3)

則：

(4)

(5)

即非周期運動的頻率譜是連續(xù)譜。

對于隨機(jī)過程，自然可以推測其頻率譜也是連續(xù)譜。然而：

(1)有些隨機(jī)過程x(t)有可能是隨時間t而無限連續(xù)下去，即x(t)在任何時刻都具有有限值，如理想白噪聲，此時條件式(3)不成立，即將x(t)表示成傅里葉積分不成立。

(2)有些運動或過程，它們有隨機(jī)性，但又不是完全的隨機(jī)，而是有一定的規(guī)律(色噪聲，如粉紅噪聲)。

因此，對于一般的隨機(jī)運動不能利用傅里葉變換求出其振幅-頻率譜，有的即便可以求出，但不能反映出運動的某些特性。

繼而，定義自相關(guān)函數(shù)(離散卷積)，x(t)的自相關(guān)函數(shù)C(τ)的定義是：

(6)

式中的τ是時間的移動值。這樣，C(τ)的值表示兩時刻(t和t+τ)運動或隨機(jī)過程的相關(guān)聯(lián)程度：當(dāng)x(t)幅值一定時，C(τ)越大，則意味著x(t+τ)與x(t)越相似；又τ越小時，x(t+τ)與x(t)越相似，從而C(τ)值越大。反之，τ越大時x(t+τ)與x(t)差別可能越來越大。最后兩者完全無關(guān)而C(τ)趨于0。

自相關(guān)函數(shù)存在以下性質(zhì)：

其一：C(τ)是實偶函數(shù)，即:

因為：

上面第二式是由代換λ=t-τ得到，第三式是考慮到由于積分上下限同時改變τ而積分時間間隔T不變，當(dāng)T→∞時，這樣改變不引起結(jié)果變化；

其二：C(0)是C(τ)的最大值，因為：

所以，C(0)≥|C(τ)|；

其三:C(0)等于x(t)的均方根值。

其四:對于周期運動，x(t)是周期函數(shù)，則C(τ)也是周期函數(shù)。此時，C(τ)不僅在τ=0處取極大值，在nT處(T為周期)都會出現(xiàn)極大值；

其五：在某些情況下，運動并不是規(guī)則的，但也不是完全隨機(jī)的。設(shè)，如果x(t)包含隨機(jī)過程s(t)和規(guī)則運動部分r(t)兩部分：

則，x(t)的自相關(guān)函數(shù)等于這兩部分各自自相關(guān)函數(shù)之和：

依據(jù)上述性質(zhì)，我們可以用自相關(guān)函數(shù)分析隨機(jī)過程中的確定信號或者隨機(jī)特征。

為表示運動的頻譜特性，可以對自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換：

C(τ)的傅里葉變換S(ω)即可用來描述運動的頻譜特征，S(ω)又稱為功率譜密度函數(shù)。

可見，功率譜密度函數(shù)S(ω)在頻域中反映了荷載的分布情況，對于隨機(jī)的地震荷載信號，其也存在一定的頻域荷載峰值，通過功率譜密度函數(shù)的分析，可以了解該荷載在哪個頻率下，對結(jié)構(gòu)的作用最大。

3.2地震波的功率譜密度函數(shù)分析

筆者對所選用的地震荷載譜進(jìn)行了功率譜密度函數(shù)分析，得到了頻域下的功率譜密度函數(shù)分布(圖7)。

通過對上述的功率譜密度圖形分析，可知，選定的地震波對頻率較低的區(qū)域作用小，當(dāng)頻率f<2時，PSD值基本在0附近；對2.53.5的范圍內(nèi)，PSD值又較小。

圖7　功率譜密度

4　基于功率譜分析下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)計算

筆者基于對選定的地震波的功率譜密度分析結(jié)果，對模型參數(shù)進(jìn)行了小幅度修改，并重新進(jìn)行了計算。

4.1結(jié)構(gòu)模態(tài)分析

筆者采用BlockLanczos方法對連續(xù)梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了兩組模態(tài)分析，第一組采用標(biāo)準(zhǔn)C50混凝土材料參數(shù)進(jìn)行網(wǎng)格劃分；第二組將混凝土的彈性模量E改成3.06MPa，計算結(jié)果見圖8、圖9。

圖8　標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)下結(jié)構(gòu)第一階模態(tài)

圖9　修改參數(shù)后結(jié)構(gòu)第一階模態(tài)

