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    雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下重置期權(quán)定價

    2016-09-02 07:12:57董瑩瑩
    關(guān)鍵詞:布朗運(yùn)動重置歐式

    董瑩瑩,薛 紅

    (西安工程大學(xué)理學(xué)院,西安710048)

    雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下重置期權(quán)定價

    董瑩瑩,薛紅

    (西安工程大學(xué)理學(xué)院,西安710048)

    假定股票價格滿足雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動驅(qū)動的隨機(jī)微分方程,期望收益率、無風(fēng)險利率和波動率均為常數(shù),根據(jù)雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動隨機(jī)分析理論,建立雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下金融市場數(shù)學(xué)模型,運(yùn)用保險精算方法,得到了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下重置期權(quán)定價公式.

    雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動;保險精算;重置期權(quán)

    重置期權(quán)是現(xiàn)代金融市場中廣泛應(yīng)用的一種新型期權(quán)[1].當(dāng)股票價格達(dá)到某一約定水平時,按照此合約規(guī)定將重新設(shè)定交割價格,以便使持有者擁有更多的獲利機(jī)會,深受投資者的喜愛重視.文獻(xiàn)[2]首次利用偏微分方程方法給出了幾何布朗運(yùn)動下重置期權(quán)價格的數(shù)值解.通過對金融市場大量的實(shí)證分析發(fā)現(xiàn)股票價格對過去價格具有依賴性,而分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動具有自相似性、長期相依性等特征,并且是一個高斯過程,因此分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動能更好的刻畫股票價格變化.文獻(xiàn)[3]利用保險精算方法給出了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下重置期權(quán)定價公式.在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下關(guān)于重置期權(quán)定價的研究可參考文獻(xiàn)[3-4].近幾年,不少學(xué)者提出了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動,將其應(yīng)用到金融市場中并得到了一些研究成果.文獻(xiàn)[5]首次提出了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動.雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動是更一般的高斯過程,它不僅無獨(dú)立增量性,而且也不具有平穩(wěn)增量性,它是分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的一種推廣,可以描述比分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動更一般的金融現(xiàn)象.文獻(xiàn)[6]利用偏微分方程方法得到了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下股本權(quán)證的定價.文獻(xiàn)[7-8]利用雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動隨機(jī)分析理論研究了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的二次變差及雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下的風(fēng)險信用模型.目前,關(guān)于重置期權(quán)定價的方法有多種,如鞅方法、偏微分方程方法、Monte Carlo模擬方法、保險精算方法等.其中,保險精算方法適用范圍較廣,保險精算方法[9]是由Mogens Bladt與Tina Hvid Rydberg于1998年首次提出的,關(guān)于保險精算方法的應(yīng)用可參考文獻(xiàn)[9-12],保險精算方法突出的優(yōu)點(diǎn)是它對金融市場沒有做任何要求,計算潛在損失時僅用了風(fēng)險資產(chǎn)按期望收益率折現(xiàn),無風(fēng)險資產(chǎn)按無風(fēng)險收益率折現(xiàn)的思想,其結(jié)果對無套利、均衡、完備市場和有套利、非均衡、不完備市場均有效.本文在股票價格滿足雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動驅(qū)動的隨機(jī)微分方程的前提下,利用保險精算方法推導(dǎo)出雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下重置期權(quán)的定價公式.

    1 雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下金融市場模型

    定義1[5]{BH,Kt,t≥0},0<H<1,0<K≤1,稱為雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動是指為中心高斯過程,且滿足:

    當(dāng)K=1時,{BH,Kt,t≥0}為參數(shù)為H的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動;特別地,當(dāng)時,為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動.關(guān)于雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動相關(guān)性質(zhì)和隨機(jī)分析基本理論可見文獻(xiàn)[5].

    假設(shè)股票價格{St,t≥0}滿足方程

    引理1[6]隨機(jī)微分方程(1)的解為

    定義2[3]價格過程{St,t≥0}在[t,T]的期望收益率βu,u∈[t,T]定義為

    引理2在概率空間P下,{St,t≥0}在[0,T]上的期望收益率為,βu=μ,u∈[0,T].

