初中數(shù)學(xué)中發(fā)散性思維及其在教學(xué)中的作用

魏全民

【摘 要】發(fā)散性思維又是創(chuàng)造性思維的核心。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生數(shù)學(xué)思維方法單一；思維變通性差，不能靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)；創(chuàng)造能力差，很少提出新方法和獨(dú)特見解。而以上種種表現(xiàn)實(shí)際可歸結(jié)為發(fā)散性思維能力較差。本文首先介紹了發(fā)散性思維的特征，討論了發(fā)散性思維在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，最后就怎樣培養(yǎng)訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維能力提出幾點(diǎn)思考，并得出了相關(guān)結(jié)論。

【關(guān)鍵字】發(fā)散性思維 發(fā)散思維意識(shí) 發(fā)散思維動(dòng)機(jī) 初中數(shù)學(xué)教學(xué)

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）17-0276-02

引言

隨著知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代的到來和信息技術(shù)革命深入，創(chuàng)造被歷史地推上了殿堂，飾演著越來越重要的角色，創(chuàng)新與創(chuàng)造能力已經(jīng)成為國家強(qiáng)盛之源和社會(huì)發(fā)展之本。目前，一致的看法是，創(chuàng)造性思維與人的創(chuàng)造力密切相關(guān)。而發(fā)散性思維又是創(chuàng)造性思維的核心。吉爾福特曾指出：“要在學(xué)校教學(xué)方面啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，就必須從求同轉(zhuǎn)向于求異的方式?！毙炖谓淌谝苍岢觯骸耙话阏f來，數(shù)學(xué)上的新思想、新概念和新方法往往來源于發(fā)散思維。所以按照心理學(xué)家的見解，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造能力的大小應(yīng)和他們的發(fā)散思維能力成正比。”但是就如何在學(xué)科教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維而言，有關(guān)于此的探討還不太多，如果論及數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)散思維的培養(yǎng)，這方面的文章就更顯得寥寥無幾。

1.發(fā)散性思維的定義

發(fā)散性思維又名輻射型思維，是指沿著各種不同的方面去思考，重組眼前的信息和記憶中的信息，產(chǎn)生新的有用的信息，即對(duì)已知信息沿著不同的方向，不同的角度思考問題，不局限于既定的理解，從而提出新問題、探索新知識(shí)或發(fā)現(xiàn)多種解答和多種結(jié)果的思維方式。這種思維方式，可以不受現(xiàn)成知識(shí)的限制，不受傳統(tǒng)方式的束縛，沒有固定的方向、固定的范圍，允許標(biāo)新立異、異想天開，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的想象能力、創(chuàng)造性思維能力，提高學(xué)生觀察問題、解決問題的能力有著重要意義。

2.發(fā)散性思維的特征

結(jié)合現(xiàn)有的教學(xué)方式，為了有效地培養(yǎng)發(fā)散思維，提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，我們將發(fā)散性思維的三個(gè)特征——多端性、變通性和獨(dú)特性介紹如下：

（1）多端性也稱流暢性，流暢的基本特征是數(shù)學(xué)思維通道暢通無阻，思維向多個(gè)方面發(fā)散。大腦對(duì)外界數(shù)學(xué)知識(shí)信息的分析、加工、重組的速度快，對(duì)同一問題思維方向多，例如，數(shù)學(xué)中有些題能一題多解，有些題能從不同角度提出不同問題。

（2）變通性又稱為靈活性，是指思維形式不受固定格式的限制，思維方向多，即可橫向，又可縱向，還可逆向。換元的機(jī)制強(qiáng)，固定的到可變的、已知的到未知的、單一的到多個(gè)的、形式靈活善變，一題多變，代數(shù)、幾何、三角、高等數(shù)學(xué)、初等數(shù)學(xué)的知識(shí)交融使用。變通性是應(yīng)付和解決變化問題的關(guān)鍵，是發(fā)散思維的重要標(biāo)志。教學(xué)中，注重思維方式的逆向引導(dǎo)，讓學(xué)生擺脫定向思維的束縛，加強(qiáng)事物的內(nèi)涵和外延的溝通聯(lián)系，注意定義、公式的逆向推導(dǎo)與使用，使學(xué)生逐步養(yǎng)成雙向思考問題的好習(xí)慣，善于從不同的立場(chǎng)、角度、層次探索問題，拓展思維。它反映了數(shù)學(xué)發(fā)散思維的數(shù)量特征，突出了一個(gè)“多”字。

