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    β級(jí)α型Bazileviˇc函數(shù)的對(duì)數(shù)系數(shù)

    2016-09-13 02:00:34牛瀟萌李書海
    關(guān)鍵詞:單葉分部赤峰

    牛瀟萌,李書海

    (赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,內(nèi)蒙古 赤峰 024000)

    β級(jí)α型Bazileviˇc函數(shù)的對(duì)數(shù)系數(shù)

    牛瀟萌,李書海

    (赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,內(nèi)蒙古 赤峰024000)

    利用從屬關(guān)系給出|(g(z)/f(z))α|的估計(jì).運(yùn)用構(gòu)造一個(gè)非負(fù)函數(shù)和對(duì)復(fù)變函數(shù)模的積分進(jìn)行估計(jì)的方法,對(duì)β級(jí)α型Bazileviˇc函數(shù)類Bα(β)的對(duì)數(shù)系數(shù)bn進(jìn)行研究.所得結(jié)果推廣了一些作者的相關(guān)結(jié)果.

    單葉函數(shù);對(duì)數(shù)系數(shù);Bazileviˇc函數(shù)

    1 引言

    設(shè) f(z)與 g(z)在 U內(nèi)解析,如果存在 U內(nèi)滿足 |ω(z)|≤|z|的解析函數(shù) ω(z),使得g(z)=f(ω(z)),則稱g(z)從屬于f(z),記作g(z)?f(z).

    設(shè)α>0,β∈R,f(z)∈S,如果存在g(z)∈S?,使得則稱f(z)∈B(α,β)[3].

    文獻(xiàn)[4]給出了如下α型β級(jí)Bazileviˇc函數(shù)類Bα(β).

    定義 1.1設(shè)f(z)∈S,α≥0,0≤β<1,若存在g(z)∈S?,使得

    則稱f(z)∈Bα(β),其中的冪函數(shù)取主值.顯然Bα(0)=Bα.設(shè)f(z)∈S,若則稱bn為f(z)的對(duì)數(shù)系數(shù).對(duì)數(shù)系數(shù)的估計(jì)在單葉函數(shù)的系數(shù)估計(jì)中有重要作用.Keobe函數(shù)k(z)=z(1-z)-2的對(duì)數(shù)系數(shù)為bn=1/n.對(duì)bn(n≥2)的估計(jì),現(xiàn)在已經(jīng)證明:

    (1)當(dāng)f(z)∈S?時(shí),|bn|≤[5];(2)當(dāng)f(z)∈C時(shí),|bn|≤A,其中A表示一個(gè)絕對(duì)常數(shù)[6];(3)當(dāng)f(z)∈Bα?xí)r,|bn|≤A(1+α),其中A表示一個(gè)絕對(duì)常數(shù)[7];(4)當(dāng)f(z)∈Y時(shí),|bn|≤A,其中A表示一個(gè)絕對(duì)常數(shù)[8];(5)當(dāng)f(z)∈B(α,β)時(shí),|bn|≤A,其中A表示一個(gè)絕對(duì)常數(shù)[9].

    本文研究Bα(β)的對(duì)數(shù)系數(shù).

    2 引理

    引理 2.1[9]設(shè)f(z)∈S,則

    引理 2.2[9]設(shè)f(z)∈S,α∈C.則,z=reiθ,0<r<1,

    引理 2.3[6]設(shè)f(z)∈S,則對(duì)z=reiθ,≤r<1,有(1)

    (2)

    引理 2.4[10]設(shè)g(z)∈S?,則arg g(z)>0且引理 2.5[11]設(shè)f(z)∈S,則對(duì)0<r<1,有

    引理 2.6設(shè)f(z)∈Bα(β),g(z)∈S?使得(1)式.則對(duì)z=reiθ,0≤r<1,有

    (1)

    (2)

    (3)

