一維均勻費(fèi)米體系的有限溫度性質(zhì)*1

俞玄平， 高先龍（浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華　321004）

一維均勻費(fèi)米體系的有限溫度性質(zhì)*1

俞玄平， 高先龍
（浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華321004）

運(yùn)用牛頓法數(shù)值求解了有限溫度下一維費(fèi)米體系Gaudin-Yang模型的熱力學(xué)Bethe-ansatz方程，得到了相關(guān)熱力學(xué)量的數(shù)值結(jié)果；給出了在排斥和吸引相互作用下粒子數(shù)密度隨化學(xué)勢和溫度的變化，以及在排斥相互作用下壓縮率、比熱和Luttinger參數(shù)關(guān)于溫度和化學(xué)勢的圖像.由此分析得到了均勻體系在量子臨界區(qū)的性質(zhì).

Gaudin-Yang模型；熱力學(xué)Bethe-ansatz方程；壓縮率；比熱；Luttinger參數(shù)；量子臨界區(qū)

0　引言

1995年7月，美國科羅拉多大學(xué)實(shí)驗(yàn)天體物理聯(lián)合研究所（JILA）的Wieman，Cornell和麻省理工學(xué)院的Ketterle利用冷卻氣態(tài)堿金屬的方法在實(shí)驗(yàn)上率先實(shí)現(xiàn)了玻色-愛因斯坦凝聚（BEC）［1］，這極大地激發(fā)了研究人員對超冷原子物理這一領(lǐng)域的研究熱情.自從玻色子凝聚在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)之后，研究者又致力于費(fèi)米子的凝聚.玻色子遵從玻色統(tǒng)計（一個量子態(tài)上占據(jù)的粒子數(shù)不受限制），而費(fèi)米子由于受到泡利不相容原理（即一個量子態(tài)最多只允許一個費(fèi)米子占據(jù)）的限制，所以要實(shí)現(xiàn)費(fèi)米子的凝聚更加困難，需要的溫度更低.伴隨著原子冷卻技術(shù)的快速發(fā)展，特別是近20多年以來，激光冷卻技術(shù)的快速發(fā)展，使得實(shí)驗(yàn)上可以獲得更理想的低溫.1999年，Jin小組［2］利用鉀原子的2個不同內(nèi)態(tài)等比例混合所組成的2組分費(fèi)米氣體，并把費(fèi)米氣體束縛在磁勢阱中蒸發(fā)冷卻到0.5TF，從而實(shí)現(xiàn)了費(fèi)米子的凝聚.2007年，山西大學(xué)的張靖小組［3］也實(shí)現(xiàn)了量子簡并費(fèi)米氣體的凝聚.

一維體系由于維度的限制，使得體系中的每一個粒子運(yùn)動必然會影響著它近鄰的粒子，如此往復(fù)就會形成體系的集體運(yùn)動，因此，體系的粒子之間具有關(guān)聯(lián)性.同時，在一維冷原子體系中會有更強(qiáng)的量子漲落現(xiàn)象.由于激光技術(shù)的發(fā)展，利用光晶格技術(shù)，通過外加一個束縛勢滿足徑向角頻率（ωr）遠(yuǎn)大于軸向角頻率（ωz）的磁場，從而使粒子被束縛在準(zhǔn)一維體系中.

均勻體系下的一維問題可以通過Bethe-ansatz的方法得到解析解，即一組無窮多的熱力學(xué)Betheansatz耦合方程.數(shù)值上可以對耦合方程進(jìn)行截斷并運(yùn)用牛頓法，通過迭代從而自洽求解得到相應(yīng)的熱力學(xué)量.對所得的熱力學(xué)量進(jìn)行分析，可以進(jìn)一步理解低溫體系下的熱力學(xué)性質(zhì)及量子漲落.

1　模型和理論方法

本文主要研究一維均勻連續(xù)費(fèi)米體系的Gaudin-Yang模型［4-5］在有限溫度下具有的性質(zhì).體系的哈密頓量可以表示為

式（1）中：m表示粒子質(zhì)量；N表示體系總粒子數(shù)；g1D是描述體系粒子間短程相互作用的參數(shù).g1D＞0表示排斥相互作用，g1D＜0表示吸引相互作用.且g1D=2?2/（ma1D）；a1D為一維散射長度.

體系的吉布斯自由能為

式（2）中：G為吉布斯自由能；T為體系的溫度；Ξ為巨配分函數(shù)；E為體系的能量；μ為體系的化學(xué)勢；S為體系的熵；P為體系的壓強(qiáng)；L為體系的尺寸大小.

