大道至簡(jiǎn)　悟者天成*
——2016年浙江省數(shù)學(xué)高考試題簡(jiǎn)析及有關(guān)高考復(fù)習(xí)的思考

●朱偉義

(浙江師范大學(xué)　浙江金華　321004)

●曹鳳山

(浙江師范大學(xué)特級(jí)教師流動(dòng)工作站　浙江金華　321004)

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大道至簡(jiǎn)悟者天成*

——2016年浙江省數(shù)學(xué)高考試題簡(jiǎn)析及有關(guān)高考復(fù)習(xí)的思考

●朱偉義

(浙江師范大學(xué)浙江金華321004)

●曹鳳山

(浙江師范大學(xué)特級(jí)教師流動(dòng)工作站浙江金華321004)

2016年浙江省數(shù)學(xué)高考試題穩(wěn)定中創(chuàng)新，簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單，全面考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，深入考查數(shù)學(xué)本質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查的特色.數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)只有扎根基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生理解本質(zhì)，提高思維能力，方能以不變應(yīng)萬變，完勝高考，成就教與學(xué).

數(shù)學(xué)本質(zhì);高考復(fù)習(xí);解題

從拍案叫絕到劍走偏鋒，對(duì)浙江省數(shù)學(xué)高考試題冰火兩重天的評(píng)價(jià)已司空見慣.從2004年浙江省自主命題以來，在教與考不斷地博弈、碰撞、共進(jìn)中，考生、學(xué)校、社會(huì)各方面的寬容度不斷提升，無論褒貶，大家都是一個(gè)目標(biāo)——更好地教、更好地考，培養(yǎng)選拔更多、更好的學(xué)生.

認(rèn)真做一遍而不是看一眼高考試題，沉下心來從昨天的現(xiàn)實(shí)與明天的需求分析、反思，會(huì)有更多真實(shí)的認(rèn)識(shí).客觀地說，2016年浙江省數(shù)學(xué)高考試題傳承自主命題以來簡(jiǎn)約、大氣的特點(diǎn)，微調(diào)布局，不斷尋求新的知識(shí)交匯點(diǎn)，在全面考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的基礎(chǔ)上，減少計(jì)算量，深度考查對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解，體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求，在浙江省高考模式即將發(fā)生大變革的關(guān)鍵點(diǎn)，交出了一份承上啟下的優(yōu)秀試卷.

1　試題簡(jiǎn)析

1.1宏觀穩(wěn)定

立足基礎(chǔ)，全面考——重點(diǎn)突出.2016年浙江省數(shù)學(xué)高考文、理科試題均保持了對(duì)知識(shí)點(diǎn)較大的覆蓋面，對(duì)支撐中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容進(jìn)行了深入考查，如理科的解析幾何、立體幾何、三角函數(shù)、函數(shù)不等式以及數(shù)列等都占有較大比重；在知識(shí)的交匯點(diǎn)上下功夫，如理科的不等式部分，分別出現(xiàn)在第1，3,4,7,8,15,18題以及第19,20題等;結(jié)合解不等式、線性規(guī)劃、命題、大小比較、絕對(duì)值、向量運(yùn)算及幾何意義、函數(shù)與方程、數(shù)列等有關(guān)知識(shí).

分步設(shè)問、分層把關(guān).理科試卷按照選擇題、填空題、解答題拾階而上，每類試題中又分檔次：選擇題第1～5題為容易題，第6，7題為中檔題，第8題最難；填空題第9～13題中規(guī)中矩，第14題稍有加重，第15題深入概念、性質(zhì)考查，選拔的意圖明顯；解答題除第18題的第2)小題以及第20題，其他試題都注意了難度的控制，第20題情理之中的難度預(yù)料之外的形式，讓不少考生望而卻步.

