二維輻射磁流體方腔流動(dòng)與傳熱混合加強(qiáng)邊界控制

趙　磊，羅小紅，李本文

(1.遼寧石油化工大學(xué)石油天然氣工程學(xué)院，遼寧撫順113001;

?

二維輻射磁流體方腔流動(dòng)與傳熱混合加強(qiáng)邊界控制

趙磊1，羅小紅2，李本文3

(1.遼寧石油化工大學(xué)石油天然氣工程學(xué)院，遼寧撫順113001;

2.東北大學(xué)材料電磁過程研究教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽110819;

3.大連理工大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院，遼寧大連116024)

本文研究二維直角坐標(biāo)下方腔內(nèi)輻射磁流體流動(dòng)與傳熱的邊界控制.以速度和溫度一階導(dǎo)數(shù)的L2范數(shù)作為混合衡量函數(shù)，設(shè)計(jì)一個(gè)邊界反饋控制器,它能使混合衡量函數(shù)最大、使控制消耗和測量消耗最小.具體方法如下：首先，界定由動(dòng)能和內(nèi)能組成的能量函數(shù)；計(jì)算能量函數(shù)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，得出能量函數(shù)時(shí)間變化率與混合衡量函數(shù)的關(guān)系；給出由能量函數(shù)和混合衡量函數(shù)構(gòu)成的性能指標(biāo)上界；得到使性能指標(biāo)最小的邊界反饋控制器.然后，將溫度邊界反饋控制器作為溫度邊界條件，引入邊界條件，通過配置點(diǎn)譜方法求解輻射傳遞方程，計(jì)算得到輻射源項(xiàng)和壁面熱流.接下來，求解能量方程計(jì)算出溫度場的狀態(tài)變化，結(jié)合二步法以及譜投影算法，求解出壓力狀態(tài)變化.代入前面的結(jié)果，求解動(dòng)量方程可以得到速度場的變化.最后，通過輻射磁流體力學(xué)計(jì)算程序驗(yàn)證了溫度邊界反饋控制器的有效性.

磁流體；方腔流；配置點(diǎn)譜方法；邊界反饋；混合加強(qiáng)

磁流體力學(xué)在許多應(yīng)用領(lǐng)域都有應(yīng)用(如，磁流體加速裝置、磁流體發(fā)電、空間天氣預(yù)報(bào)、光電信息、航空和航天以及天體物理等).輻射磁流體是在磁場的作用下導(dǎo)電的高溫流體(如電解液和等離子體等)，輻射磁流體流動(dòng)的研究已經(jīng)成為磁流體力學(xué)的一個(gè)重要組成部分.

上世紀(jì)中期，環(huán)磁機(jī)(Tokamak)的發(fā)明以及在諸多工業(yè)新技術(shù)(如電磁連鑄、電磁泵、電弧加熱器、磁流體發(fā)電、電磁推進(jìn)等)中的開發(fā)，不僅促進(jìn)了磁流體力學(xué)[1]的發(fā)展，同時(shí)也促進(jìn)了磁流體控制技術(shù)[2,3]的發(fā)展.以在電磁連鑄應(yīng)用方面為例，由于熔融金屬是良好的導(dǎo)電體，在電磁場的作用下產(chǎn)生感應(yīng)電流，感應(yīng)電流和磁場的相互作用產(chǎn)生洛倫茲力，利用洛倫茲力就可以對(duì)熔融金屬進(jìn)行非接觸式攪拌、傳輸和形狀控制，以達(dá)到非接觸控制的目的.同時(shí)，電磁場還具有能量的高密度性和清潔性，優(yōu)越的響應(yīng)性和可控性，能量利用率高以及易于自動(dòng)化控制等特點(diǎn).最典型的是磁流體在金屬材料制備領(lǐng)域的應(yīng)用，甚至發(fā)展成獨(dú)立的材料電磁過程(Electromagnetic process of materials,EPM)研究領(lǐng)域.

