文氏橋混沌電路的設計與實驗

陳菊芳，華　影，于東瑩

(東北師范大學 物理學院，吉林 長春 130024)

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文氏橋混沌電路的設計與實驗

陳菊芳，華影，于東瑩

(東北師范大學 物理學院，吉林 長春 130024)

從輸入導納的角度對文氏橋電路進行了分析，得到該電路作為正弦波振蕩電路和LC選頻電路需要滿足的條件. 將文氏橋電路與非線性電路組合，設計出文氏橋電路在不同工作模式下的混沌電路，產(chǎn)生具有寬頻譜的多種混沌信號.

文氏橋電路；非線性電路；混沌

目前，混沌理論已被列為大學物理教學內容[1-4]，利用電路實驗演示混沌現(xiàn)象對于混沌理論的教學具有十分重要的輔助作用. 文氏橋正弦波振蕩器是一種經(jīng)典的RC振蕩器，是本科學生必須掌握的內容. 大多數(shù)電子線路教材[5-6]利用正反饋的概念和RC選頻網(wǎng)絡的頻率特性來解釋振蕩器的工作過程. 除此之外，還有其他的分析方法被提出，如電橋平衡法[7]、解微分方程法[8]等，這些分析方法均從不同角度分析了振蕩過程及振蕩條件，但這些方法只適用于分析文氏橋電路處于正弦振蕩工作模式下的工作過程. 實際上，文氏橋電路除了作為振蕩器能產(chǎn)生單頻正弦波信號外，還可以作為其他功能電路使用，如LC選頻電路. 本文從導納的角度給出文氏橋電路作為正弦波振蕩電路和LC選頻電路需要滿足的條件，分析方法簡單，易于學生理解. 在不同工作模式下文氏橋電路分別與非線性電路耦合，產(chǎn)生具有寬頻譜的混沌信號，擴展了文氏橋電路的應用范圍. 實驗均采用普通的電子元器件，演示的實驗現(xiàn)象豐富，適用于實驗教學或學生科研.

1　文氏橋電路分析

圖1　文氏橋電路

Y(S)=[S2R2R3RbC2C3+S(R3RbC3+R2RbC2-R2RaC3)+Rb]/[R2Rb(SR3C3+1)].

(1)

根據(jù)式(1)，討論2種特殊情況，即在實際應用中最常使用的2種形式：

1) 若選取電路參量使得Y(S)=0，即

(2)

說明電路既不從電源吸收能量，也不向外電路提供能量，此時電路產(chǎn)生了等幅正弦自激振蕩. 令S=jω，由式(2)可以得到電路的振蕩頻率為

振幅平衡條件為

特別地，通常選取R2=R3=R，C2=C3=C，得到

與教材[5-6]中的結論完全一致.

2)當選取電路參量滿足條件R3Rb=R2Ra時，由式(1)可得

(3)

由式(3)可以看出，從a和b兩端看，文氏橋電路等效為如圖2所示的LC選頻電路，其中等效電感L=R2R3C3，此時文氏橋電路不能產(chǎn)生正弦波振蕩.

圖2　LC等效電路

2　文氏橋混沌電路的設計

如果將文氏橋電路與非線性電路耦合連接，只要電路結構和參量選擇合適，就可產(chǎn)生具有豐富動力學行為和寬頻譜的混沌信號. 本文設計的混沌電路如圖3(a)所示，其中非線性電路通過電阻R與運放的同相端相連，設非線性電路的電流為iN，選取伏安特性的表達式為

(4)

(a) 混沌電路

(b)非線性電路圖3　文氏橋混沌電路

其中a<0,b<0,c>0. 實現(xiàn)非線性的電路如圖3(b)所示. 選取R7=R8，則運放A3與二極管實現(xiàn)絕對值運算的功能，乘積項由模擬乘法器實現(xiàn)，電路參量與式(4)中各系數(shù)的對應關系為

由圖3得到電路的狀態(tài)方程為

(5)

3　實驗結果

通過對圖3所示電路的元件參量選取不同值，觀測電路所產(chǎn)生信號的不同動力學行為.

3.1選取R2=R3，C2=C3的實驗結果

選取文氏橋電路參量：R2=R3=0.2 kΩ，C2=C3=100 nF，Rb=1.0 kΩ，實驗中調節(jié)電阻Ra來觀測電路不同的混沌行為. 選取R=2 kΩ，C1=2 nF，非線性電路中的R4=1 kΩ，R9=4 kΩ，R10=1.8 kΩ，R11=8 kΩ，其他電阻值均為10 kΩ，

對應于式(4)中a=-0.25 mS，b=-0.25 mS/V，c=0.056 mS/V2. 由示波器觀測到的實驗結果如圖4所示，圖4(a)與(b)為Ra=2.25 kΩ時的vC2-vC1的相圖及vC2的功率譜，可見圖4(a)為雙渦卷混沌吸引子(橫軸為vC1，縱軸為vC2)，圖4(b)功率譜中出現(xiàn)噪聲背景和寬頻譜的特征，反映出混沌運動具有確定系統(tǒng)的隨機性. 當選取Ra=2.05 kΩ和Ra=1.94 kΩ時，觀測到單渦卷混沌吸引子和1周期相圖(橫軸為vC1，縱軸為vC2)分別如圖4(c)和4(d)所示.