文、理試卷繼續(xù)保持較大差異.選擇題和填空題各有2道相同，解答題中文科數(shù)列題是理科填空題第13題的延展，立體幾何選取載體一致，第2)小題要求不同，其他解答題則分道揚(yáng)鑣.文科試卷難度相比2015年有所加大，也使部分文科考生亂了陣腳.

1.2內(nèi)涵深厚

突出考思維，注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)的理解.在近幾年“多考一點(diǎn)想、少考一點(diǎn)算”[1]的基礎(chǔ)上，2016年又進(jìn)一步突出“想”，盡量不算、易算.理科考生會(huì)發(fā)現(xiàn)有些題目很難動(dòng)筆“硬算”，選擇題除第7題尚有列式計(jì)算的樣式，其他題目基本沒有運(yùn)算量，填空題也有類似情形.同時(shí)，數(shù)字的設(shè)計(jì)、計(jì)算已極盡簡(jiǎn)單，突出數(shù)學(xué)概念、原理、思維能力的考查，以最簡(jiǎn)約的形式考本質(zhì)，注重對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.最后一道數(shù)列題，命題者惜墨如金，以極其簡(jiǎn)約的形式給出題干，深度考查思維能力，對(duì)選拔優(yōu)秀考生發(fā)揮了重要作用.大家都知道數(shù)學(xué)是玩概念的，數(shù)學(xué)是思維的體操，高考題在關(guān)鍵的位置、顯眼的試題上體現(xiàn)了這一點(diǎn).如理科第15題.

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

圖1

分析如圖1，

|a·e|+|b·e|=

|OA1|+|A1B1|=

|OB1|≤|OB|，

直角邊總不大于斜邊，共線時(shí)取等號(hào)，從而

(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)=10,

(a+b)2取到最大值6時(shí)，(a-b)2取到最小值4，這時(shí)

當(dāng)且僅當(dāng)單位向量e與向量a+b共線時(shí)等號(hào)成立.以上是文字的詳細(xì)敘述，實(shí)際解題過程中，一個(gè)圖，口算，結(jié)果很快可以得出.考后一些教師也給出了不少解法，或者講究技巧或者計(jì)算量過大，沒有從最本質(zhì)的角度分析求解.

實(shí)際上，向量部分最核心的是向量的加、減運(yùn)算及其幾何意義，也就是三角形法則、平行四邊形法則，以及數(shù)量積的幾何意義，抓住這些核心，問題迎刃而解.概念、原理的理解不是文字的背誦，是數(shù)字嚴(yán)密的刻畫，是具體生動(dòng)的形象，是具體情境下的應(yīng)用，要消化.

凸顯數(shù)學(xué)思想方法的考查，突出能力立意.寓思想方法的考查于基礎(chǔ)知識(shí)的考查之中，重要的思想方法在不同題型中以不同的方式重點(diǎn)考查，“多考一點(diǎn)想”的重要體現(xiàn)就是凸顯數(shù)學(xué)思想方法的考查.解答題每道題都會(huì)涉及數(shù)學(xué)思想方法，如理科第16題考查方程思想，第18題考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想以及轉(zhuǎn)化與化歸思想等等.數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用層次是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)，考查的核心思想方法如函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等.

()

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第3題)

圖2

分析首先根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，畫出可行域(如圖2).其次，求|AB|的長(zhǎng)，方法多樣：①求出投影求長(zhǎng)度；②不求投影求長(zhǎng)度；③不求投影看長(zhǎng)度；④直接畫圖三角板量出等等.本題實(shí)際上并不需要確定點(diǎn)的投影，由2條直線平行轉(zhuǎn)化為求|CD|的長(zhǎng)，如果圖形基本準(zhǔn)確，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)均為整數(shù)，結(jié)果一望而解.雖然沒有難度，解答起來也頗有味道，投入時(shí)間的多少、準(zhǔn)確度的高低充分體現(xiàn)了考生的思想方法利用意識(shí)與能力.

1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍.

2)①求F(x)的最小值m(a);

②求F(x)在[0,6]上的最大值M(a).

