模型建立與概率組合問題的解決

王耀嘉

（河北省衡水第一中學，河北衡水053000）

模型建立與概率組合問題的解決

王耀嘉

（河北省衡水第一中學，河北衡水053000）

當今社會，數(shù)學無處不在，只要平時用心觀察，就會在生活中發(fā)現(xiàn)各種各樣的數(shù)學問題。概率與組合的問題以及其解決辦法，是日常生活中每個人都會接觸到的一類數(shù)學問題。對此，教師幫助學生解決生活中出現(xiàn)的概率組合問題，充分展現(xiàn)數(shù)學在生活中的應(yīng)用，以使學生更好地學習知識。

概率；組合；數(shù)學建模；問題解答

一、引言

生活中的概率組合事件非常多，比如游樂場的扔圏套娃娃游戲，圏的大小影響了套中娃娃的概率，直接影響著商家能不能盈利，所以這個小小的圏里其實有著大大的計算。復雜一點的比如離我們最近的人身傷害保險，其實保險公司在銷售這款保險產(chǎn)品之前會做一個復雜的模型。模型中包含了通過一系列分析計算得出的投保人群的可能受傷害的概率，通過這個規(guī)律，保險公司可以制定出一套保險方案包括投保金額，理賠金額等等。最終而言，即便理賠金額遠遠大于投保金額，但保險公司還是盈利的。

又如，現(xiàn)在的彩票中獎問題。彩票作為一個概率事件，中獎的幾率是非常低的，以從前非常流行的35選7為例，一等獎中獎率有多低？我們可以做一個計算35個數(shù)字組合可以有C357=6724520種可能，買一注就中獎的可能只有1/6724520，所以說這個中獎率是非常低的。

數(shù)學組合的問題同樣十分貼近生活，它在生活中非常常見。比如，求a個球隊參加的比賽中，每隊只與其他隊各比賽一次的總比賽的場數(shù)。又如，一個人要把一匹狼，一只羊和一棵大白菜運到河對岸。而當人不在的時候，狼會吃羊，羊會吃大白菜，而這個人的船每趟卻只能運其中的一只。問這個人怎么做才可以都運過河。

諸如上述概率組合問題是在生活中會經(jīng)常遇到又常常需要解決的一類實際問題，那么應(yīng)該如何運用自己所學的數(shù)學知識來解決上述問題呢？

二、建立針對同類問題的數(shù)學模型

首先，建立一個和上述問題相一致的數(shù)學模型，從而更好地探究同類問題。

建立數(shù)學模型就是通過已經(jīng)學過的數(shù)學方法和數(shù)學原理來構(gòu)建一個易懂的、生活中實用性很強的數(shù)學模型，進而闡述比較困難的數(shù)學問題。數(shù)學模型的建立遵從以下步驟：

1.分析問題，找到問題本質(zhì)。

2.非必要因素忽略，簡化問題。

3.通過數(shù)學計算歸納出這類問題規(guī)律。

4.最終與要研究問題相對比，找出相應(yīng)問題的統(tǒng)一處理辦法。

三、應(yīng)用舉例

仍以上文提到的保險賠償問題入手，通過實際的問題解答來深入分析數(shù)學模型的建立對實際問題解決起到的幫助。

例：某中學為在校學生投保人壽保險，據(jù)了解學生在校受到嚴重意外傷害的概率是0.002，學生須繳付保險費為每人每年12元。如果學生在校期間一旦發(fā)生意外事件而受到傷害可獲得保險公司的賠償為2000，此時保險公司是否盈利，其盈利的概率是多少，且獲利不少于10000元的概率是多少？

通過感性的認識，很難感受到保險公司的利潤率到底是多少？保險公司在提供相對投保金額十分高昂的賠付金額的同時是如何保證盈利的呢？通過建立起簡單的數(shù)學分析模型來看到對于這些生活中的概率問題來進行更細致的解答。

首先設(shè)參保的2500人中在一年的參保期內(nèi)受到意外傷害的人數(shù)為X，那么X的取值可以有0，1，2，……2500，而且X服從分布ξ（2500，0.002）。此時用A表示“保險公司盈利”，B表示“保險公司盈利大于10000元”，由上述的問題所知：

于是，可以通過計算的：P（A）=P｛X＜15｝

于是，可以通過計算的：P（B）=P｛10＜x＜15｝

有上述計算可以很容易地發(fā)現(xiàn)，保險公司的盈利概率竟高達0.999931，而盈利在一萬元以上的概率也達到了0.98305。通過上述建立數(shù)學模型的分析與計算，可以清楚地看到保險公司的盈利保證是十分高的，這是其他行業(yè)所不能比擬的利潤保證，所以保險公司是很樂意接受這類保險業(yè)務(wù)的。

通過一個簡單的模型建立與計算，可以通過直觀地數(shù)字對比看到明確的結(jié)論，這是在日常生活的問題解答中為什么要保持數(shù)學思維的一個重要原因。其實，保險公司在銷售每一款保險產(chǎn)品之前都會建立一個更加復雜的模型。這個模型中會包含了通過一系列分析計算得出的投保人群的可能受傷害的概率，通過計算得到一個規(guī)律，此時保險公司在根據(jù)得到的結(jié)果制定出一套保險復雜而詳細的方案包括投保金額，理賠金額等等。最終而言，即便理賠金額遠遠大于投保金額，但保險公司還是盈利的。

當然，這只是現(xiàn)實生活中概率問題的一個簡單案例。還有很多看起來想當然的問題，其實需要通過良好的數(shù)學思維和扎實的數(shù)學基礎(chǔ)去建立相應(yīng)的數(shù)學模型來分析和解決。通過數(shù)學的眼光看待一些問題，可以糾正一些感性認識的誤差進而得到一些原來并不認同的事實。因此數(shù)學，是一個只用事實說話的最基礎(chǔ)最復雜的自然科學。

四、結(jié)語

數(shù)學是一種非常世界通用的語言，它能夠準確清晰而且間接地說明生活中的很多不同現(xiàn)象。需要養(yǎng)成運用數(shù)學語言與生活中的各種現(xiàn)象進行溝通交流的習慣，如乘坐出租車的時候去發(fā)現(xiàn)乘坐的里程數(shù)與乘坐時間，付費多少之間的函數(shù)關(guān)系并建立模型。這種通過建立模型并解決實際問題，再通過觀察并分析提煉出問題的關(guān)鍵點，然后再把這個問題具體化地歸類到某個知識點，再去逐個攻破，便能夠從一個個的生活中的數(shù)學模型中感悟到數(shù)學建模的廣泛的用處，這樣也就能夠激發(fā)我們對數(shù)學產(chǎn)生濃厚興趣的潛在心理，從而提高了運用數(shù)學知識到實際應(yīng)用中的能力。

［1］劉翠霞.四種模型解決排列組合概率問題［J］.中學數(shù)學教學參考，2015（Z3）.

［2］張唯一.高中概率教學中模型思想的滲透與培養(yǎng)［J］.數(shù)學通報，2013.

［責任編輯趙建榮］

Solutions to the Model Establishment and Probability Combination

WANG Yao-jia
（Hengshui No.1 High School，Hengshui Hebei，053000，China）

Mathematics is everywhere in today's society.We can find a wide variety of mathematical problems as long as we observe attentively.The problem of probability and combination is a mathematical problem we usually come into contact with in daily life.Teachers should help students to solve the problem of probability and combination，fully demonstrate the application of mathematics in life，in order to make students better learn the knowledge.

probability；combination；mathematical modeling；solutions

G63

A

1673-9132（2016）10-0245-145

10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.10.039