高速公路改擴(kuò)建成本預(yù)測(cè)的灰色-馬爾可夫鏈模型

王軍艷，李玨

（長(zhǎng)沙理工大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410004）

高速公路改擴(kuò)建成本預(yù)測(cè)的灰色-馬爾可夫鏈模型

王軍艷，李玨

（長(zhǎng)沙理工大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410004）

高速公路改擴(kuò)建過(guò)程中會(huì)受到眾多因素的影響。文中結(jié)合其特點(diǎn)，在統(tǒng)計(jì)高速公路改擴(kuò)建成本歷史數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，建立灰色GM（1，1）預(yù)測(cè)模型，對(duì)高速公路改擴(kuò)建成本進(jìn)行預(yù)測(cè)，同時(shí)根據(jù)馬爾可夫鏈模型對(duì)預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的殘差幅度進(jìn)行狀態(tài)分類，得出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和預(yù)測(cè)區(qū)間值，最終求得各個(gè)序列的修正值，并通過(guò)實(shí)例說(shuō)明了灰色-馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)模型的精度。

工程管理；高速公路改擴(kuò)建；成本預(yù)測(cè)；灰色-馬爾可夫鏈

高速公路改擴(kuò)建項(xiàng)目的規(guī)劃、設(shè)計(jì)、招投標(biāo)、施工等階段都存在影響建設(shè)成本的因素，為了有效控制高速公路改擴(kuò)建成本、合理利用資源，需對(duì)高速公路改擴(kuò)建進(jìn)行成本預(yù)測(cè)和分析。目前關(guān)于改擴(kuò)建工程成本預(yù)測(cè)的研究有：楊敏利用灰色GM（1，1）模型對(duì)改擴(kuò)建項(xiàng)目成本進(jìn)行預(yù)測(cè)，以得到的預(yù)測(cè)值和發(fā)展系數(shù)作為從實(shí)施過(guò)程備選方案預(yù)測(cè)指標(biāo)結(jié)果中選擇利益最優(yōu)實(shí)施方案的衡量標(biāo)準(zhǔn)，使結(jié)果的可信度增加；張健等對(duì)改擴(kuò)建項(xiàng)目投資決策問(wèn)題進(jìn)行分析，將AHP法和模糊評(píng)判法相結(jié)合，在價(jià)值工程的基礎(chǔ)上建立了改擴(kuò)建投資決策模型；左光文將一元回歸方法用于工程項(xiàng)目成本預(yù)測(cè)，解決了在資料不夠詳實(shí)、時(shí)間較緊迫的情況下無(wú)法對(duì)工程項(xiàng)目成本進(jìn)行預(yù)測(cè)的問(wèn)題；雷劍從影響高速公路改擴(kuò)建工程的各項(xiàng)經(jīng)濟(jì)技術(shù)指標(biāo)出發(fā)，在模糊重構(gòu)優(yōu)化DEA的基礎(chǔ)上建立了高速公路改擴(kuò)建方案評(píng)價(jià)指標(biāo)體系；陸紅梅等運(yùn)用模糊模式進(jìn)行識(shí)別和選取，通過(guò)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)工程項(xiàng)目成本進(jìn)行預(yù)測(cè)，經(jīng)過(guò)實(shí)例驗(yàn)證，得出基于這兩種方法的模型可用于工程項(xiàng)目成本預(yù)測(cè)；劉穎等利用灰色理論方法對(duì)高速公路改擴(kuò)建成本進(jìn)行了預(yù)測(cè)，但只預(yù)測(cè)了未來(lái)幾年高速公路擴(kuò)建成本趨勢(shì)，沒(méi)有進(jìn)行精度上的改善。該文運(yùn)用灰色GM（1，1）模型，通過(guò)對(duì)某地區(qū)2001—2014年高速公路改擴(kuò)建中四車道改八車道成本數(shù)據(jù)的處理，預(yù)測(cè)近4年高速公路改擴(kuò)建成本，結(jié)合馬爾可夫鏈模型得出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，并對(duì)GM（1，1）模型得出的預(yù)測(cè)值進(jìn)行修正，以得出更加準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)成本值。

1　灰色-馬爾可夫鏈模型的基本思想

灰色GM（1，1）預(yù)測(cè)模型是灰色系統(tǒng)理論的核心內(nèi)容之一，是灰色預(yù)測(cè)模型中應(yīng)用最廣泛的模型，它具有所需樣本少、計(jì)算簡(jiǎn)單等特點(diǎn)。不像回歸模型和經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ湍菢有枰獜挠绊懜咚俟犯臄U(kuò)建成本的眾多因素中篩選出主要影響因素，更不需要收集主要影響因素的具體數(shù)據(jù)，而是從高速公路改擴(kuò)建成本自身出發(fā)，在收集成本歷史數(shù)據(jù)的過(guò)程中尋找有用信息和發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在規(guī)律，建立灰色GM（1，1）模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。它要求高速公路改擴(kuò)建成本歷史數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)處理后具有指數(shù)規(guī)律，但由于高速公路改擴(kuò)建項(xiàng)目在實(shí)施過(guò)程中受環(huán)境影響較大，且具有作業(yè)面狹小、工點(diǎn)分散、功效低、施工組織和交通組織復(fù)雜等特點(diǎn)，利用歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行累加生成的數(shù)據(jù)并不一定具有指數(shù)規(guī)律，可能會(huì)產(chǎn)生誤差，通過(guò)累加生成的數(shù)據(jù)也可能增加模型的誤差。

