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    求解時(shí)諧渦流問(wèn)題T-ψ有限元迭代算法

    2016-09-07 01:52:02王帥姚俊義陳濤康彤
    關(guān)鍵詞:王帥麥克斯韋傳媒大學(xué)

    王帥,姚俊義,陳濤,康彤

    (1.中國(guó)傳媒大學(xué) 理工學(xué)部,北京 10024;2.河北省石家莊市長(zhǎng)安區(qū)食安辦,石家莊 050019)

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    求解時(shí)諧渦流問(wèn)題T-ψ有限元迭代算法

    王帥1,姚俊義2,陳濤1,康彤1

    (1.中國(guó)傳媒大學(xué) 理工學(xué)部,北京 10024;2.河北省石家莊市長(zhǎng)安區(qū)食安辦,石家莊 050019)

    介紹麥克斯韋方程組在時(shí)諧渦流場(chǎng)的邊界條件,給出所要求解的T-ψ格式. 然后,提出全離散的耦合T-ψ有限元算法和解耦T-ψ有限元迭代算法.最后,進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證兩種算法的可行性和收斂性.

    麥克斯韋方程組;T-ψ方法;有限元;迭代法;耦合;解耦

    1 全離散的耦合、T有限元算法和解耦、T有限元迭代算法的提出

    本文將研究如下麥克斯韋方程組

    (1)

    其中E是電場(chǎng)強(qiáng)度,H是磁場(chǎng)強(qiáng)度,B是磁通密度,Je是渦流電流密度,Je是源電流密度。

    因此,麥克斯韋方程組(1.1)可以寫成如下T-ψ格式:

    我們定義Ls()(s>1)是一個(gè)s可積空間,其范數(shù)定義為‖·‖Ls()。 在s=2的情形中,L2()也就是通常所說(shuō)的平方可積函數(shù)的Hilbert空間,其內(nèi)積與范數(shù)分別定義為(u,v):=∫u(x)v(x)dx,‖u‖:=(u,u)

    定義Hm():={v∈L2():Dξv∈L2(),0<|ξ|≤m}及其范數(shù)‖其中,m非負(fù)整數(shù),ξ是一個(gè)非負(fù)的三元組指標(biāo)。我們用粗體符號(hào)來(lái)表示向量值性質(zhì),例如L2():=(L2())3。 設(shè)Ls(?)(s>1)表示定義在邊界?上的s可積函數(shù)空間,它的范數(shù)是‖·‖Ls(?)。 定義在Г的?內(nèi)積寫作(u,v):=∫Гu·v。 對(duì)于e,e也可以類似于上面所定義的那樣去定義,設(shè)(e):={v∈H1(e):v×n∈L1+α(?e),0<α≤1,v·n=0在?e上}于是,我們就可以定義一個(gè)Banach空間,它的內(nèi)積為((p,φ),(Q,φ))v:=(P,Q)H1(e)+(▽Q,▽?duì)?L2()它的范數(shù)可以用如下的和形式來(lái)定義‖(Q,φ)‖v:=(‖‖▽?duì)湛臻gV的對(duì)偶空間是V。

    設(shè)Jh是上的標(biāo)準(zhǔn)四面體剖分,網(wǎng)格尺寸為h0。 我們定義

    Wh:={φh∈H1():φh|κ∈p1,?κ∈Jh}

    1.1全離散的耦合T-ψ算法

    抽取市售豆奶飲料30批次,配料表明示均以大豆為主要原料。取豆奶飲料40 mL置于50 mL離心管中,10000 r/min離心5 min,棄上清,取沉淀80 mg于2mL離心管中,按照試劑盒說(shuō)明書操作提取基因組DNA。若單次離心沉淀較少,再次取樣,重復(fù)離心1~2次。以提取的DNA為模板,分別進(jìn)行RT-PCR和ddPCR反應(yīng),檢測(cè)CaMV35s、NOS、Lectin基因。

    對(duì)于任意的(Q,φ)∈V,求(T,ψ)∈V,滿足下面的等式

    iω(μ(T+▽?duì)?,Q+▽?duì)?L2(e)+iω(μ▽?duì)?,▽?duì)?▽?duì)?L2(e)-iω(μHs,▽?duì)?L2(e)

    (3)

    1.2全離散解耦有限元迭代算法

    D((Q,φ),(Q′,φ′))=iω(μ(Q+▽?duì)?,Q′+▽?duì)铡?L2(e)+iω(μ▽?duì)議,▽

    它的權(quán)范數(shù)模為

    (5)

    兩種算法解的存在唯一性都可以由強(qiáng)制性和連續(xù)性證得,解耦中迭代法的收斂性也是可以證明的。

    2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

    本節(jié)是對(duì)兩種算法進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了兩種算法的收斂性和可行性。解耦相對(duì)于耦合算法有些誤差,但是影響不大,并且在相同計(jì)算資源的配置下,所用時(shí)間和內(nèi)存,解耦算法均小于耦合算法。圖1中給出了所研究的模型圖,這個(gè)模型是類似于TEAM Workshop Problem 7建立的,其中導(dǎo)體上的電導(dǎo)率σ=3.526×107西門子/米,在整個(gè)區(qū)域上磁導(dǎo)率×10-7亨利/米。 圖2和圖3給出了磁通量B在z方向的分量結(jié)果圖,圖4將耦合和解耦的下磁通量B在z方向的分量進(jìn)行對(duì)比,在模型上取y=0.126,z=0.019這條直線的點(diǎn)值。

    圖1 

    圖2 

    圖3 

    圖4 

    [1]R Albanese,G Rubinacci.Formulation of the eddy-current problems[J].IEEE proc,1990,173:16-22.

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    [11]血德馨. 三維渦流場(chǎng)的有限元分析[M].北京:機(jī)械工程出版社,2001.

    (責(zé)任編輯:馬玉鳳)

    T-ψ Finite Element Method with Iteration for a Aarmonic Eddy Current Problem

    WANG Shuai1,YAO Jun-yi2,CHEN Tao1,KANG Tong1

    (1.Science School,Communication University of China,Beijing 100024;2.Food Security Office,Chang’anDistrict,Shijiazhuang,Hebei Province,Shijiazhuang 050019)

    we present the boundary conditions of Maxwell’s equations in a harmonic eddy current problem,and give the desiredT-ψscheme. Then,we give finite element method of full discrete coupledT-ψscheme and the iteration method for the fully discrete decoupledT-ψscheme. Finally,the numerical experiments verify the algorithms and convergence.

    maxwell’s equations;T-ψmethod;finite element;iteration method;decoupled;coupled

    2015-07-14

    王帥(1989-),女(漢族),河北承德人,中國(guó)傳媒大學(xué)碩士研究生.E-mail:634699705@qq.com

    O241.82

    A

    1673-4793(2016)01-0017-05

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