磁流體控制領(lǐng)域的成果主要是通過湍流控制實(shí)現(xiàn)電磁流體(弱導(dǎo)電流體如：鹽水)減阻.傳統(tǒng)的制動(dòng)器設(shè)計(jì)分為下面兩類：(1)磁場施加在平行流動(dòng)方向；(2)磁場施加在垂直于流動(dòng)方向.電磁流體制動(dòng)器采用開環(huán)策略，或者是全開或者是在任意時(shí)刻暫停，許多成果表明無論是磁場施加平行于[4]流動(dòng)方向還是垂直于[5]流動(dòng)方向，反饋控制都比開環(huán)控制提供更高的效率，并且節(jié)省控制能量.Aamo[6]在2003年和Schuster等人[7,8]在2008年先后研究了磁流體在二維管道流的流動(dòng)控制，在壁面垂直上通過壓力和感應(yīng)磁場強(qiáng)度來加強(qiáng)內(nèi)部磁流體的混合.Baker等人[9]在2002基于線性化和模型降階方法的分布參數(shù)控制方法設(shè)計(jì)了精確控制實(shí)現(xiàn)對(duì)電磁流體的減阻.

雖然反饋控制在磁流體流動(dòng)控制中取得了很多成果，但是采用壁面加熱/冷卻來反饋控制內(nèi)部流場和溫度場的設(shè)計(jì)方法還沒有成果發(fā)表.基于這種思想，本文通過壁面的加熱棒，冷卻水管和熱電偶實(shí)現(xiàn)對(duì)磁流體方腔流動(dòng)和傳熱的加強(qiáng).本文考慮方腔流，內(nèi)部是參與性高溫磁流體，在上下壁面施加與重力反向的磁場.加熱棒和熱電偶嵌入在左右壁面，以實(shí)現(xiàn)主動(dòng)邊界反饋控制.本文采用配置點(diǎn)譜方法來模擬控制效果.

1　物理模型

本文研究的物理模型為一方腔，方腔內(nèi)充滿輻射參與性、黏性、不可壓縮且導(dǎo)電的磁流體.方腔為封閉腔體，具有恒溫的左右豎直壁面和絕熱的上下壁面.其中，初始設(shè)置右壁面為高溫Th，左壁面低溫Tc.所有的壁面均為不透明的漫射壁面，且滿足無滑移邊界條件.磁場豎直向下施加，強(qiáng)度保持恒定.

2　控制方程

首先，假定在較小磁雷諾數(shù)下，感應(yīng)磁場是可以忽略的.因此，描述參與性MHD流動(dòng)與傳熱的方程包含連續(xù)性方程、動(dòng)量守恒方程和能量守恒方程.通過對(duì)控制方程式進(jìn)行變換，可以得到如下無量綱化控制方程.

(1)

(Vsinφcosφ-Usin2φ)

(2)

(Usinφcosφ-Vcos2φ)

(3)

(4)

(5)

3　邊界條件

所有的表面均滿足無滑移邊界條件，左右表面為恒溫壁面，上下壁面為絕熱壁面，因此邊界條件可以寫為

左壁面：U=0，V=0，θlif=-0.5

右壁面：U=0，V=0，θrig=0.5

上，下壁面：U=0，V=0，

|nw·Ω′|dΩ′

(6)

在求解輻射換熱時(shí)，假定所有壁面黑度相同，且為不透明漫反射壁面，因此壁面上的輻射邊界條件為

|nw·Ω′|dΩ′

(7)

對(duì)流和輻射熱流密度的無量綱形式：

(8)

(9)

局部導(dǎo)熱、輻射和總努賽爾數(shù)NuC，NuR和NuT的定義如下：

(10)

(11)

NuT=NuC+NuR

(12)

(13)

4　能量分析，控制器設(shè)計(jì)及其最優(yōu)化

定義動(dòng)能和內(nèi)能組成的能量函數(shù)，由于本文考慮穩(wěn)恒磁場，因此磁場能不在分析范圍.

+k2(θ2)dXdY

(14)

其中， k1和k2是任意常數(shù).

對(duì)E(V,θ)做時(shí)間的導(dǎo)數(shù)

(15)

把方程(2)至(4)代入式(15)

(16a)

(16b)

(16c)

(17)

其中，

(Vsinφcosφ-Usin2φ)]UdXdY+

下標(biāo)X和Y表示對(duì)X和Y方向求偏導(dǎo)數(shù).應(yīng)用Young氏不等式(a1>0，a2>0，a3>0)來確定g(V,θ)的上界

(18)

(19)

(20)

(21)

則

(22)

其中,b1，b2，b3，b4為代入邊界解出的常數(shù).

