基于彈性動(dòng)力學(xué)的制動(dòng)夾鉗結(jié)構(gòu)剛度設(shè)計(jì)

曾梁彬　金　璟

（中車戚墅堰機(jī)車車輛工藝研究所有限公司，常州 213000）

基于彈性動(dòng)力學(xué)的制動(dòng)夾鉗結(jié)構(gòu)剛度設(shè)計(jì)

曾梁彬金璟

（中車戚墅堰機(jī)車車輛工藝研究所有限公司，常州 213000）

針對(duì)制動(dòng)夾鉗結(jié)構(gòu)剛度的設(shè)計(jì)，利用彈性動(dòng)力學(xué)方法建立了一個(gè)6單元21自由度的有限元分析模型，通過求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，研究制動(dòng)夾鉗各部分結(jié)構(gòu)對(duì)系統(tǒng)整體剛度的影響情況，以期為夾鉗本體的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

制動(dòng)夾鉗 結(jié)構(gòu)剛度 彈性動(dòng)力學(xué)

1　引言

制動(dòng)系統(tǒng)作為動(dòng)車組九大關(guān)鍵技術(shù)之一，其性能直接影響列車運(yùn)行的安全。對(duì)于基礎(chǔ)制動(dòng)裝置中的制動(dòng)夾鉗而言，若其結(jié)構(gòu)剛度設(shè)計(jì)不足，將可能導(dǎo)致多方面的功能性與安全性問題。一方面可能引起夾緊力曲線出現(xiàn)遲滯；另一方面，在高制動(dòng)載荷狀態(tài)下，制動(dòng)缸間隙調(diào)整機(jī)構(gòu)的端齒配合可能會(huì)出現(xiàn)“跳齒”現(xiàn)象，使得緩解后盤片間隙減小。此外，過大的結(jié)構(gòu)形變也會(huì)造成關(guān)鍵承載件的疲勞壽命縮短。

針對(duì)上述問題，本文利用彈性動(dòng)力學(xué)方法，研究制動(dòng)夾鉗本體關(guān)鍵承載件的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)對(duì)整體剛性的影響，并對(duì)其截面設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

2　彈性動(dòng)力學(xué)建模

2.1制動(dòng)夾鉗簡(jiǎn)化模型

圖1所示為動(dòng)車組用三點(diǎn)吊掛制動(dòng)夾鉗單元的一般結(jié)構(gòu)，主要由夾鉗本體和制動(dòng)缸兩部分組成。其中，夾鉗本體中最主要的承載構(gòu)件為吊架和杠桿。因此，本文的結(jié)構(gòu)剛度設(shè)計(jì)重點(diǎn)圍繞杠桿和吊架展開。

圖1　制動(dòng)夾鉗單元

本文采用有限元模型來簡(jiǎn)化杠桿吊架連續(xù)體模型。根據(jù)文獻(xiàn)[1]對(duì)單元長(zhǎng)度的規(guī)定，將杠桿和吊架用2個(gè)單元來模擬，以保證較小的計(jì)算誤差。整個(gè)制動(dòng)夾鉗杠桿吊架模型可簡(jiǎn)化為一個(gè)6單元7節(jié)點(diǎn)的有限元模型，如圖2所示。

圖2　制動(dòng)夾鉗杠桿吊架簡(jiǎn)化有限元模型

2.2系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程

2.2.1梁?jiǎn)卧皢卧獜V義坐標(biāo)

根據(jù)制動(dòng)夾鉗結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采用等截面直線梁?jiǎn)卧獊砟M杠桿和吊架各部分結(jié)構(gòu)[2]。梁?jiǎn)卧Ｐ图案髯鴺?biāo)系如圖3所示。

圖3　梁?jiǎn)卧Ｐ图白鴺?biāo)關(guān)系

梁?jiǎn)卧先我恻c(diǎn)縱向（x方向）和橫向（y方向）位移分別用W（,t）和V（,t）表示

設(shè)u1（t）、u5（t）分別為節(jié)點(diǎn)A、B的縱向位移；u2（t）、u6（t）分別為節(jié)點(diǎn)A、B的橫向位移；u3（t）、u7（t）分別為節(jié)點(diǎn)A、B的彈性轉(zhuǎn)角；u4（t）、u8（t）分別為節(jié)點(diǎn)A、B的曲率。