其中，圖8為結(jié)構(gòu)材料為標(biāo)準(zhǔn)C50材料參數(shù)下的結(jié)構(gòu)第一階縱向彎曲模態(tài)。從截圖可知，結(jié)構(gòu)第一階縱向彎曲固有頻率為3.769Hz；圖9為結(jié)構(gòu)材料為修改彈性模量E為3.06MPa后，結(jié)構(gòu)第一階縱向彎曲模態(tài)，從截圖可知，結(jié)構(gòu)第一階縱向彎曲固有頻率為3.5Hz。

通過前文的功率譜密度分析可知，修改參數(shù)后結(jié)構(gòu)的第一階縱向彎曲固有頻率剛好與功率譜密度中的一個峰值重合。

4.2參數(shù)修改后結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析

基于前一步對結(jié)構(gòu)模態(tài)的分析，筆者繼續(xù)對該修改了材料參數(shù)的模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)地震作用下的瞬態(tài)動力學(xué)分析，并提取了同第二步中一致的關(guān)鍵截面響應(yīng)數(shù)據(jù)，見圖10～圖13。

圖10　跨中正應(yīng)力時程曲線

圖11　跨中撓度時程曲線

圖12　根部正應(yīng)力時程曲線

圖13　根部剪應(yīng)力時程曲線

通過處理后，提取響應(yīng)參數(shù)的最大值，并同原始計算模型的結(jié)果進(jìn)行比較分析，可將結(jié)果匯總成一個表格(表1)。

表1　不同材料參數(shù)下的結(jié)構(gòu)最大響應(yīng)值

從表1的計算結(jié)果可知，結(jié)構(gòu)在彈性模量E改變13.8 %的情況下，該連續(xù)梁結(jié)構(gòu)承受同樣地震荷載時，結(jié)構(gòu)關(guān)鍵截面的響應(yīng)大幅度提高，其中根部正應(yīng)力提高幅度達(dá)到68.9 %，其他選定的響應(yīng)值提高幅度均超過50 %。

從結(jié)構(gòu)動力學(xué)的角度看，這種放大作用是由于結(jié)構(gòu)荷載特征周期和結(jié)構(gòu)的固有頻率之間存在共振的情況，共振現(xiàn)象在一般的結(jié)構(gòu)設(shè)計時都是應(yīng)該盡力避免的。

5　結(jié)論

本文以數(shù)值模擬與理論分析相結(jié)合的方式，對我國某高速鐵路線連續(xù)梁模型進(jìn)行了地震荷載作用下的結(jié)構(gòu)瞬態(tài)動力學(xué)分析，得到了一些有參考意義的結(jié)論。

(1)通過結(jié)構(gòu)地震荷載作用下的瞬態(tài)動力學(xué)分析，可以獲得結(jié)構(gòu)時域響應(yīng)信息，可通過對時域響應(yīng)信息的清晰判斷來評估結(jié)構(gòu)的安全性，可作為結(jié)構(gòu)設(shè)計參考。

(2)通過對地震波荷載離散形式下的功率譜密度函數(shù)分析，得到了頻域下地震波的功率譜密度分布情況，并結(jié)合結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析，計算了模態(tài)頻率和功率譜密度函數(shù)峰值點對應(yīng)頻率接近情況下的結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)，結(jié)合原始計算響應(yīng)，筆者發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率和功率譜密度函數(shù)峰值點對應(yīng)頻率接近時，結(jié)構(gòu)關(guān)鍵截面的動力響應(yīng)明顯的增大了。

(3)通過上述分析，筆者認(rèn)為，結(jié)構(gòu)設(shè)計時，設(shè)計師還應(yīng)該考察當(dāng)?shù)氐牡刭|(zhì)情況，盡可能的了解當(dāng)?shù)氐牡卣鹱吭街芷冢诮Y(jié)構(gòu)設(shè)計時，結(jié)構(gòu)低階頻率要盡可能避開當(dāng)?shù)氐牡卣鹱吭街芷凇?/p>

[1]劉秉正. 非線性動力學(xué)與混沌基礎(chǔ)[M]. 長春：東北師范大學(xué)出版社，1994.

[2]劉式達(dá)，劉式適. 非線性動力學(xué)和復(fù)雜現(xiàn)象[M]. 北京：氣象出版社，1989.

[3]裘伯永,盛興旺. 橋梁工程[M]. 北京: 中國鐵道出版社，2008.

[4]李喬. 混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計原理[M]. 北京：中國鐵道出版社，2009.

[5]盛和太,喻海良, 范訓(xùn)益.ANSYS有限元原理與工程應(yīng)用實例大全[M]. 北京:清華大學(xué)出版社，2006.

U442.5+5

A

[定稿日期]2016-03-07