    證明由引理1可知

    2 重置期權(quán)定價公式

    定義3[3]假定期權(quán)的敲定價格為Y,到期日為T,用C(t,T,Y)(P(t,t,Y))表示歐式看漲(看跌)期權(quán)在時刻的價格,對于規(guī)定時間的重置看漲期權(quán),設(shè)重置時間為T1,(0<T1≤T),則重置執(zhí)行價格,ST1為T1時刻股票價格,CRS(t, T1,T)表示重置歐式看漲期權(quán)在時刻t的價格.

    定理1雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下,到期日為T,執(zhí)行價格為X的歐式看漲期權(quán)在時刻t的保險精算定價為

    C(t,T,X)=S(t)Φ(d1)-X exp{-r(T-t)}Φ(d2),其中

    Φ(x)為一元正態(tài)分布函數(shù),X為標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)的執(zhí)行價格.

    證明因?yàn)?/p>

    綜上,定理得證.

    定理2重置時間為T1的重置歐式看漲期權(quán)在時刻的保險精算定價為:

    1)在任意時刻T1≤t≤T,CRS(t,T1,T)=C(t,T,Y)I{ST1≥Y}+C(t,T,ST1)I{ST1<Y};

    2)在任意時刻0≤t≤T1,

    其中ρ1為與的相關(guān)系數(shù),ρ2為與的相關(guān)系數(shù),N(x,y,ρ)dmdn為二元正態(tài)分布函數(shù).

    證明1)當(dāng)T1≤t≤T時,由歐式期權(quán)的定價公式易得結(jié)論.

    2)當(dāng)0≤t≤T1時,記

    計算I1.

    因?yàn)锳∩C=

    計算I2.

    計算I3.因?yàn)锽∩D=,則

    計算I4.

    合并上述I1,I2,I3,I4的計算式即證定理1.

    注1)當(dāng)K=1時,可得分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下重置期權(quán)定價公式(見文獻(xiàn)[3]);

    2)當(dāng)T1=T時,可得雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)的保險精算定價公式(見定理1結(jié)論).

    [1]JOHNH.Options,futuresandderivativesecurities[M].TranslatedbyZhangTaowei,Beijing:HuaxiaPublishingHouse,1997:450-463.

    [2]朱盛,班濤,何華飛.規(guī)定水平重置期權(quán)的有限差分解[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2013,9(1):350-358.

    [3]張學(xué)蓮,薛紅.分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下重置期權(quán)定價模型[J].西安工程大學(xué)學(xué)報.2009,23(4):141-145.

    [4]桑利恒.分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動下的2類重置期權(quán)定價研究[J].長江大學(xué)學(xué)報,2015,12(10):10-16.

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    [12]薛紅,衡曉.隨機(jī)負(fù)債下脆弱期權(quán)定價[J].哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2016,32(1):103-106.

    Reset option pricingmodels in Bifractional environment

    DONG Ying-ying,XUE Hong
    (School of Science,Xi’an Polytechnic University,Xi’an 710048,China)

    Assume that the option price satisfies stochastic differential equation driven by bi -fractional Brownian motion.Also,the expected rate and risk-less rate and the volatility were constants.The financialmarketmathematicalmodelwas builtby the stochastic analysis for bi-fractional Brownian motion.Using the actuarial approach,the pricing formula of reset option in bi-fractional Brownian motion environmentwas obtained.

    bi-fractional Brownian motion;actuarialmathematics;reset option

    O211

    A

    1672-0946(2016)02-0242-04

    2015-11-04.

    陜西省教育廳專項(xiàng)科研基金項(xiàng)目(14JK1299);西安工程大學(xué)研究生創(chuàng)新基金(CX201613)

    董瑩瑩(1992-),女,碩士,研究方向:金融數(shù)學(xué).

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