于是，梁?jiǎn)卧膯卧獜V義坐標(biāo)向量為

其邊界條件為

將式（3）代入式（1），于是

通過坐標(biāo)變換可將絕對(duì)參考坐標(biāo)系下的絕對(duì)速度和加速度表示為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的形式，坐標(biāo)變換如下：

進(jìn)而得到的速度和加速度關(guān)系為

2.2.2單元運(yùn)動(dòng)微分方程

梁?jiǎn)卧芰恐饕▌?dòng)能與彈性變形能兩部分。單元?jiǎng)幽芸蓪憺?/p>

單元變形能可寫為

其中，

將式（18）代入式（17）得到

梁?jiǎn)卧睦窭嗜辗匠炭蓪憺?/p>

將式（19）對(duì)iu˙求導(dǎo)得到

將式（22）-（24）代入（21），并寫成矩陣形式

考慮式（12），則上式可改寫為

由此，得到旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的單元運(yùn)動(dòng)微分方程。

以A點(diǎn)和B點(diǎn)為原點(diǎn)，分別建立平動(dòng)坐標(biāo)系A(chǔ)-ξAηA和B-ξBηB。設(shè)平動(dòng)坐標(biāo)系下的單元廣義坐標(biāo)列陣為

則平動(dòng)坐標(biāo)系下的單元廣義坐標(biāo)Ue與旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下廣義坐標(biāo)u之間關(guān)系為

其中，R為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣

將式（26）左乘RT得到

其中，m和k分別為單元當(dāng)量質(zhì)量矩陣和單元當(dāng)量剛度矩陣。

f為對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)Ue的廣義力列陣，其形式為

2.2.3系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程

以制動(dòng)夾鉗單元的實(shí)際工況作為邊界條件，將簡(jiǎn)化模型設(shè)置為一個(gè)6單元7節(jié)點(diǎn)21自由度的有限元模型（自由度設(shè)置規(guī)則詳見文獻(xiàn)[3]）。各單元節(jié)點(diǎn)自由度設(shè)置及廣義坐標(biāo)編號(hào)如圖2和表1所示。

表1　各單元節(jié)點(diǎn)自由度與廣義坐標(biāo)編號(hào)

根據(jù)表1即可寫出系統(tǒng)的模型組成矩陣Iu。引入單元坐標(biāo)協(xié)調(diào)矩陣Bi（i=1, 2, ..., 6），其形式為

進(jìn)一步可獲得

其中，

將所有單元在廣義坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程累加起來，即可得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

其中，M、K和F分別為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣、系統(tǒng)剛度矩陣和系統(tǒng)廣義力列陣。若考慮阻尼，則系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為

3　動(dòng)態(tài)響應(yīng)求解

3.1固有頻率求解

制動(dòng)夾鉗簡(jiǎn)化模型的無阻尼自由振動(dòng)方程為

其解為

其中，A為振幅列陣；ω為系統(tǒng)固有圓頻率；α為初始相位角。將式（45）代入（44），得到

求解上式即可獲得系統(tǒng)各階固有頻率。

3.2動(dòng)態(tài)響應(yīng)求解

3.2.1方程解耦

通過式（46）（47）可以得到系統(tǒng)的n個(gè)固有頻率和相應(yīng)的主振型Ar（r=1, 2, ..., n）。設(shè)稱為正則化因子；φr稱為第r階正則振型且滿足以下條件其中，

對(duì)n階主振型均進(jìn)行正則化處理后構(gòu)成正則振型矩陣Φ

利用正則振型矩陣，則有

各階正則振型矢量φ1,φ2,...,φn線性無關(guān)，可以作為n維線性空間的一組基底。將系統(tǒng)廣義坐標(biāo)矢量U表示為

其中

系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)方程即可轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

因此，式（54）可以展開為n個(gè)互不耦合的獨(dú)立方程

3.2.2正則振型阻尼假定

將阻尼矩陣假定為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合

式中的α和β為常數(shù)。設(shè)

