級(jí)數(shù)斂散性的判定研究

劉慶濤（大連電子學(xué)校，遼寧 大連 116023）

級(jí)數(shù)斂散性的判定研究

劉慶濤
（大連電子學(xué)校，遼寧 大連 116023）

級(jí)數(shù)的收斂和發(fā)散是微積分學(xué)重要內(nèi)容之一，它具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用性。然而對(duì)于級(jí)數(shù)的收斂和發(fā)散的判定是學(xué)習(xí)者們普遍感到困惑的，在具體教學(xué)實(shí)踐基礎(chǔ)上，對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和交錯(cuò)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性進(jìn)行分析、研究和總結(jié)，給出了特殊情況下級(jí)數(shù)斂散性的判定方法，使學(xué)習(xí)者能夠得心應(yīng)手解決斂散性問題。

正項(xiàng)級(jí)數(shù)；交錯(cuò)級(jí)數(shù)；斂散性

1　正項(xiàng)級(jí)數(shù)

1.1比較判別法

在運(yùn)用比較判別法判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性時(shí)，常用的技巧是利用不等式的性質(zhì)將級(jí)數(shù)的通項(xiàng)進(jìn)行放大或縮小，找到一種合適的不等關(guān)系進(jìn)行辨別和判定。然而有時(shí)對(duì)有的通項(xiàng)很難進(jìn)行放大或縮小，因此我們介紹下面的比值判別法。

1.2比值判別法（達(dá)朗貝爾判別法）

1.3根值判別法（柯西根值判別法）

一般來說，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性主要依據(jù)上述三個(gè)方法來判定，但是當(dāng)比值和根值判別法失效時(shí)，我們可以結(jié)合學(xué)過的調(diào)和級(jí)數(shù)、P-級(jí)數(shù)來進(jìn)行比對(duì)，有時(shí)也考察級(jí)數(shù)的部分和的極限是否存在，來進(jìn)行級(jí)數(shù)斂散性的判定，如下例所示。

所以由級(jí)數(shù)收斂的定義可知該級(jí)數(shù)是收斂的。

2　交錯(cuò)級(jí)數(shù)

3　結(jié)語

總之，對(duì)于級(jí)數(shù)斂散性的判定的方法有很多。首先判定所給的級(jí)數(shù)屬于什么類型，然后依據(jù)上述所給的類型級(jí)數(shù)采用相應(yīng)的判別法。在判定分析過程中，關(guān)鍵是分析級(jí)數(shù)通項(xiàng)的形式和特點(diǎn)，適當(dāng)情況可采用一些不等式的放縮技巧，或利用已知斂散性的級(jí)數(shù)，如幾何級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)、P-級(jí)數(shù)等進(jìn)行與之比較，這樣就可順利實(shí)現(xiàn)級(jí)數(shù)斂散性的判定。

［2］陸慶樂，馬知恩.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，1990.

［3］ 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.北京:高等教育出版社，1981.

Research on the determination of series convergence and divergence

LIUQing-tao
（Dalian Electronic School，Dalian 116023，China）

Convergence and divergence of the series is an important part of the infinitesimal calculus，which has a wide range of practical applicability.However，the determination of series convergence and divergence has generally made learners confused.On the basis of specific teaching practice，this paper made analysis，research and summary of the convergence and divergence of series of positive terms and alternating series，proposed the determined method of series convergence and divergence under special circumstances，so as to to solve the problem of convergence and divergence with facility.

Series ofpositive terms；Alternatingseries；Convergence and divergence

O173

A

1674-8646（2016）11-0058-02

2016-04-25

劉慶濤（1970-），男，遼寧大連人，碩士，高級(jí)講師，從事非線性分析和教育教學(xué)管理工作。時(shí)，無法判定級(jí)數(shù)斂散性。