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第19題)

分析第1)小題中，g(x)=x2-2ax+4a-2過定點(diǎn)(2，2)，該定點(diǎn)又恰好在折線f(x)=2|x-1|右支上，根據(jù)a≥3以及函數(shù)

F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2}

的定義畫出草圖(如圖3)，只要解折線右支y=2(x-1)與二次函數(shù)的右交點(diǎn)，即

2(x-1)=x2-2ax+4a-2,

亦即

x2-2(a+1)x+4a=0，

其中1個(gè)根已知，求解另1個(gè)根可以直接寫出x=2a，故所求x的取值范圍為[2,2a].

圖3 圖4

第2)小題中，①由于二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=a≥3，函數(shù)的最小值取決于

min{0,g(a)}=min{0,-a2+4a-2}，

下面就是簡(jiǎn)單地比較大小.

②求F(x)在[0,6]上的最大值M(a)，根據(jù)圖4可以看出，最大值的可能位置有3個(gè)，只要確定

max{f(0),f(2),f(6)}=max{2,34-8a}，

問題也就很簡(jiǎn)單.此題一題三問，含有參數(shù)，看起來挺復(fù)雜，實(shí)際上，只要思想清晰，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論思想，不斷地轉(zhuǎn)化問題，無論是解方程或者是不等式，計(jì)算量都很少.

方法靈活多樣，重在通性通法.從第1題開始，每道題的解法就呈多樣化.如第1題，直接求解，端點(diǎn)代入驗(yàn)證，畫圖；第2題根據(jù)性質(zhì)、判定定理或者構(gòu)造模型；第3題前面已有提及，解題層次相當(dāng)豐富；第5題定性與定量相結(jié)合，可以利用公式一般性的推演，可以通過特殊值檢驗(yàn)，……，沒有套路與題型，根據(jù)條件靈活選擇.

注重繼續(xù)學(xué)習(xí)潛能的考查.高考是選拔性考試，要選拔出具有一定學(xué)習(xí)潛能的考生繼續(xù)深造，數(shù)學(xué)語言把世界化無形為有形，正是數(shù)學(xué)語言的刻畫，幫助我們認(rèn)識(shí)世界、把握世界，數(shù)學(xué)語言閱讀理解能力是繼續(xù)學(xué)習(xí)潛能的一個(gè)重要方面[2].縱觀整卷，數(shù)學(xué)氣息濃厚，符號(hào)語言突出，文字語言與圖形語言和諧搭配，3種語言的理解、轉(zhuǎn)化、互譯體現(xiàn)了考生之間繼續(xù)學(xué)習(xí)潛能的差異.

2　有關(guān)高考復(fù)習(xí)的思考

2.1大環(huán)境下看2017年的高考復(fù)習(xí)

2017年是浙江省新一輪高考改革的第1年，既有文、理合卷的因素，相比2016年，又有考查知識(shí)點(diǎn)增加的現(xiàn)實(shí)，加之前期選考、學(xué)考，相比往年數(shù)學(xué)的課時(shí)數(shù)都有減少，考查的整體難度相比以前應(yīng)該有所降低.

基于以上分析，對(duì)絕大多數(shù)學(xué)生而言，抓基礎(chǔ)仍是復(fù)習(xí)的主旋律.不過高考畢竟是選拔性考試，不能指望高考試題學(xué)考化，不同層次的生源還是要考慮不同的目標(biāo)與相應(yīng)的難度.

2.2從數(shù)學(xué)本身看高考復(fù)習(xí)

從課改的趨勢(shì)看，在核心素養(yǎng)已經(jīng)明確寫入《課程標(biāo)準(zhǔn)》的前提下，浙江省數(shù)學(xué)高考命題的方向是值得肯定的.現(xiàn)在的高考試題達(dá)到了讓題海戰(zhàn)術(shù)失效，但還沒有把教學(xué)引導(dǎo)到跳出題海.面對(duì)高考之后的一片喧囂，數(shù)學(xué)教學(xué)如何適應(yīng)高考，需要有客觀的判斷、理性的思考和明智扎實(shí)的行動(dòng).