    證明(1)由引理2.1和引理2.2可知,

    易知J11≤1,利用分部積分公式和引理2.4可得,

    所以

    (2)記

    由分部積分和引理2.2可知,

    由引理2.3和Schwarz不等式可知,

    所以

    由(3)式和(2)式可知,

    所以

    由引理2.1,引理2.2和分部積分可得,

    由引理2.5可知,

    所以由引理2.3可知,

    引理 2.7設(shè)f(z)∈Bα(β)(α≥0,0≤β<1),則對(duì)z=reiθ,0≤r<1,有

    證明如果f(z)∈Bα(β),則存在g(z)∈S?使得(1)式成立.由于0≤β<1,所以

    由從屬關(guān)系定義可知,存在Schwarz函數(shù)ω(z),使得

    經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算有

    因?yàn)?≤β<1,所以|2β-1|<1,又因?yàn)閨ω(z)|≤|z|,所以

    由于

    所以

    3 主要結(jié)論

    定理 3.1設(shè)f(z)∈Bα(β),則對(duì)n≥2,

    其中

    證明設(shè)f(z)∈Bα(β),則存在g(z)∈S?,使得(1)式成立.記

    則Re p(z)>0.由(3)式可知對(duì)z=reiθ,

    因此

    因?yàn)镽e p(z)>0,所以

    由引理2.6可知,

    由引理2.6可知,

    由引理2.7可知,

    所以

    所以

    所以

    因?yàn)?/p>

    所以

    其中

    [1]Jenkins J A.On circularly symmetric functions[J].Proceedings of the American Mathematical Society,1955,6(4):620-624.

    [2]Goel R M,Mehrok B S.A subclass of univalent functions[J].Journal of the Australian Mathematical Society (Series A),1983,35(01):1-17.

    [3]Kim Y C.A note on growth theorem of Bazileviˇc functions[J].Applied Mathematics and Computation,2009,208(2):542-546.

    [4]楊定恭.α型β級(jí)Bazileviˇc函數(shù)的Fekete-Szego問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論,1998,18(1):99-104.

    [5]胡克.單葉函數(shù)的若干問(wèn)題[M].武漢:武漢大學(xué)出版社,2001.

    [6]YE Z.The logarithmic coefficients of close-to-convex functions[J].Bulletin of the Institute of Mathematics Academia Sinica(New Series),2008,3(3):445-452.

    [7]Ye Z.The coefficients of Bazileviˇc functions[J].Complex Variables and Elliptic Equations,2013,58(11):1559-1567.

    [8]葉中秋.圓對(duì)稱函數(shù)的對(duì)數(shù)系數(shù)[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,32(1):6-8.

    [9]Deng Q.On the logarithmic coefficients of Bazileviˇc functions[J].Applied Mathematics and Computation,2011,217(12):5889-5894.

    [10]Pommerenke C H.Univalent Functions[M].Gottingen:Vandenhoeck and Ruprecht,1975.

    [11]Lebedev N A.An application of the area principle to non-overlapping domains[J].Trudy Matematicheskogo Instituta im.V A Steklova,1961,60:211-231.

    2010 MSC:30C45

    The logarithmic coefficients of Bazileviˇc functions of type α and order β

    Niu Xiaomeng,Li Shuhai
    (School of Mathematics and Statistics,Chifeng University,Chifeng 024000,China)

    By using subordination,the paper gives estimation of|(g(z)/f(z))α|.A nonnegative function and estimate the integration of model of a complex function have been constructed.The logarithmic coefficients bnof Bazileviˇc functions of type α and order β is discussed by this method.The results obtained generalize some known results.

    univalent functions,logarithmic coefficients,Bazileviˇc functions

    O174.51

    A

    1008-5513(2016)04-0342-09

    10.3969/j.issn.1008-5513.2016.04.003

    2016-04-27.

    國(guó)家自然科學(xué)基金(11561001);內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金(2014MS0101);內(nèi)蒙古高等學(xué)??茖W(xué)研究項(xiàng)目(NJZY16251).

    牛瀟萌(1982-),碩士,講師,研究方向:復(fù)分析及應(yīng)用.

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