馬爾可夫鏈?zhǔn)且粋€(gè)隨機(jī)過(guò)程，該過(guò)程是從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一種狀態(tài)，根據(jù)其規(guī)律性形成轉(zhuǎn)移概率，進(jìn)而預(yù)測(cè)狀態(tài)未來(lái)的發(fā)展方向。高速公路改擴(kuò)建是一個(gè)工程量大、征地拆遷困難、通行不間斷、工程變更多的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)過(guò)程，可將改擴(kuò)建成本作為這一動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的特征向量。成本的變化是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，而馬爾可夫鏈可以對(duì)該過(guò)程進(jìn)行描述。

根據(jù)上述兩種模型的基本思想，可以將高速公路改擴(kuò)建成本每年的變化看成一個(gè)灰色動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，在此基礎(chǔ)上建立灰色GM（1，1）預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)高速公路改擴(kuò)建成本變化的未來(lái)趨勢(shì)。但由于高速公路改擴(kuò)建過(guò)程中的隨機(jī)波動(dòng)性較大，灰色GM（l，l）預(yù)測(cè)模型只能預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)總體發(fā)展趨勢(shì)，并不能很好地揭示該過(guò)程的波動(dòng)性。為此，運(yùn)用馬爾可夫鏈對(duì)灰色GM（1，1）模型預(yù)測(cè)出的高速公路改擴(kuò)建成本結(jié)果進(jìn)行修正，提高預(yù)測(cè)精度。

2　灰色-馬爾可夫鏈模型的建立

2.1GM（1，1）模型

（1）設(shè)有原始數(shù)據(jù)序列［見(jiàn)式（1）］，它是一個(gè)在限制區(qū)間內(nèi)進(jìn)行變化，序列長(zhǎng)度為n的隨機(jī)序列。在獲得原始數(shù)據(jù)的過(guò)程中會(huì)受到種種因素的影響，需使用累加、累減、求均值的方法對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪處理，使其具有一定的規(guī)律性，帶有一定的指數(shù)規(guī)律并呈現(xiàn)整體上升的趨勢(shì)。累加公式見(jiàn)式（2）。

（2）根據(jù)x（1）（k）的指數(shù)增長(zhǎng)規(guī)律，建立灰微分方程模型［見(jiàn)式（3）］，即灰微分方程的影子方程。

式中：x（1）為時(shí)間t的函數(shù)；a、b為待估參數(shù)。

（3）參數(shù)估計(jì)。設(shè)M=（a，b）T，待定，引入向量記號(hào)［見(jiàn)式（4）、式（5）］，將式（3）轉(zhuǎn)換成離散形式，得Y=BM。通過(guò)MATLAB進(jìn)行矩陣轉(zhuǎn)換和最小二乘法計(jì)算參數(shù)M=（a，b）T，得式（6）。

式中：z（1）（k）=［x（1）（k-1）+x（1）（k）］/2，k=2，3，…，n。

（4）預(yù)測(cè)值的計(jì)算。將a、b值代入式（2），得到原微分方程的近似解［見(jiàn)式（7）］和離散響應(yīng)量x（1）（k）的預(yù)測(cè)值［見(jiàn)式（8）］，進(jìn)而得到X（0）的預(yù)測(cè)值［見(jiàn)式（9）］。

式中：x（0）（1）=x（1）（1）。

將灰色GM（1，1）預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)值與原始數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，得到兩者在同一個(gè)時(shí)刻點(diǎn)的殘差。

2.2馬爾可夫鏈改進(jìn)模型

鑒于灰色GM（1，1）預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果比較籠統(tǒng)，采用馬爾可夫鏈對(duì)GM（1，1）模型預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行修正，將預(yù)測(cè)結(jié)果限制在較小的區(qū)間，并通過(guò)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣使區(qū)間中的預(yù)測(cè)范圍更加準(zhǔn)確。

馬爾可夫鏈?zhǔn)且粋€(gè)關(guān)于時(shí)間X（t）的隨機(jī)過(guò)程，其基本思路是：在一個(gè)時(shí)刻T0狀態(tài)S0已知的情況下，從狀態(tài)S0轉(zhuǎn)移到下一時(shí)刻T1的狀態(tài)S1只與狀態(tài)S0有關(guān)，而與T0之前的狀態(tài)無(wú)關(guān)。運(yùn)用馬爾可夫鏈將同一時(shí)刻的預(yù)測(cè)結(jié)果和原始數(shù)據(jù)之間的殘差程度進(jìn)行狀態(tài)分類，根據(jù)狀態(tài)分類得出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣形式為：