目前，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué),特別是高三復(fù)習(xí)教學(xué)中出現(xiàn)的一些問題值得重視和反思.

講題不講數(shù)學(xué).一些教師之所以對(duì)高考試題不欣賞，就在于“講的都不考，考的都沒講”，讓自己的學(xué)生白學(xué)3年.實(shí)際上，高考是考數(shù)學(xué)，考數(shù)學(xué)理解，考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，考沒有見過、沒有練過的題是必須的，是選拔性考試的必然，是公平、公正的必然.不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中.復(fù)習(xí)時(shí)間久了有些課堂忘了復(fù)習(xí)的初心，學(xué)生做午練題、每日必做題、周練題、月考題、模擬題、沖刺題、仿真題，教師就是講題，講題，還是講題.講題是必須的，問題出在講題就是題型、套路、技巧，沒有來龍去脈，學(xué)生不知道做題為什么，依據(jù)是什么，一旦不符合題型就慌了手腳.到最后，基礎(chǔ)沒有掌握好，題型又對(duì)不上號(hào)，3年白學(xué)也就順理成章.基于核心素養(yǎng)的考查就是要考查“公式、定理都遺忘之后還保留下來的東西”，題型、設(shè)問、考查方式會(huì)更多地從數(shù)學(xué)思想方法著眼，沒有對(duì)數(shù)學(xué)的真正理解，題海戰(zhàn)術(shù)會(huì)吃更大的虧.

講題不講怎樣解題.一些教師真實(shí)的解題能力在報(bào)刊和網(wǎng)絡(luò)上得以表現(xiàn)，其中有很多試題的精彩解法.但是，也看到有些教師對(duì)某些試題的求解實(shí)在不敢恭維，或者脫離學(xué)生實(shí)際一味講究技巧追求“高大上”，不從基礎(chǔ)出發(fā)而是利用二階、三階結(jié)論等“獨(dú)門絕技”，講究“好劍”不講“功力”，或者繁難偏怪，不從本質(zhì)出發(fā)，思路不自然.反映在解題教學(xué)中，解題只講“術(shù)”沒有“道”，或者只有教師“布道”而沒有讓學(xué)生“悟道”.大家都知道，傳授“術(shù)”易，引導(dǎo)悟“道”難.不過，高考試題萬變不離其宗，萬變是術(shù)，宗是道，道負(fù)術(shù)正，則事為勞心，道負(fù)術(shù)負(fù)，則一事無成.教師解題不從引導(dǎo)“悟道”著眼，學(xué)生最多“至于術(shù)”，但往往是“道不通、術(shù)不精”，面對(duì)高考“重道輕術(shù)”的考查，考生自然失去功力[3].

講速度不講質(zhì)量.高一、高二新課開快車，一模、二模趕進(jìn)度，高三就是一場(chǎng)考試連接一場(chǎng)考試的考試馬拉松，追求速度的結(jié)果勢(shì)必是基礎(chǔ)一帶而過、解題一閃而過，沒有學(xué)生“悟”的時(shí)間，結(jié)果教師講十遍學(xué)生還是不會(huì).杜威說：“如果學(xué)生不能籌劃自己解決問題的方法，不會(huì)自己尋找出路，他就學(xué)不到什么，即使他能背出一些正確的答案，百分之百正確，他還是學(xué)不到什么.”慢點(diǎn)，再慢點(diǎn)，即使有外在的壓力，課堂也要自己的地盤自己做主，可以少講點(diǎn)，少做點(diǎn)，講深、悟透，只要抓住核心，讓學(xué)生領(lǐng)悟思想方法，結(jié)果就不會(huì)很差.

