多元方法在初中數(shù)學解題中的應用

☉江蘇省張家港市護漕港中學　孫　彪

多元方法在初中數(shù)學解題中的應用

☉江蘇省張家港市護漕港中學孫彪

解決初中數(shù)學難題可以采用豐富多樣的解決方法，在解決不同的數(shù)學問題中要靈活采用多元解題方法，從而確保解題效率和質(zhì)量的提升.在解決數(shù)學問題時，首先需要對問題中涉及的知識進行觀點的提煉，接下來有效地將觀點轉(zhuǎn)化為方法，根據(jù)解題的需要選擇恰當?shù)慕鉀Q辦法，進行數(shù)學解題方法的總結(jié)和調(diào)整，通過不斷的經(jīng)驗總結(jié)和深入學習，知識遷移能力也會得到很大程度的提升，這樣在初中數(shù)學解題中也會更加得心應手.

一、消去法

在解決初中數(shù)學問題時，經(jīng)常會遇到兩種及其以上未知的相關(guān)數(shù)量關(guān)系，在解答這類數(shù)學問題時可以通過適當?shù)淖儞Q設法消去某些數(shù)量關(guān)系和相關(guān)元素，從而快速解決問題，這種解題方法就是消去法，消去法在應用過程中可以是代入消去或者加減消去.利用消去法解決初中數(shù)學難題的關(guān)鍵在于設法將未知數(shù)量變少，通過適當?shù)淖兓ゾ哂幸欢P(guān)聯(lián)的數(shù)量關(guān)系，從而使原本復雜的問題變得簡單.

例1小明買產(chǎn)品，有兩種買的方案：買A產(chǎn)品1個，B產(chǎn)品3個，C產(chǎn)品4個，D產(chǎn)品5個，E產(chǎn)品6個，這種方案要花1876元；買A產(chǎn)品1個，B產(chǎn)品5個，C產(chǎn)品7個，D產(chǎn)品9個，E產(chǎn)品11個，這種方案要花2984元，求每種產(chǎn)品各多少元（不用方程解）？

試題解析：在看到這一數(shù)學題目之后，如果不深入分析可以采用的解題方法肯定會被題目中大量的數(shù)量關(guān)系難住，從而阻礙解題的步伐.首先，對這一題目進行分析之后能夠發(fā)現(xiàn)，在這個題目當中蘊含著多種數(shù)量關(guān)系，并且它們是相互關(guān)聯(lián)的，因此在解題時可以通過適當?shù)淖儞Q減少數(shù)量關(guān)系，這時就可以應用消去法.其次，對每一種方案進行相應的列式計算后得到方案一：A+ 3B+4C+5D+6E=1876（元）；方案二：A+5B+7C+9D+11E= 2984（元），采用加減消去法，方案二減去方案一得到2B+ 3C+4D+5E=1108（元），方案一再減去上式得A+B+C+D+ E=768（元），則B=768-A-C-D-E，代入第一種方法得428+C+2D+3E=2A化掉了B，同理逐步化掉其他字母得出其一，全題可解.

二、配方法

配方法在初中數(shù)學解題中具有廣泛的應用，但實際應用中往往是將不構(gòu)成完全平方公式的多項式通過拆項、添項的方法，將原來多項式中的一部分構(gòu)成一個能夠應用公式進行解決的完全平方公式，從而提高解題效率.配方法在一元二次方程的解決當中應用最為廣泛，其一般步驟是：第一，將方程的兩邊同時除以本方程的二次項系數(shù)，將系數(shù)化為1；第二，采用移項的方法將方程的右邊只剩下常數(shù)項，左邊是一次項及二次項；第三，進行配方，即方程的兩邊同時加上左邊一次項系數(shù)一半的平方，將其變成一個完全平方公式；第四，分情況討論，如果常數(shù)項大于或者等于零，那么可以直接采用開平方法解出答案，反之，則證明原方程無解.配方法對于解決數(shù)學問題非常重要，不僅僅能夠用于解決一元二次方程的問題，還廣泛應用在其他領域.

例3分解因式：x4+4.