（3）獨(dú)特性，是指思維方式求異，新穎奇特，一題多想，千方百計(jì)尋求最有解法，創(chuàng)優(yōu)機(jī)制強(qiáng)烈，思維結(jié)果有創(chuàng)新的特點(diǎn)就是擺脫人們的共識(shí)和傳統(tǒng)觀念的思維定勢(shì)，從另外的角度提出完全不同、但有一定依據(jù)的全新觀點(diǎn)。要改變完全輸入式的教學(xué)方式，在講授法中應(yīng)結(jié)合討論法、自學(xué)指導(dǎo)法，鼓勵(lì)學(xué)生大膽開拓，積極思考，同中求異；在解決問題中應(yīng)注意多種解法；在問題討論中，應(yīng)注意多種結(jié)論，不斷拓展學(xué)生的思維方向和思維空間。進(jìn)行發(fā)散思維獨(dú)特性訓(xùn)練的主要方式有：新高度闡述。當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了某一理論知識(shí)以后，教師引導(dǎo)學(xué)生回頭，從新的理論高度重新思考已學(xué)過的舊知識(shí)，從而提出新的見解，并做出更深刻、更準(zhǔn)確、更全面的表達(dá)。

3.發(fā)散思維的幾種形式

數(shù)學(xué)發(fā)散思維的展開形式有：橫向發(fā)散、縱向發(fā)散、逆向發(fā)散、窮舉式發(fā)散等形式。

3.1 橫向發(fā)散

所謂橫向發(fā)散，就是由同一個(gè)來源的數(shù)學(xué)信息，與相關(guān)的各方面的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)、知識(shí)線、知識(shí)塊相聯(lián)系，章節(jié)內(nèi)部、各章之間，甚至數(shù)學(xué)各分科之間的相互聯(lián)系。橫向發(fā)散有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念、公式、定理的橫向拓廣。例如，一元二次函數(shù)圖像與X軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，語氣對(duì)因的一元二次方程的解，與解一元二次方程有著密不可分的橫向聯(lián)系。

3.2 縱向發(fā)散

所謂縱向發(fā)散，就是數(shù)學(xué)信息向縱深聯(lián)想與推廣，從特殊到一般達(dá)到深化知識(shí)的目的，有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

例1.2：觀察下列各式： ， ， ，…

（1）請(qǐng)根據(jù)以上的各式的變形方式，對(duì)下列各題進(jìn)行探究變形：

① ______；② =______；③ =_____；

（2）由你所找到的規(guī)律計(jì)算：

解決該題的過程，就是一個(gè)由淺入深，逐步向縱深發(fā)展的思維過程。

3.3 逆向發(fā)散

所謂逆向發(fā)散就是由同一個(gè)來源的數(shù)學(xué)信息根據(jù)它的特點(diǎn)從常有思維的反面或否定方面去思考和探索問題，順推不行考慮逆推，直接解決不行考慮間接解決，探討可能性發(fā)生困難時(shí)考慮不可能性，正如順流而下向大海，逆流而上找源頭一樣，正向思維無法找到問題的答案時(shí)，逆向思維可起到意想不到效果。

3.4 窮舉式發(fā)散

所謂窮舉式發(fā)散就是數(shù)學(xué)信息從已知到未知尋求各種充分條件，并列地展開的合理聯(lián)想，從而找到各種可能結(jié)果，例如，一個(gè)四方桌，截取一個(gè)角后，還有幾個(gè)角？通過窮舉式發(fā)散思維后，可以發(fā)現(xiàn)，答案是，的可能有5個(gè)角，也可能有3個(gè)角。數(shù)學(xué)上的分類討論思想，就是一個(gè)典型的窮舉式發(fā)散思維。

4.發(fā)散思維在教學(xué)中的作用

4.1 在教學(xué)中不斷強(qiáng)化思維發(fā)散的意識(shí)

意識(shí)是個(gè)體認(rèn)識(shí)世界和改造世界的根本。沒有意識(shí)，則人無以能為。在發(fā)散性思維的培養(yǎng)過程中，強(qiáng)化思維發(fā)散的意識(shí)同樣重要。學(xué)生強(qiáng)烈的思維發(fā)散意識(shí)對(duì)于發(fā)散性思維能力的提高，正如一件物體放在斜坡的高處它將滑向低處一樣，是一種重要的心向。在教學(xué)中，強(qiáng)化學(xué)生的思維發(fā)散意識(shí)可從以下方面入手。