跟風(fēng)沒有定力.首先是跟題型風(fēng)，高考試題是專家們的杰作，在各個(gè)方面都堪稱典范，學(xué)生適當(dāng)?shù)难菥?、領(lǐng)悟很有必要.對(duì)高考真題“跟蹤模仿”，一個(gè)知識(shí)點(diǎn)被深挖，題目千篇一律，越出越難越搞越怪，一直在模仿，從不會(huì)超越，形似神已去，反復(fù)操練，直到一類題被玩壞，自己累學(xué)生也苦，最后一無所得.其次是跟模擬題的風(fēng)，模擬題是一些有經(jīng)驗(yàn)教師智慧的結(jié)晶，貼近一線實(shí)際，對(duì)數(shù)學(xué)高考有深入的理解與把握，當(dāng)然，限于人力、物力以及時(shí)間等等因素，也有一些模似題只能追求高考題的形似，不是體現(xiàn)在概念、原理深刻理解基礎(chǔ)上的考查，沒有新的考查視角和合適的背景，甚至出現(xiàn)錯(cuò)題、超綱試題，給學(xué)生帶來不必要的負(fù)擔(dān)；還有跟風(fēng)資料，或者直接被資料“綁架”，資料市場(chǎng)魚目混珠、參差不齊，但是，把資料上題目完成作為復(fù)習(xí)目標(biāo)的教學(xué)恐怕不在少數(shù)，學(xué)生被各種資料弄得暈頭轉(zhuǎn)向，數(shù)學(xué)淹沒在資料的汪洋大海之中，搞不清楚數(shù)學(xué)是什么，要做什么、怎么做.跟風(fēng)來源于不自信，來源于對(duì)高考認(rèn)識(shí)的偏頗以及對(duì)數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)認(rèn)識(shí)的偏頗.實(shí)際上，“大道至簡(jiǎn)”，一百多個(gè)化學(xué)符號(hào)歸結(jié)了物質(zhì)世界，三原色畫出了大自然的奇妙美景，數(shù)學(xué)有難度，但也沒有那么復(fù)雜，在基于核心素養(yǎng)考查下的高考，讓學(xué)生掌握最本質(zhì)的東西才是王道.數(shù)學(xué)教師必須會(huì)解題，還要會(huì)引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟，數(shù)學(xué)教師還要看書，不僅看數(shù)學(xué)課本、復(fù)習(xí)資料，還要盡可能涉獵相關(guān)的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)教育、心理學(xué)等方面的書，提升自己的修養(yǎng)，就會(huì)有自己的定力，不會(huì)因?yàn)轱L(fēng)吹草動(dòng)而影響自己的課堂，不會(huì)再盲目跟風(fēng).對(duì)高考不能“領(lǐng)跑”，也要追求“并行”，與教材并行，與高考命題專家并行.

回歸原點(diǎn)，高考復(fù)習(xí)是中學(xué)教育的一個(gè)階段，也是回歸教育的根本.愛因斯坦說：“不是所有有價(jià)值的都能被計(jì)算，不是所有能計(jì)算的都有價(jià)值.”要在追求分?jǐn)?shù)與培養(yǎng)全人之間盡力追求一種平衡，讓學(xué)生學(xué)習(xí)真正的數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生扎實(shí)的核心素養(yǎng)，為學(xué)生的終身發(fā)展與人生幸福奠基.

[1]曹鳳山.數(shù)學(xué)教學(xué)把根留住——2015年浙江省數(shù)學(xué)高考試題解讀[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2015(8)：1-4.

[2]教育部考試中心.高考數(shù)學(xué)測(cè)量理論與實(shí)踐[M].北京：高等教育出版社，2005.

[3]波利亞.數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)[M].臺(tái)北：九章出版社，2000.

*收文日期：2016-06-09；2016-07-09

朱偉義(1964-),男，浙江諸暨人，教授.研究方向：數(shù)學(xué)教育與數(shù)論.

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1003-6407(2016)08-36-04