式中：Pij為由狀態(tài)Si轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Sj的概率，0≤。

Pij描述的是n個(gè)狀態(tài)之間相互轉(zhuǎn)移的概率。根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，可以對(duì)灰色GM（1，1）預(yù)測(cè)結(jié)果在一定的預(yù)測(cè)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行修正，從而得出更加可信的預(yù)測(cè)值，提高預(yù)測(cè)結(jié)果的精度。

3　實(shí)例應(yīng)用

某地區(qū)2001—2014年高速公路四車道擴(kuò)寬為八車道的平均造價(jià)見(jiàn)表1。

表1　高速公路四車道改八車道每公里平均造價(jià)

3.1模型建立

根據(jù)表1所示原始數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)變換處理后，建立灰色GM（1，1）模型對(duì)該地區(qū)高速公路四車道擴(kuò)寬為八車道的平均造價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

（1）數(shù)據(jù)處理，建立原始數(shù)列：

將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行一次性累加，得出具有一定規(guī)律的數(shù)據(jù)序列：

（2）由式（4）～（6）求得B、Y；利用MATLAB進(jìn)行矩陣運(yùn)算，得a=-0.1099、b=2313.9。

（3）求出預(yù)測(cè)模型。將參數(shù)代入式（8），得到GM（1，1）模型：

利用該灰色GM（1，1）模型對(duì)2002—2014年高速公路改擴(kuò)建成本進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果見(jiàn)表2。從表2可以看出：預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的平均誤差為1.28%（絕對(duì)值），最大年度誤差為9%（絕對(duì)值），預(yù)測(cè)結(jié)果在可接受的范圍內(nèi)。

3.2狀態(tài)劃分

根據(jù)實(shí)際值與預(yù)測(cè)值的殘差幅度進(jìn)行狀態(tài)分類，將高速公路四車道改八車道的平均造價(jià)劃分為3種狀態(tài)：狀態(tài)1為高估狀態(tài)，殘差幅度為（-10%，-2%），從表2來(lái)看，2002、2003、2004、2014年為這種狀態(tài)。狀態(tài)2為正常狀態(tài)，殘差幅度為［-2%，2%］，2005—2010、2012、2013年為這種狀態(tài)。狀態(tài)3為低估狀態(tài)，殘差幅度為（2%，10%），2011年為這種狀態(tài)。

根據(jù)以上狀態(tài)分類結(jié)果，獲得2002—2014年馬爾可夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況（見(jiàn)表3）。

表2　2002—2014年GM（1，1）預(yù)測(cè)結(jié)果

表3　2002—2014年灰色預(yù)測(cè)結(jié)果馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況

根據(jù)表3得出2002—2014年馬爾可夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：

根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣得到之后4年（2015—2018年）的預(yù)測(cè)狀態(tài)向量（見(jiàn)表4）。

表4　2015—2018年灰色預(yù)測(cè)結(jié)果馬爾可夫鏈狀態(tài)向量

3.3近期高速公路改擴(kuò)建成本預(yù)測(cè)

運(yùn)用馬爾可夫鏈模型對(duì)灰色GM（1，1）模型預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行改進(jìn)，結(jié)果見(jiàn)表5。

根據(jù)灰色GM（1，1）預(yù)測(cè)結(jié)果，該地區(qū)高速公路改擴(kuò)建工程成本呈現(xiàn)逐年增長(zhǎng)的趨勢(shì)。采用馬爾可夫鏈對(duì)灰色模型預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行修正后，得出該地區(qū)高速公路改擴(kuò)建成本處于高估狀態(tài)，低于實(shí)際預(yù)測(cè)值。高速公路改擴(kuò)建中要做好成本預(yù)測(cè)，使建設(shè)成本得到有效控制。

表5　基于灰色-馬爾可夫鏈模型的高速公路改擴(kuò)建成本預(yù)測(cè)結(jié)果

4　結(jié)語(yǔ)

高速公路改擴(kuò)建過(guò)程屬于一個(gè)在灰色系統(tǒng)前提下的隨機(jī)過(guò)程，該文根據(jù)該特點(diǎn)，應(yīng)用灰色-馬爾可夫鏈模型對(duì)其成本進(jìn)行預(yù)測(cè)。通過(guò)灰色GM（1，1）模型得出較為粗糙的預(yù)測(cè)值，然后利用馬爾可夫鏈對(duì)預(yù)測(cè)值進(jìn)行修正，得出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，確定高速公路改擴(kuò)建成本預(yù)測(cè)值位于不同區(qū)間的可能性，再將區(qū)間預(yù)測(cè)中值與通過(guò)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣得到的區(qū)間發(fā)生概率進(jìn)行結(jié)合，更加準(zhǔn)確地呈現(xiàn)高速公路改擴(kuò)建成本發(fā)展總體趨勢(shì)?；疑到y(tǒng)理論要求系統(tǒng)的影響因素相對(duì)穩(wěn)定，故灰色-馬爾可夫鏈模型適用于近期高速公路改擴(kuò)建成本預(yù)測(cè)。

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