4.2 發(fā)散性的提問

數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容具有高度的抽象性和邏輯的嚴(yán)密性等特點(diǎn)。對(duì)于培養(yǎng)個(gè)體的邏輯思維直接而自然。但長期以來，由于人們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中過分重視演繹推理，片面強(qiáng)調(diào)邏輯思維，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)教育僅賦予學(xué)生以“再現(xiàn)性思維”的嚴(yán)重弊病，極大地限制了數(shù)學(xué)課對(duì)于發(fā)散性思維的培養(yǎng)作用的發(fā)揮。另外，由于教師受傳統(tǒng)教學(xué)的影響，他們對(duì)于思維發(fā)散意識(shí)的培養(yǎng)起到了負(fù)引導(dǎo)作用。在講授例題或習(xí)題的過程中，教師較多地使用判別性提問、敘述性提問、說理性提問。在回答這些問題時(shí)，學(xué)生傾向于使用集中思維，久而久之，他們思維發(fā)散的意識(shí)必然淡薄。因此，在教授數(shù)學(xué)課時(shí)，若克服掉這個(gè)不足，改用發(fā)散性的提問，則會(huì)有利于學(xué)生發(fā)散意識(shí)的激發(fā)。

發(fā)散性的提問以“除此之外，還有哪些？”、“如果…，那會(huì)怎么樣？”為特點(diǎn)，通過這樣深層的剖析，旨在使學(xué)生思維呈立體擴(kuò)散，而不拘泥于一點(diǎn)。它不但可以涉及到橫向比較，也可以做出縱向概括。例如：“這個(gè)問題除用方程求解外，還可用什么方法？”、“請(qǐng)看下面這道題目，你能想到幾種解法？”、“如果把這個(gè)問題的結(jié)論由此例式改為乘積式，你將會(huì)怎么想？”等等，多使用這樣的提問，學(xué)生的思維不至于僵化，他們會(huì)在解決問題的過程中多角度地思考問題，從而形成思維發(fā)散的習(xí)慣。

4.3 鼓勵(lì)一題多解和一題多變

數(shù)學(xué)往往以題海而著稱，我們要摒除“題海戰(zhàn)術(shù)”的陋習(xí)。但我們必須清醒地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)習(xí)題的獨(dú)特地位，它不但可使學(xué)生鞏固知識(shí)，形成技能，而且如果在選題時(shí)或解題時(shí)注重一題多解和一題多變，則可以很好地強(qiáng)化學(xué)生的思維發(fā)散意識(shí)。

在講勾股定理的證明時(shí)，既可以使用面積割補(bǔ)法，也可以放到平面直角坐標(biāo)系中解決，還可以通過相似法來解決。而使用割補(bǔ)法，又有不同的割補(bǔ)思路，可以拼成長方形，也可以拼成正方形，還可以拼成其它圖形。在演習(xí)一元二次方程問題時(shí)，可以讓學(xué)生使用不同的方法，讓他們?cè)趯?duì)不同方法特點(diǎn)的掌握上做出最佳選擇，使他們對(duì)不同的解題方法掌握得更加鞏固。更重要的是，培養(yǎng)他們思維的靈活性，強(qiáng)化學(xué)生的思維發(fā)散意識(shí)。

同樣，也可以使用一題多變來強(qiáng)化學(xué)生的思維發(fā)散意識(shí)。通過變換命題的題設(shè)與結(jié)論來使問題或由陳舊變得新穎，或由順向改為逆向，或由單一改為綜合。例如，在學(xué)習(xí)圓的垂徑定理內(nèi)容時(shí)，通過題設(shè)和結(jié)論的變換，不但能夠?qū)С稣n本中列出的有關(guān)推論，還會(huì)得出許多題目的考點(diǎn)與考察形式。

5.教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維發(fā)散動(dòng)機(jī)及其能力

動(dòng)機(jī)是激發(fā)、維持和調(diào)節(jié)個(gè)體活動(dòng)的原動(dòng)力。對(duì)于培養(yǎng)個(gè)體的發(fā)散性思維能力，形成個(gè)體思維發(fā)散的動(dòng)機(jī)也應(yīng)成為重要的部分。這可以從以下兩方面入手：