試題解析：x4+4=x4+4x2+4-4x2=（x2+2）2-4x2=（x2+2x+ 2）（x2-2x+2）.

以上解法中，在x4+4的中間加上一項，使得三項組成一個完全平方式，為了使這個式子的值與x4+4的值保持不變，必須減去同樣的一項.由此可知，配方法在因式分解當中的應用.

例4若三角形的三邊長是a，b，c，且滿足a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，試判斷三角形的形狀.

試題解析：因為a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，所以（a2-2ab+ b2）+（b2-2bc+c2）=0，即（a-b）2+（b-c）2=0.因為（a-b）2≥0，（b-c）2≥0，所以a=b，b=c，即a=b=c.故該三角形是等邊三角形.在借助配方法后，能夠輕松判定集合圖形的形狀，可見配方法應用之廣.

三、換元法

解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，叫作換元法.通俗的說，換元法就是把一個括號里的式子換成和題目中的字母不同的任何字母.換元法的應用條件為：式子比較復雜；一個整體多次出現(xiàn)；另外的未知數(shù)能用這個整體來表示.換元法能夠?qū)⒃緩碗s的數(shù)學問題變得簡單，同時也是轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學解題當中的應用，在數(shù)學解題中運用換元法能夠鍛煉數(shù)學思維，突破數(shù)學解題當中題目過長或者數(shù)量關(guān)系過多的難題.

例5已知（x2-1）2-5（x2-1）+4=0，求未知數(shù)x.

例題解析：為解方程（x2-1）2-5（x2-1）+4=0，我們可以將x2-1看作一個整體，設x2-1=y①，那么原方程可化為y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4，當y=1時，x2-1=1，即x2=2，解得x=±；當y=4時，x2-1=4，即x2=5，解得x=±，故原方程的解為以上解題方法叫作換元法，在由原方程得到方程①的過程中，利用換元法達到了解方程的目的，在使用換元法之后，原本復雜的解題步驟能夠得到化解，在今后解決類似問題的過程中也會得心應手.

例6（x2+x）2+（x2+x）=6，求未知數(shù)x.

例題解析：在解決這一方程問題時同樣也會用到換元法，（x2+x）2+（x2+x）=6，可以設x2+x=y，則原方程可化為y2+y=6，解得y1=-3（舍去），y2=2，當y=2時，x2+x=2，解得x1=-2，x2=1，所以原方程的解為x1=-2，x2=1.在解決這一問題時涉及了分類討論的方法，因為一個數(shù)的平方是大于或等于0的，所以得到的第一個解為負數(shù)就需要將其舍去，那么這個問題就得到了兩個解，而不是四個.

四、待定系數(shù)法

待定系數(shù)法是一種求解未知數(shù)的有效方法，運用這一方法解題主要是通過將一個多項式用另一種含有特定系數(shù)的式子表示出來，因此會得到恒等式，按照恒等式的性質(zhì)得到一個能滿足方程或者方程組的系數(shù)，通過解方程組或者方程得到的數(shù)值就是待定系數(shù)的數(shù)值.在數(shù)學解題中應用待定系數(shù)法，可以按照以下幾個步驟進行：寫出函數(shù)解析式的一般式，其中包括未知的系數(shù)；根據(jù)恒等條件，將變量和函數(shù)的對應值代入到整個函數(shù)解析式當中，進而得到一個能夠表示待定系數(shù)的方程或者方程組；通過求解方程或者方程組得到待定系數(shù)的數(shù)值，從而解決問題.待定系數(shù)法在函數(shù)知識學習中應用較多，主要用在求解函數(shù)解析式上，更是成為解決函數(shù)相關(guān)例題的好幫手.

例7已知一次函數(shù)圖像經(jīng)過點A（3，5）和點B（-4，-9）兩點.

（1）求此一次函數(shù)的解析式；

（2）若點（a，2）在該函數(shù)的圖像上，試求a的值；

（3）若此一次函數(shù)的圖像與x軸交于點C，點P（m，n）是圖像上一個動點（不與點C重合），設△POC的面積是S，試求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式.

例題解析：運用待定系數(shù)法首先求得函數(shù)解析式，接下來的求解只要圍繞解析式來計算就會變得簡便.