定義：性能指標(biāo)[7,10]

(23)

其中，

h(V,θ)=2Prm(V,θ)- g(V,θ)

(24)

則性能指標(biāo)(23)可以改寫為

(25)

當(dāng)最后兩項(xiàng)的積分等于零時(shí)，性能指標(biāo)J(θW)最大.因此，控制器(26)和(27)是最優(yōu)的.

(26)

(27)

控制器表達(dá)式(26)和(27)的目的是用最小的溫度獲得最大的混合衡量函數(shù)m(V,θ)的值.同樣增大不是無止境的.很明顯，式(22)給出了g(V,θ)的上界.同時(shí)，在式(24)中，可以看出不提高m(V,θ)無法使h(V,θ)增大，給出如式(23)形式的性能指標(biāo)是有意義的.

根據(jù)測量邊界區(qū)域流體的溫度可以計(jì)算出控制器的數(shù)值，這樣通過加熱棒對(duì)邊界進(jìn)行加熱，從而對(duì)四周壁面溫度進(jìn)行控制，使m(V,θ)的值增加，實(shí)現(xiàn)對(duì)方腔內(nèi)流體加強(qiáng)混合.

5　數(shù)值驗(yàn)證

采用配置點(diǎn)譜方法對(duì)輻射磁流體流動(dòng)和傳熱過程進(jìn)行模擬.盡管之前已經(jīng)存在輻射磁流體方腔流動(dòng)的模擬的研究成果[11～13]，但是在邊界上施加主動(dòng)控制，使方腔內(nèi)的參與性磁流體混合加強(qiáng)的研究還沒有發(fā)表.

驗(yàn)證控制方程求解的正確性：本文與Han[14]研究的物理模型進(jìn)行比較，物理參數(shù)選用如下.

φ=π/2，Gr=2.0×106，Pr=0.733，Ha=100，Pl=0.02，ω=0.

圖1　流線圖(a,c)和等溫線圖(b,d)的比較

圖2　未施加邊界反饋控制的流線圖

圖3　未施加邊界反饋控制的等溫線圖

圖4　邊界反饋控制后的流線圖

圖5　邊界反饋控制前的等溫線圖

6　結(jié)果分析

當(dāng)沒有引入邊界控制時(shí)，流線圖和等溫線圖如圖1中所示，第一列為本文結(jié)果，第二列是Han的結(jié)果，無論是溫度場還是流場都吻合得很好.證明在沒有引入邊界控制時(shí)，計(jì)算輻射傳遞方程，能量方程，動(dòng)量方程的正確性.同時(shí)，比較了不同光學(xué)厚度τ對(duì)流場和溫度場的影響.對(duì)比圖1中(a)和(c)可以發(fā)現(xiàn)中流場強(qiáng)度隨光學(xué)厚度增加而增加，這意味著磁場對(duì)流體的抑制作用隨光學(xué)厚度的增加其強(qiáng)度逐漸減弱；對(duì)比圖1中(b)和(d)中的溫度梯度隨光學(xué)厚度增加而減小，模擬結(jié)果表明從熱壁面發(fā)射的輻射能更難于達(dá)到其他壁面，而更多的熱輻射能被中間的磁流體所吸收.

7　結(jié)　論

對(duì)二維輻射磁流體方腔流動(dòng)與傳熱過程進(jìn)行邊界反饋控制的研究，加強(qiáng)了內(nèi)部流體的混合.采用逆最優(yōu)方法，得到邊界控制的表達(dá)式.利用配置點(diǎn)譜方法，計(jì)算出穩(wěn)態(tài)時(shí)橫縱坐標(biāo)的速度.根據(jù)反饋控制表達(dá)式，得出了邊界反饋控制的準(zhǔn)確數(shù)值，施加在壁面.最后，用配置點(diǎn)譜方法耦合求解連續(xù)方程，動(dòng)量方程，能量方程，輻射傳遞方程來模擬控制效果.結(jié)果表明：通過施加邊界反饋控制，流場變化梯度增大，溫度場趨于均勻，證明本文提出的方法正確有效.發(fā)現(xiàn)流場強(qiáng)度隨光學(xué)厚度增加而增加，溫度梯度隨光學(xué)厚度增加而減??；隨散射反照率的增加，方腔內(nèi)磁流體的流動(dòng)強(qiáng)度和流線結(jié)構(gòu)變化都很小，尤其是冷壁面附近的主要漩渦結(jié)構(gòu)和強(qiáng)度均沒有變化；隨散射反照率增加，流體溫度有下降的趨勢.

