立足起始課教學，培養(yǎng)核心素養(yǎng)
——對數概念教學的實錄與反思

☉江蘇省蘇州第十中學校 毛東良

立足起始課教學，培養(yǎng)核心素養(yǎng)
——對數概念教學的實錄與反思

☉江蘇省蘇州第十中學校 毛東良

一、背景

數學核心素養(yǎng)，從通俗的角度來講，就是把所學的數學知識排除或忘掉后剩下的東西，能從數學的角度看問題，有條理地進行理性思維、嚴密求證、邏輯推理的意識和能力.從專業(yè)的角度講，就是主動探尋并善于抓住數學問題的背景和本質的素養(yǎng)；熟練地運用準確、簡明、規(guī)范的數學語言表達自己的數學思想.本文試著從教學過程的維度，通過對數概念這節(jié)起始課，思考數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng).該課是筆者參加2015蘇州大市評優(yōu)課所開設的一節(jié)公開課.

二、教材解讀

“對數的概念”是蘇教版教材必修1“對數函數”的起始課，是前面指數概念和指數函數的回顧、深化和延續(xù)，同時又是學習對數運算性質和對數函數的基礎.指數運算是已知底數和指數求冪值，而對數則是已知底數和冪值反過來求指數，對數既是一種全新的運算，又起到承上啟下的作用.

三、教學過程

（一）概念的生成在情境中引發(fā)

情景1計算：

（1）16×256=_______；

（2）256×4096=______；

（3）4096×32768=______.

師：請大家以最快的速度完成上面3個計算.

生1：第（1）問我發(fā)現一個規(guī)律，如圖1，

16×256=24×28=24+8.后面的數字太大還在計算中.

師：很棒，有沒有辦法快速處理（2），（3）這類大數據的運算？（受到了剛才的啟發(fā)，學生很快有了思路）.

生2：是不是都可以化成2的多少次方來處理呢？（教師ppt上引入圖1，快速解決（2），（3））

圖1

師：誰能概括一下這種算法的優(yōu)點？

生3：這種計算方法的優(yōu)點就是把復雜的乘除運算轉化成了簡單的加減運算.

師：實際上二千多年前阿基米德在還沒有指數運算法則的情況下就發(fā)現了這個規(guī)律，但可惜沒有繼續(xù)探究下去，也沒有在實際生活中得以運用，失去了對數破土而出的機會.

（二）概念的感悟在觀察中發(fā)現

情景2計算：299792.458×31536000=1光年

299792.458→光在真空中的速度（千米/秒）

×31536000→一年的秒數

1 光年→一個天文單位

能否利用剛才的運算處理這個大數據運算？回到表格中…

問題：31536究竟等于2的多少次方？

生4：根據y=2x與y=31536的圖像，精確值肯定存在，由表格知在14與15之間，但求不出.

師：可見這一數表雖然好但不夠用，無法找到滿足方程2x=31536的x準確值.早在16世紀德國數學家斯蒂菲爾德，就發(fā)現了這種神奇的計算方法，但他也遇到同樣的問題.許多人為了制作一張更為精確的表格而奉獻了自己畢生的精力.

圖2

設計意圖：通過經歷16，17世紀大數據的運算難題，使學生深刻認識到對數對簡化運算的重大作用和引進對數的必要性，對數和指數的聯(lián)系通過表格得到了初步體現.同時通過豐富的情景和動人的歷史故事激發(fā)學生的求知欲和創(chuàng)造欲，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學態(tài)度.在發(fā)現對數的過程中，同時也涉及到了對數的運算性質，為后續(xù)學習做好了鋪墊.

（三）概念的構建在類比中揭示

師：回顧初中數學，為了解方程a3=2引入了新的符號根式“”，方程的解就用a=表示.類似地，請大家思考：如何得到方程2x=31536的解呢？

生5：也引進一個符號來表示這個數，而且含有2，31536這兩個數.

師：不錯，蘇格蘭數學家納皮爾首創(chuàng)“l(fā)og”與2，31536組成的整體log231536來表示一個2的多少次冪等于31536的數，這樣的數就稱為對數.引導學生將其推廣到一般情形：

師：板書：若ab=N（a＞0，a≠1），則logaN=b（a＞0，a≠1）.

寫法：格式四線三格，如圖3.

圖3

讀法：以a為底，N的對數.注意不是“l(fā)og”以a為底，N的對數（.請同學一起來讀一下x=log0.850.5）.

師：對數式logaN=b中a和N有什么限制呢？

生6：可以從指數式來研究對數式：一個關系，兩種表示.

引導學生得出a＞0，a≠1和N＞0.（教師板書）

設計意圖：對數符號是難點，注意書寫格式，避免因書寫不規(guī)范而產生的錯誤，強化對數符號的認識和理解.明確指數式和對數式中a，b，N是相同的，理解指數式與對數式的相互關系，互化也體現了等價轉化這個重要的數學思想.

（四）概念的深化在互動中建立

活動1：每位同學書寫四個對數式，寫完后同桌交換檢查、糾正.

活動2：將同桌書寫的四個對數式改寫為指數式后，再互相檢查、糾正（效果相當不錯）.

活動3：將下列對數式改寫為指數式：（1）log10a=-1.699.（2）loge1=0（e=2.7182818284…）.（學生板演）

師：常用對數log10a=lga.納皮爾（Napier）的對數在愛丁堡發(fā)表以后，布立格斯（Briggs，1561～1630）根據他在牛津大學講授納皮爾對數的經驗和體會，提出了他的改進意見：建議將對數改良為以10為底的對數最為方便實用.布立格斯與荷蘭數學家佛拉格（Vlacq）共同完成了1 至100000的以10為底的14位的對數表，這就有了常用對數.