五、反證法

反證法在初中數(shù)學證明題當中應用較多，是一種間接證明的方法，而且很多數(shù)學命題只能夠用反證方法去證明.反證法首先提出與給定命題相反的結(jié)論，接下來按照這個假設進行逐步推理，推理過程中如果出現(xiàn)矛盾，那么就可以否定做出的相反的假設，從而證明了原命題的正確性.在初中數(shù)學采用反證法證明命題的過程中會經(jīng)歷這樣的思維變化：假定給出的結(jié)論不成立，那么就會導致出現(xiàn)這個問題和給出的已知條件自相矛盾，同時也和數(shù)學當中的公式和定理不符合.接下來就要討論這一矛盾和問題存在的根源，整個數(shù)學推理的過程沒有存在錯誤，題目給出的已知條件及數(shù)學中的公式定理都沒有錯誤，那么在命題的證明中存在錯誤的地方只可能是剛開始的假設結(jié)論不成立，那么這一命題成立或者不成立只有一個是正確的結(jié)論，那么給出的否定結(jié)論不正確，則證明原命題的結(jié)論是成立的.通過反證法在初中數(shù)學解題中的應用能夠鍛煉辯證思維，從而在今后的解題中也會注重思維的靈活性和多樣性，及時根據(jù)給定問題，選擇恰當?shù)慕忸}方法.

例8請用反證法證明：如果兩個整數(shù)的積是偶數(shù)，那么這兩個整數(shù)中至少有一個是偶數(shù).

例題解析：首先假設這兩個整數(shù)都是奇數(shù)，其中一個奇數(shù)為2n+1，另一個奇數(shù)為2p+1，利用多項式乘以多項式得出（2n+1）（2p+1）=2（2np+n+p）+1，進而得出矛盾，則原命題正確.

證明：假設這兩個整數(shù)都是奇數(shù)，其中一個奇數(shù)為2n+1，另一個奇數(shù)為2p+1（n、p為整數(shù)），則（2n+1）（2p+1） =2（2np+n+p）+1，因為無論n、p取何值，2（2np+n+p）+1都是奇數(shù)，這與已知中兩個奇數(shù)的乘積為偶數(shù)相矛盾，所以假設不成立，故這兩個整數(shù)中至少一個是偶數(shù).

六、面積法

平面幾何在初中數(shù)學知識體系當中占有很大的成分，平面幾何當中涉及了不同圖形面積計算及面積公式推理等方面的內(nèi)容，它們不僅能夠應用到解決面積計算的問題當中，還能用于平面幾何題目的證明.因此，面積法是解決幾何問題的常用方法，主要采用面積關(guān)系進行平面幾何題目的證明及計算.在解決平面幾何題時往往也采用分析法及歸納法，但是使用這些方法解題時會在添加輔助線上出現(xiàn)較大的困難.如果在解決這些問題時采用面積法則能夠靈活地將未知量和已知量用面積公式結(jié)合起來，采用運算的方式求證結(jié)果.因此，將面積法應用到解決幾何問題當中能夠?qū)缀卧刂g的關(guān)聯(lián)變成數(shù)量關(guān)系，從而能夠巧妙地通過計算的方式無需添置輔助線就能夠解決幾何問題.

例9如圖1所示，這是美國第20任總統(tǒng)加菲爾德證明勾股定理時所采用的圖形，是用兩個全等的直角三角形和一個等腰直角三角形拼出一個梯形.借助這個圖形，你能用面積法來驗證勾股定理嗎？

解決初中數(shù)學問題的方法是多種多樣的，在應用相應的數(shù)學解題方法之前必須對問題進行深入分析，確定問題中蘊含的知識內(nèi)容和觀點，將復雜的問題簡化為原則，進行多樣化數(shù)學方法的應用.多元解題方法需要在不斷的解題和知識應用當中進行歸納總結(jié)，同時也需要一雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛和勇于探究的大腦，在今后的解題中筆者一定會再接再厲，善于觀察和思考，將總結(jié)的多元解題方法應用到解決實際問題當中.