(a) 雙渦卷混沌吸引子

(b) vC2的功率譜

(c) 單渦卷混沌吸引子

(d) 1周期圖4　實驗結果

如果將圖3(a)電路中電阻R斷開，當Ra=2Rb=2.0 kΩ時，文氏橋電路產(chǎn)生等幅正弦振蕩，振蕩頻率為7.96 kHz;而在沒有穩(wěn)幅元件的條件下，Ra稍大于2.0 kΩ，運放的輸出波形將產(chǎn)生非線性失真，Ra稍小于2.0 kΩ，運放無輸出波形. 但是對于圖3所示的電路，若將非線性電路與文氏橋電路耦合，只要元件參量選擇合適，無論Ra大于2.0 kΩ還是小于2.0 kΩ，都能產(chǎn)生穩(wěn)定的混沌振蕩或周期振蕩波形. 由圖4(b)可見，當電路處于混沌狀態(tài)時，輸出功率分布在基頻f0=7.2 kHz附近的較寬頻域內，比文氏橋正弦波振蕩信號的頻率稍低.

3.2選取R2Ra=R3Rb的實驗結果

將文氏橋電路中的參量改為：R2=0.1 kΩ，R3=0.67 kΩ，Ra=10 kΩ，Rb=1.5 kΩ，C2=30 nF，C3=750 nF,由以上分析可知，文氏橋電路可用圖2所示的LC選頻電路等效，等效電感L=50 mH. 此時圖3電路可等效為廣義蔡氏電路，如圖5所示.

圖5　等效混沌電路

選取C1=2.5 nF，非線性電路中的R4=1 kΩ，R10=4.5 kΩ，R11=9.1 kΩ，其他電阻值均為10 kΩ，對應于式(4)中a=-0.1 mS，b=-0.1 mS/V，c=0.022 mS/V2. 很顯然，實驗中通過調節(jié)電阻來觀測電路不同的混沌行為比較方便.

圖6(a),(b)和(c)所示分別是當R=4.96，5.08，5.22 kΩ時，實驗得到的三渦卷、雙渦卷和單渦卷的混沌吸引子(橫軸為vC1，縱軸為vC2)，繼續(xù)增大電阻R的值，也可以觀測到2周期及1周期的波形.

(a) 三渦卷

(b) 雙渦卷

(c) 單渦卷圖6　vC2-vC1混沌吸引子

為了說明實驗結果的正確性，列出圖5電路的狀態(tài)方程：

(6)

根據(jù)式(6)，數(shù)值計算出了當R=5.0 kΩ時的vC1與vC2的吸引子如圖7所示，顯然圖6(a)與圖7基本一致，進一步證明了文氏橋電路與LC選頻電路的等效性.

圖7　數(shù)值計算的結果

根據(jù)蔡氏電路的特點，非線性電路也可以采用其他不同的形式，這需要電感等參量隨之改變，而利用文氏橋電路代替LC電路的優(yōu)點是：只要選取不同的電阻和電容值，即可獲得電路所需的不同值的等效電感，這尤其對非標稱電感的等效更具有實際意義.

如果改變文氏橋電路的參量，使其不滿足前面2種特殊條件，只要參量選擇合適，圖3電路仍然可以產(chǎn)生混沌信號. 例如，選取R2=0.15 kΩ，R3=0.3 kΩ，Ra=3 kΩ，Rb=1 kΩ，C1=1.5 nF，C2=50 nF，C3=68 nF,其他參量保持不變，調節(jié)電阻R的阻值由小到大變化，仍然可觀測到電路出現(xiàn)不動點、1周期、單渦卷混沌及雙渦卷混沌的變化.

圖8所示是當R=1.82 kΩ和R=2.0 kΩ時由實驗觀測到的vC1(橫軸)與vC2(縱軸)的1周期和混沌相圖.

(a) 1周期

(b) 混沌吸引子圖8　vC2-vC1相圖

4　結束語

從輸入導納的角度對文氏橋電路進行了分析，得到在不同工作模式下所需要的條件，推導過程簡單，物理概念清晰. 將文氏橋電路與非線性電路相結合，構成具有復雜動力學行為的混沌電路. 由實驗結果可以看出，對于同一電路結構，電路參量不同，混沌電路的動力學行為和吸引子形狀完全不同. 若改變電路中的其他元件值，仍能觀測到電路中呈現(xiàn)出的諸如周期、單渦卷及多渦卷等豐富的動力學行為. 若將文氏橋電路與其他形式的非線性電路相耦合，也可構成不同的混沌電路，這里不再贅述.

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[責任編輯：任德香]

DesignandexperimentofchaoticWienbridgecircuit

CHENJu-fang,HUAYing,YUDong-ying

(CollegeofPhysics,NortheastNormalUniversity,Changchun130024,China)

Weinbridgecircuitwasanalyzedbasedoninputadmittance,andtheconditionsassinusoidaloscillationcircuitandLCfrenquencyselectivecircuitwerederived.Variouschaoticcircuitsindifferentmodesweredesignedbymeansofnonlinearcircuits,differentchaoticsignalswithbroadbandpowerspectrawereproduced.

Wienbridgecircuit;nonlinearcircuit;chaotic

2016-03-30；修改日期：2016-04-18

東北師范大學教師教學發(fā)展基金項目(No.15B1XZJ018)

陳菊芳(1965-)，女，大連瓦房店人，東北師范大學物理學院副教授，博士，研究方向為混沌同步、控制及其應用.

O415.5

A

1005-4642(2016)08-0008-05