在熱力學(xué)極限（N→∞，L→∞，N/L為有限值）下，運(yùn)用熱力學(xué)Bethe-ansatz方程求解式（1），得到以下基本熱力學(xué)量的耦合方程［6-8］：

式（3）～式（6）的耦合方程可以簡化為以下耦合方程：

且有：

把式（9）～式（11）這n+1個耦合方程在n=nc處截斷，得到nc+1個耦合方程，通過牛頓法進(jìn)行迭代自洽求解，前后2次相對誤差滿足10-5的精度要求，從而可以求得相關(guān)的熱力學(xué)物理量.

2　數(shù)值結(jié)果

筆者通過數(shù)值求解，得到上述基本熱力學(xué)量，為計算方便，以下圖像的數(shù)據(jù)無量綱化處理為：kB=2m+?=1，ε=?2g21D/2m為能量單位，相互作用強(qiáng)度γ=g1D/n.

圖1　粒子數(shù)密度n及其平方n2隨溫度T和化學(xué)勢μ變化的圖像.

圖1展示了相互作用強(qiáng)度|γ|=100時體系的粒子數(shù)密度分布圖像.無論是排斥相互作用還是吸引相互作用，體系粒子數(shù)密度隨溫度和化學(xué)勢的分布趨勢相同，但在吸引相互作用下，由于相反自旋的粒子發(fā)生配對形成庫伯對，粒子的數(shù)密度增加.從圖1（a）～（d）可看出，在低溫且化學(xué)勢為負(fù)時，體系的粒子數(shù)密度很小，此時粒子與粒子之間的距離遠(yuǎn)大于其熱波長，粒子滿足玻爾茲曼統(tǒng)計或體系處于經(jīng)典區(qū).從圖1（a）～（d）可看出，在低溫時，粒子分布和化學(xué)勢滿足μ∝n2的關(guān)系（在零溫?zé)o相互作用時有μ=π2n2［9-10］）.在有限溫度的相互作用體系中，粒子有激發(fā)，此時，有μ=π2n2［1-16ln2/（3γ）］的解析結(jié)果［10］.隨著溫度的升高，熱漲落使粒子密度分布增加，此時粒子分布和化學(xué)勢具有μ∝n的關(guān)系.一般說來，溫度越低，體系的量子漲落越強(qiáng)，量子性質(zhì)越明顯.溫度越高，熱漲落越強(qiáng)，體系熱激發(fā)，趨于經(jīng)典體系.

圖2（a）和圖2（b）畫出了體系的壓縮率隨化學(xué)勢的分布，在低溫且化學(xué)勢為零處，壓縮率發(fā)生突變，即體系發(fā)生相變.圖2（c）給出了在排斥相互作用γ=100時，體系的熵密度s對化學(xué)勢μ的偏導(dǎo)數(shù)?s/?μ關(guān)于化學(xué)勢μ的圖像.可以看出，在化學(xué)勢為零附近，?s/?μ存在峰值，溫度越低越尖銳.遠(yuǎn)離相變點(diǎn)（μ=0），?s/?μ→0，即熵密度與化學(xué)勢無關(guān).在化學(xué)勢μ＜0并遠(yuǎn)離相變點(diǎn)時，體系處于低密度的經(jīng)典區(qū).在化學(xué)勢μ＞0的相變點(diǎn)附近，粒子數(shù)（化學(xué)勢）增加，體系的量子關(guān)聯(lián)和漲落增強(qiáng)，體系進(jìn)入量子臨界區(qū).進(jìn)一步增大粒子數(shù)（化學(xué)勢），體系的熵密度減少，體系進(jìn)入Luttinger液體區(qū)［11］.所以在確定的溫度下，隨著化學(xué)勢的增加，體系有一個從經(jīng)典區(qū)（即量子臨界區(qū)）到量子區(qū)的轉(zhuǎn)變.下面進(jìn)一步用熵和比熱來度量這樣的相變.