自然對數logea=lna（e=2.7182818284…），很多反映自然規(guī)律的數學模型都包含e，如放射性元素的衰變公式、牛頓的冷卻定律，還有化學、物理和建筑學等自然學科，所以稱為自然對數.

設計意圖：三個學生活動加深對數概念的理解.歷史背景的介紹，讓學生明白“常用對數”和“自然對數”背后曲折的故事，強化了學生對對數概念的認識，體會數學文化的傳承精神.

問題1求下列各式的值：（1）log28；（2）log927.

教師巡視學生答題情況，投影交流學生的解法.

生7：由23=8，得到log28=3.

生8：設log28=x，則2x=8=23，所以x=3.

師：設x的目的是什么？

生8：將對數式轉化為指數式，從而解決問題（.1）中容易得到23=8，故不需要設x；（2）問中不容易得出相應的指數式，可通過設x將對數式轉化為指數式的可能性更大.設log927=x，由定義知，9x=27，即32x=33，得x=，即log27=.

9

師：在對數式不熟練時可先設x轉化為指數式，確定x值，即用對數的定義去解決問題.

設計意圖：幫助學生在應用的過程中進一步認識對數概念的本質，加深對對數概念的理解，掌握對數式與指數式的互化方法，培養(yǎng)學生的運算能力和分析問題、解決問題的能力.

師：同學們有沒有發(fā)現每次不管哪個方法你都要回到指數的形式很麻煩，下面我們來看看對數的運算，我們能不能從中發(fā)現一些簡單性質，方便運算.

問題2求對數的值：（1）log31；（2）log33；（3）lne；（4）log1；（5）lg1；（6）lg10；（7）ln1；（8）log0.50.5.

（以上問題解答由學生板演）

師：從問題2的結果你有什么發(fā)現？

生9：（1），（4），（5），（7）的真數均為1，可得loga1=0；（2），（3），（6），（8）真數和底數均一樣，可得logaa=1.

師：能證明上述2個歸納得到的結論嗎？

生10：通過指數式可證明.

問題3 求對數的值：（1）log55-2；（2）log335；（3）2log23；（4）7log70.6.

生11：由（1），（2）發(fā)現logaab=b；（3），（4）不太會處理.

生12：設log23=x，則2x=3，消掉x后發(fā)現2log23=3.同理7log70.6=0.6.

師：很好，大家能從上面的解法中猜出alogaN=N的值嗎？如何證明？生齊答：N.

生13：由指數式ab=N，得對數式b=logaN，可代掉N，得到logaab=b；而代掉b，得到alogaN=N.

（師生掌聲認同，教師將4個結論板書）

設計意圖：通過學生討論交流，從例題、練習中歸納、猜想、證明得到對數的簡單性質，強化了數學思想方法.

（五）收獲的提升在總結中升華

師：誰來小結一下我們今天數學課的收獲？

生14：我們了解了對數的誕生，學習了對數的定義，以及指數式、對數式的互化.

師：對數從思想萌芽到誕生經歷了漫長的200多年，通過剛才介紹的故事，同學們能受到哪些啟發(fā)？

生15：人類最初為了解決繁難的大數運算不斷尋求突破，從而有了對數思想的萌芽和對數的誕生，同時困難也迎刃而解，真是思路決定出路，沒有創(chuàng)新就無法突破.

生16：納皮爾堅持對數的研究多年，這需要怎樣堅韌不拔的意志和信念.假如我能為了我的興趣和愛好如此投入，那該會有怎樣的成就呢？

生17：布里格斯為了共同的愛好去拜訪納皮爾，才有了他們的思想碰撞，使對數得到改進和完善.可見人類的交流多么重要，閉目塞聽、閉門造車只會讓人類的文明止步不前.

師：今天和大家沿著歷史的足跡，探索了對數的含義，完成了前人用了兩千年的時間探索完成的對數的概念，同時也完善了我們的運算知識體系，從中感受到了數學的玄妙.

四、教學反思

（一）情景教學，揭示概念教學規(guī)律

對數的發(fā)展史告訴我們，對數思想的起因源自實際需要.對數概念的產生從阿基米德、舒開、斯蒂費爾到納皮爾《奇妙的對數表的說明》的問世，人類思維經歷了一個由具體形象到形式抽象發(fā)展的漫長過程.就如伊夫斯所言：“在向學生講授一門學問時，應當按照這門學問發(fā)展的順序來進行.”讓學生親歷概念形成過程；數學家對于該概念的探究活動，感知對數概念的發(fā)現歷程；理解科學發(fā)現的艱難曲折的過程；體悟數學的人文精神，體驗數學探究的成功喜悅感.

（二）類比歸納，破解概念教學難點

本課的教學難點是對數的定義和簡單性質的發(fā)現.對數的定義采用了類比方法，類比方法是幾種邏輯推理中最富有創(chuàng)造性的，科學史上很多重大發(fā)現、發(fā)明，往往發(fā)端于類比，類比被譽為科學活動中的“偉大引路人”.開普勒說：“我珍惜類比勝于任何別的東西，它是我最依賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在數學中最不可忽視.”

（三）合作探究，拓展概念教學深度

高中數學新課程倡導自主探索、動手實踐、合作交流等學習方式，這些方式有助于發(fā)揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再發(fā)現、再創(chuàng)造”過程.不必將各種概念定理灌輸給學生，

而應創(chuàng)造適當的條件，讓學生加強反思同時通過自身的實踐活動來主動獲取知識.