田海燕,郭建敏,郭彩霞
(山西大同大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 山西 大同 037009)
?
一類具有免疫反應(yīng)的傳染病模型的穩(wěn)定性
田海燕,郭建敏,郭彩霞
(山西大同大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 山西 大同 037009)
建立了具有Holling II感染率且考慮免疫反應(yīng)的動力學(xué)模型,討論了系統(tǒng)解的非負(fù)性和有界性,最后通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù),應(yīng)用LaSalle不變原理,證明了無病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的.
病毒感染;全局穩(wěn)定性;免疫反應(yīng);李雅普諾夫函數(shù)
目前,傳染病仍然是人類身體健康的一大公敵,因為一些傳染病傳播速度之快,直接影響到人類的生存和發(fā)展.因此,建立傳染病模型,研究其發(fā)病原因,流行規(guī)律,尤其是找尋相應(yīng)的防治措施和預(yù)防策略,已然成為當(dāng)今世界迫切解決的一個重大問題.國內(nèi)外諸多學(xué)者在這方面也做了大量的研究(見文獻(xiàn)[1-4]).為了描述易感染細(xì)胞,感染細(xì)胞以及病毒顆粒之間的關(guān)系,早在1996年,學(xué)者就建立了基本的病毒動力學(xué)模型(見文獻(xiàn)[1]).
然而考慮到病毒產(chǎn)生時存在時滯,并且對于細(xì)胞的感染率多考慮的是雙線性函數(shù),因此,文獻(xiàn)[2]建立了如下的時滯動力學(xué)模型:
(1)
然而要為病毒感染提供更精確的模型,免疫反應(yīng)必須被考慮.本文在模型(1)的啟發(fā)下,建立了考慮CTL免疫作用的動力學(xué)模型,如下:
(2)
假設(shè)系統(tǒng)(2)的初值為
x0=x(0)>0,y0=y(0)≥0,v0=v(0)≥0,z0=z(0)≥0.
根據(jù)泛函微分方程的基本理論,在上述初始條件下,系統(tǒng)(2)的所有解都是非負(fù)的,且是有界的.即有如下的結(jié)論:
定理1在上述初始條件下,系統(tǒng)(2)的所有解都是非負(fù)的,并且一致有界,即存在M>0使得x(t) 證明由系統(tǒng)(2)的每一個方程得: 顯然x(t)>0,z(t)≥0.若y(t)>0,則有v(t)>0成立.下面證明y(t)>0. 證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下: 結(jié)合系統(tǒng)(2)有: 本文討論了一類具有免疫反應(yīng)的Holling II動力學(xué)模型,給出了在給定的初始條件下,模型解的非負(fù)性和有界性.最后利用Lyapunov函數(shù)方法,應(yīng)用LaSalle不變原理,證明了當(dāng)基本再生數(shù)R0<1時,無病平衡點全局漸近穩(wěn)定. [1]Nowak M A, Bonhoeffer S, Hill A M, et al.Viral dynamics in hepatitis B virus infection [J].Proceedings of the National academy of Sciences of the United States of America, 1996, 93(9):4398-4402. [2]鄭重武,張鳳琴.一類具有感染時滯的HIV模型的穩(wěn)定性分析[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識, 2010,40(13):247-252. [3]Elaiw AM and Azoz SA.Global properties of a class of HIV infection models with Beddington-DeAngelis functional response[J].Mathematical Metheods in the Applied Sciences,2013,36(4):779-794. [4]Korobeinikov A.Global properties of basic virus dynamics models[J].Bulletin of Mathematical Biology,2014,66(4):879-883. [5]張少輝 靳禎.具有非線性發(fā)生率的傳染病模型性態(tài)分析[J].中北大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2012,33(4):353-357. [6]馬知恩 ,周義倉,王穩(wěn)地,靳禎 .傳染病動力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究 [M ].北京:科學(xué)出版社, 2004. [責(zé)任編輯:王軍] The stability of a virus model with immune response TIAN Haiyan, GUO Jianmin, GUO Caixia ( School of Mathematics and Computer Science, Datong University, Datong 037009,China) In this paper, we built a virus dynamics model with Holling Ⅱinfection rate and immune response.We discussed the nonnegativity and boundedness of the solution.By constructing suitable Lyapunov functions and applying LaSalle’s invariance principle we have proven that the infection-free equilibrium is globally asymptotically stable. virus infection; global stability; immune response; Lyapunov function 2016-03-01 國家青年科學(xué)基金資助項目(11301312);山西大同大學(xué)青年科學(xué)基金資助項目(2014Q10); 田海燕(1984-),女,山西朔州人,山西大同大學(xué)助教,碩士,主要從事微分方程的研究. O175 A 1672-3600(2016)09-0012-03 山西大同大學(xué)青年科學(xué)基金資助項目(2015K5)2 無病平衡點的穩(wěn)定性分析
3 結(jié) 論