圖2　熱力學(xué)量對化學(xué)勢的二階導(dǎo)數(shù)隨溫度T和化學(xué)勢μ變化的圖像

圖3　體系的熵密度s和比熱Cv隨化學(xué)勢μ和溫度T變化的等高線圖

圖4　體系的Luttinger參數(shù)關(guān)于溫度T及化學(xué)勢μ的圖像

圖3給出了相互作用強(qiáng)度γ=100時體系的熵密度與溫度和化學(xué)勢的圖像.筆者發(fā)現(xiàn)，低溫且化學(xué)勢為負(fù)時體系的熵密度很小，這和上面圖1（a）粒子數(shù)密度在該區(qū)域的分布很小相符，此時體系的粒子滿足經(jīng)典的玻爾茲曼統(tǒng)計.隨著溫度的升高和化學(xué)勢的增加，體系的熵增加，這時體系進(jìn)入量子臨界區(qū).之后，低溫區(qū)體系的熵隨著化學(xué)勢的增加而減小，此時體系發(fā)生相變由臨界區(qū)進(jìn)入Luttinger液體區(qū)［11］.溫度越高，熱漲落越大，而且高溫會增加體系粒子的激發(fā)，進(jìn)一步增加體系的熵，所以，溫度越高量子臨界區(qū)越寬.從圖3（b）可以看出，體系的比熱隨化學(xué)勢的變化會出現(xiàn)2個突變的峰，表示體系在此發(fā)生相變.2個相變邊界之間的區(qū)域正是圖2所對應(yīng)的量子臨界區(qū).利用2個峰值可以界定體系的量子臨界區(qū)，這與文獻(xiàn)［11］中的結(jié)果能夠很好地相符.

圖4給出了強(qiáng)相互作用γ=100時Luttinger參數(shù) K關(guān)于溫度和化學(xué)勢的圖像.Luttinger參數(shù)可以描述體系對關(guān)聯(lián)函數(shù)的漸進(jìn)行為.從圖3可以看出，在低溫情況下參數(shù)K很快達(dá)到1，在化學(xué)勢為零處，K從零突變增加到1并保持不變.這個結(jié)果與在強(qiáng)相互作用下的解析結(jié)果［11］

能夠很好符合.

3　結(jié)論

筆者用牛頓法數(shù)值求解了熱力學(xué)Bethe-ansatz方程，得到了在強(qiáng)相互作用下體系的粒子數(shù)密度分布.對于排斥相互作用和吸引相互作用，體系的粒子數(shù)密度分布變化趨勢相同.低溫到高溫的過程中，由于熱漲落和熱激發(fā)，使更多的體系粒子被激發(fā)而趨向經(jīng)典體系，體系的壓縮率K*在化學(xué)勢為零處發(fā)生突變，這一結(jié)果可作為體系發(fā)生相變的條件之一.當(dāng)溫度確定時，體系的比熱Cv在化學(xué)勢中的分布會發(fā)生2次突變，這一結(jié)果也可以作為體系發(fā)生相變的條件之一.筆者發(fā)現(xiàn)，比熱的2個突變的峰值對應(yīng)的化學(xué)勢之差隨溫度的升高而增加，量子臨界區(qū)的邊界就是體系比熱隨化學(xué)勢的突變的峰所構(gòu)成的邊界線，隨著化學(xué)勢的增加，體系由低密度的經(jīng)典相向高密度的量子相轉(zhuǎn)變，并且中間出現(xiàn)量子臨界區(qū)［12-13］，Luttinger參數(shù)在一維強(qiáng)排斥相互作用的費(fèi)米體系中會趨向于1等.進(jìn)一步的研究可考慮冷原子體系中的束縛勢，并研究束縛勢變化情況下體系的激發(fā)問題.

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（責(zé)任編輯杜利民）

Finite temperature properties of one-dimensional homogeneous Ferm i systems

YU Xuanping， GAO Xianlong
（College of Mathematics，Physics and Information Engineering，Zhejiang Normal University，Jinhua 321004，China）

The thermodynamic Bethe-ansatz equations of Gaudin-Yang Fermimodelwas numerically solved by using Newton＇smethod.At the repulsive and attractive interaction，the particle number density as a function of chemical potential and temperature，and the compressibility，specific heat and the Luttinger parameter as a function of the chemical potential and temperaturewere obtained.The properties of the homogeneous system in the quantum critical regime were analyzed.

Gaudin-Yangmodel；thermodynamic Bethe-ansatz equations；compressibility；specific heat；Luttinger parameter；quantum critical regime；

O562.4

A

1001-5051（2016）02-0164-05

10.16218/j.issn.1001-5051.2016.02.007

*收文日期：2015-12-13；2012-02-26

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（KYZKJY11118）

俞玄平（1989-），男，江西婺源人，碩士研究生.研究方向：凝聚態(tài)物理.

高先龍.E-mail：gaoxl@zjnu.edu.cn