[1]Bateman G.MHD Instabilities[M].Cambridge(MA): The MIT Press， 1978.

[2]D'Antona G,Cirant,S,Davoudi,M.The MHD control system for the FTU tokamak[J].IEEE Transactions on Nuclear Science， 2011;58(4):1503-1510.

[3]Bettini P,Marrelli,L,Specogna,R.calculation of 3-D magnetic fields produced by MHD active control systems in fusion devices[J].IEEE Transactions on Magnetics， 2014，50(2).

[4]Spong E,Reizes J A,Leonardi E.Efficiency improvements of electromagnetic flow control[J].International Journal of Heat and Fluid Flow， 2005，26(4):635-655.

[5]Berger T W,Kim J,Lee C,etal.Turbulent boundary layer control utilizing the lorentz force[J].Physics of Fluids,2000,12(3):631-649.

[6]Aamo O M,Krstic M,Bewley T R.Control of mixing by boundary feedback in 2D channel flow[J].Automatica,2003,39(9):1597-1606.

[7]Schuster E,Luo L,Krstic＇,M.MHD channel flow control in 2D: mixing enhancement by boundary feedback[J].Automatica,2008,44(10):2498-2507.

[8]Luo LX,Schuster E.Mixing enhancement in 2D magnetohydrodynamic channel flow by extremum seeking boundary control[C]//American Control Conference.2009.

[9]Baker J,Christofides P D.Drag reduction in transitional linearized channel flow using distributed control[J].International Journal of Control,2002,75(15):1213-1218.

[10]Luo L X,Schuster E.Heat exchange enhancement by extremum seeking boundary feedback control in 3D magnetohydrodynamic channel flow[C]//49th Ieee Conference on Decision and Control.2010.

[11]Luo X H,Li B W,Zhang J K,etal.Simulation of thermal radiation effects on mhd free convection in a square cavity using the chebyshev collocation spectral method[J].Numerical Heat Transfer Part a-Applications,2014,66(7):792-815.

[12]Zhang J K,Li B W,Hu Z M.Effects of optical parameters on fluid flow and heat transfer of participating magnetic fluid[J].International Journal of Heat and Mass Transfer,2013,59:126-136.

[13]Zhang J K,Li B W,Chen Y Y.The joule heating effects on natural convection of participating magnetohydrodynamics under different levels of thermal radiation in a cavity[J].Journal of Heat Transfer-Transactions of the Asme,2015,137(5).

[14]Han C Y.Hydromagnetic free convection of a radiating fluid[J].International Journal of Heat and Mass Transfer,2009,52(25-26):5895-5908.

Mixing enhancement in 2D radiation magnetohydrodynamic cavity flow by boundary feedback control

Zhao Lei1,Luo Xiaohong2,Li Benwen3

(1.School of Petrochemical Engineering,Liaoning Shihua University,Fushun,113001,China;2.Key Laboratory of Electromagnetic Processing of Materials(Ministry of Education),Northeastern University,Shenyang 110819,China;3.School of Energy and Power Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China)

A nonlinear boundary feedback control law is proposed for mixing enhancement in a 2D radiation magnetohydrodynamic(R-MHD)cavity flow.Using the L2-norm of first-order spatial derivatives of velocity and temperature field as a measure of mixing.A feedback control law that maximizes the measure and minimizes the control and sensing efforts are designed for 2D cavity flow.Firstly,choosing the energy function as the combination of the kinetic and internal energy of the flow,we can compute the time derivative of energy function and provide a relationship between the time derivative of energy function and the measure of mixing.We give an upper bound on a performance cost index which is the function of energy function and mixing measure function.The control law is obtained to maximize the value of cost function,with minimal control and sensing effort.Secondly,applying the control law as the boundary condition,we can obtain the radiative source term and radiative wall heat fluxed by solving the radiation transfer equation.Make use of the value of radiative source term to obtain the temperature field by solving the energy equation.Pressure field can be obtained by two-step method and improved projection scheme.After that,we obtain the velocity field by solving the momentum equation.Finally,the controller effectiveness is demonstrated by a R-MHD code.

MHD; cavity flow; collocation spectral method; boundary feedback; mixing enhancement

10.14186/j.cnki.1671-6620.2016.02.007

TK 323

A

1671-6620(2016)02-0112-06