其中ζ1,ζ2,...,ζn稱為振型阻尼比。則系統(tǒng)自由振動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為

在阻尼比較小的情況下（0≤ζi≤0.2），采用該振型阻尼假設(shè)時(shí)分析產(chǎn)生的誤差較小。本文取各階正則阻尼比均為0.05。

3.2.3廣義力矩陣定義

制動(dòng)夾鉗主要承受來自制動(dòng)缸的推力，其作用在兩側(cè)杠桿后端。在簡(jiǎn)化模型中，制動(dòng)缸推力施加在廣義坐標(biāo)u16和u19上?？紤]廣義力列陣F后，可得到正則化后的系統(tǒng)有阻尼受迫振動(dòng)方程

其中

4　制動(dòng)夾鉗剛度設(shè)計(jì)算例

由于制動(dòng)夾鉗主要變形集中在杠桿后半部分，所以本文采用杠桿后端節(jié)點(diǎn)的位移來衡量制動(dòng)夾鉗整體結(jié)構(gòu)剛度，即廣義坐標(biāo)u16和u19。

以某制動(dòng)夾鉗結(jié)構(gòu)為例，材料為QT600-7，密度7120kg/m3，彈性模量169GPa。各單元的長(zhǎng)度、截面積與慣性矩見表2。將各參數(shù)代入上述模型，設(shè)制動(dòng)缸推力10kN，可以計(jì)算得到廣義坐標(biāo)u16和u19處的位移約為1.057mm。

表2　各單元結(jié)構(gòu)參數(shù)

分別以單元1和2、單元3和4、單元5和6的截面慣性矩為變量，得到各單元截面慣性矩對(duì)最大變形量的敏感度，如圖4所示。

圖4　各單元界面慣性矩對(duì)最大變形的影響

從圖4中可以看出，單元5和6對(duì)最大變形的敏感度最高，其次為單元1和2，單元3和4最低。由此可知，增大杠桿后半部分的截面慣性矩對(duì)改善夾鉗整體剛性和降低變形效果最為明顯。

5　結(jié)論

（1）文中采用等截面直線梁?jiǎn)卧獙?duì)制動(dòng)夾鉗關(guān)鍵承載件進(jìn)行模擬，建立了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，能夠直接獲得外部載荷與結(jié)構(gòu)變形之間的關(guān)系。

（2）通過算例，對(duì)比制動(dòng)夾鉗各部分結(jié)構(gòu)對(duì)整體結(jié)構(gòu)剛度的影響。其中，通過增大杠桿后半部分的截面慣性矩對(duì)改善整體結(jié)構(gòu)剛度效果最明顯。因此，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中可優(yōu)先對(duì)該部分進(jìn)行優(yōu)化。

（3）文中所采用的6單元21自由度簡(jiǎn)化模型，能夠用于指導(dǎo)對(duì)吊架、左右杠桿前半部和后半部進(jìn)行等截面設(shè)計(jì)。利用相同方法將夾鉗本體進(jìn)一步拓展為多單元多自由度模型，則能夠?qū)ψ兘孛娓軛U吊架的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

[1]王生澤，廖道訓(xùn).高速平面連桿機(jī)構(gòu)彈性變形及動(dòng)應(yīng)力的有限元分析[J].華中理工大學(xué)學(xué)報(bào)，1988，（3）：115-122.

[2]張策.機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]曾梁彬.新型肘桿式高速壓力機(jī)關(guān)鍵技術(shù)研究[D].南京：南京理工大學(xué)，2012.

Structural Stiffness Design of Brake Caliper Bas ed on Elasto-Dynamic Analysis

ZENG Liangbin,JIN Jing
(CRRC Qishuyan Institute Co.,Ltd, Changzhou 213000)

A FE A model with 6 e lements a nd 21 DOFs, which was established by elasto-dynamic method, was introduced into structural s tiffness design of brake caliper. By s olving the system’s differential equation of motion, the influences of different parts of brake caliper on the structural stiffness of system were inves tigated, which will provide a theoretical basis for the structure design of brake caliper.

Brake caliper, Structural stiffness, Elastodynamic analysis