5.1通過數(shù)學(xué)史的教育，形成思維發(fā)散的激情

數(shù)學(xué)是自然科學(xué)中的基礎(chǔ)學(xué)科，有“皇后”之稱。從數(shù)學(xué)的起源、發(fā)展到完善，無數(shù)位數(shù)學(xué)家為之奉獻(xiàn)了自己畢生的精力，他們開創(chuàng)性的工作將永為世人紀(jì)念。在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中，如果能擷取數(shù)學(xué)家的利用思維發(fā)散解決問題的故事來教育學(xué)生，那么在這些數(shù)學(xué)前輩親身經(jīng)歷的鼓舞和激勵(lì)下，學(xué)生會(huì)在已形成的思維發(fā)散意識(shí)的基礎(chǔ)上，在解決問題的過程中，追求思維發(fā)散，利用思維發(fā)散，他們思維發(fā)散的動(dòng)機(jī)也將得以形成。

數(shù)學(xué)家們運(yùn)用創(chuàng)造性思維解決問題的故事是不勝枚舉的。宋朝時(shí)期的劉徽為了計(jì)算圓周率的數(shù)值而發(fā)明了“割圓術(shù)”，即用圓內(nèi)接正多邊形的周長來代替計(jì)算圓的周長。這種思維正是思維發(fā)散的表現(xiàn)。我國數(shù)學(xué)家蘇步青小時(shí)候遇到這么一個(gè)問題：“甲乙兩個(gè)人從相距100米的A、B兩地相向而行，A的速度是每秒4米，B的速度是每秒6米，在他們開始出發(fā)時(shí)，A的身邊有一條狗，同時(shí)以每秒l0米的速度奔向B，在到達(dá)B后，再立即奔向A，就這樣往返奔跑于A和B之間，直到兩人相遇，問當(dāng)兩人相遇時(shí)，這條狗跑過的路程是多少”。蘇老避開小狗跑的路線不確定這一干擾因素，而抓住小狗的速度恒定這一隱蔽因素，順利地解決了問題，他的思維也正是創(chuàng)造性思維的體現(xiàn)。這些數(shù)學(xué)家的故事，將會(huì)激起學(xué)生的創(chuàng)造動(dòng)機(jī)，點(diǎn)燃他們思維發(fā)散的火花。

5.2 教師的創(chuàng)造教育觀和創(chuàng)造性教學(xué)

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師作為教學(xué)活動(dòng)的主導(dǎo)者，他的創(chuàng)造教育觀念及行為對(duì)學(xué)生形成思維發(fā)散動(dòng)機(jī)有潛移默化的影響。因此，教師必須首先確立創(chuàng)造教育觀，告訴學(xué)生“人人皆創(chuàng)造之人，天天皆創(chuàng)造之時(shí)，處處皆創(chuàng)造之地”（陶行知，1943）。所謂創(chuàng)造，不僅指能讓原子彈爆炸，能讓火箭上天，或能產(chǎn)生重大社會(huì)效益與經(jīng)濟(jì)效益的重大發(fā)明，學(xué)生對(duì)解決同一問題，提出新方案，新設(shè)想，都是創(chuàng)造，創(chuàng)造應(yīng)從小事做起，從現(xiàn)實(shí)出發(fā)，例如，學(xué)生無法拔出瓶塞，倒出瓶中酒時(shí)，他能把瓶塞推向瓶中，從而倒出瓶中酒，，都閃耀著創(chuàng)造性的火花。

其次，為了進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的思維發(fā)散動(dòng)機(jī)，誘發(fā)他們的思維發(fā)散行為，教師要采取創(chuàng)造性的教學(xué)，通過自己的教學(xué)語言、板書和教學(xué)程序等來體現(xiàn)思維發(fā)散的魅力。并達(dá)到鞏固知識(shí)、激發(fā)創(chuàng)造動(dòng)機(jī)的雙重目的。

新課改以后，教材中編入了鍛煉學(xué)生發(fā)散性思維和想象的內(nèi)容，以發(fā)展學(xué)生的想象力和各種不同的思維取向。同時(shí)教師對(duì)課堂教學(xué)的思維方式發(fā)生轉(zhuǎn)變，教師是學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者和參與者。教師不僅僅傳授學(xué)生知識(shí)，更要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的方法和思維，讓學(xué)生獲得學(xué)習(xí)的能力。教師要以學(xué)生發(fā)展為本，適應(yīng)全體學(xué)生發(fā)展的需要，即明確學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)識(shí)發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的過程是在教師的引導(dǎo)下自我建構(gòu)、自我生成的過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，尤其是發(fā)散性思維，精心設(shè)計(jì)教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，培養(yǎng)有效的學(xué)習(xí)方法。使新課程改革順利進(jìn)行、落到實(shí)處。