正規(guī)拓?fù)淇臻g中動(dòng)力系統(tǒng)的一些性質(zhì)

羅志敏，劉永建

(1.羅定職業(yè)技術(shù)學(xué)院教育系,廣東羅定　527200；2.玉林師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣西玉林　537000)

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正規(guī)拓?fù)淇臻g中動(dòng)力系統(tǒng)的一些性質(zhì)

羅志敏1，劉永建2

(1.羅定職業(yè)技術(shù)學(xué)院教育系,廣東羅定527200；2.玉林師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣西玉林537000)

基于拓?fù)淇臻g濾子及濾子基的性質(zhì)，在正規(guī)拓?fù)淇臻g上相對(duì)緊集合中，給出了點(diǎn)與集合的軌線集合、極限集合、延伸集合與延伸極限集合的一些基本性質(zhì)與關(guān)系,并討論了集合的延伸集與其穩(wěn)定性的關(guān)系.

動(dòng)力系統(tǒng);正規(guī)拓?fù)淇臻g;濾子基;穩(wěn)定性;閉包不變集合

動(dòng)力系統(tǒng)理論的主要內(nèi)容之一是研究點(diǎn)集的性質(zhì)與關(guān)系，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了深入研究，得到了許多優(yōu)秀的結(jié)果[1-11].他們所考慮的動(dòng)力系統(tǒng)一般定義在緊致的度量空間或局部緊致的度量空間中.本文在已有工作的基礎(chǔ)上，繼續(xù)討論動(dòng)力系統(tǒng)中一些重要集合，如軌線集、極限集、延伸極限集、軌線閉包和延伸集等的性質(zhì)及其關(guān)系，研究點(diǎn)的延伸集合和集合延伸集合的關(guān)系，并在不變集合基礎(chǔ)上給出了閉包不變集合的定義，進(jìn)一步分析集合的延伸集合與其穩(wěn)定性的關(guān)系.

本文的結(jié)論是動(dòng)力系統(tǒng)理論中的一些基本事實(shí)，但所考慮的空間為更抽象的正規(guī)拓?fù)淇臻g.眾所周知，如果拓?fù)淇臻g可度量化則必然是正規(guī)的，但是正規(guī)條件并不能保證空間可度量化，所以本文不再使用空間中點(diǎn)與集合的“度量”性質(zhì)，這使得我們的研究方法與上述文獻(xiàn)使用的方法存在顯著差別，我們的結(jié)果也更具廣泛性.另外，本文運(yùn)用的主要工具是拓?fù)淇臻g中的濾子及濾子基性質(zhì)，這一點(diǎn)也有別于上述文獻(xiàn)，也是本文特色之處.

1　預(yù)備知識(shí)及引理

(1)π(x,0)=x,?x∈X;

(2)π(π(x,s),t)=π(x,s+t),?x∈X,s,t∈R.

對(duì)?M?X，記

定義4M為A的非空子集，若M=C(M),則稱M是不變集合；若M=K(M),則稱M是閉包不變集合.

注2定義3與定義5可參見(jiàn)文獻(xiàn)[5].

2　主要結(jié)果

性質(zhì)1設(shè)X是正規(guī)拓?fù)淇臻g，對(duì)?x∈X，若D(x)=K(x)，則

(1)若L+(x)非空，則J+(x)=L+(x);

(2)若J+(x)非空，則J+(x)=J-(x)=K(x).

證明(1) 對(duì)?x∈X,L+(x)非空，則存在y∈L+(x),使得y∈J+(x),x∈J-(y)?D(y)=K(y)?L+(x)，因此J+(x)?D(x)=K(x)?L+(x)，于是J+(x)=L+(x).

(2)對(duì)?x∈X,J+(x)非空，所以存在y∈J+(x)，使得x∈J-(y)?D(y)=K(y)?J+(x)，于是有K(x)?J+(x)；同時(shí)J+(x)?D(x)=K(x)，故有J+(x)=K(x).另一方面，由x∈J+(x)有x∈J-(x)，因此，K(x)?J-(x)?D(x)=K(x)，故有J-(x)=K(x)，所以J+(x)=J-(x)=K(x).】

證明(1) 由D+(M)的定義以及濾子基的性質(zhì)直接可得.

證明一方面，對(duì)?x∈M，有D+(M)?D+(x)成立，故D+(M)?∪x∈MD+(x).

另一方面，任取Q∈D+(M),設(shè)集族{Vi}和{Ui}(i∈I,I為指標(biāo)集)分別為集合M和點(diǎn)Q的鄰域系，現(xiàn)構(gòu)造序?qū)?Vi,Ui),對(duì)此序?qū)Χx

綜上，有D+(M)?UP∈MD+(P)成立.】

例1考慮R2中由微分方程定義的動(dòng)力系統(tǒng)：

此方程的奇點(diǎn)為

由此可得

這里Ψ(M)={V:V是M的領(lǐng)域}.由于F2?D+(M),且有

于是D+(M)∩(U1∪U2)′≠?,從而有D+(M)∩(F1∪F2)′≠?,而這與D+(M)=F1∪F2矛盾，故定理2成立.】

證明由定理2直接可得.

證明取點(diǎn)Q的任意鄰域U和點(diǎn)P的任意鄰域V，因?yàn)镼∈D+(P)，所以C+(V)∩U≠?,故存在一點(diǎn)P′∈V和一非負(fù)實(shí)數(shù)t0，使得P′(t0)∈U；如果令Q′=P′(t0)∈U，則P′=Q′(-t0)∈V,因而C-(U)∩V≠?,即有P∈D-(Q).】

下面給出正規(guī)拓?fù)淇臻g中集合的延伸集與其穩(wěn)定性的關(guān)系.

充分性.反設(shè)M為正向不穩(wěn)定的，則由定義5可知，存在M的開(kāi)鄰域U，使得對(duì)于M的任意鄰域V，有U′∩C+(V)≠?.定義

Ψ′={U′∩C+(V):V∈Ψ(M)},

這里Ψ(M)是M的鄰域?yàn)V子，且易驗(yàn)證Ψ′是U′中的濾子基.但由假設(shè)知U′為閉集且是緊的，因此存在一點(diǎn)

且P∈D+(M),故有U′∩D+(M)≠?,從而也有M′∩D+(M)≠?,這與D+(M)=M 矛盾，因此M為正向穩(wěn)定的.】

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[2]AUSLANDER J.On stability of closed sets in dynamical systems[C]//SeminaronDifferentialEquationsandDynamicalSystemsⅡ.Lecture Notes in Math 144,Berlin:springer 1970:1.

[3]SIBIRSKY K S.IntroductiontoTopologicalDynamics[M].Groningen,Netherlands:Noordhoff International Publishing,1975.

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[11]張?jiān)?朱培勇.度量空間中的鏈回歸點(diǎn)與ω-極限點(diǎn)[J].西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007,33(3)：469.

[12]兒玉之宏.拓?fù)淇臻g論[M].方嘉琳，譯.北京:科學(xué)出版社,2001.

(責(zé)任編輯馬宇鴻)

Some properties of the dynamical systemsonregulartopologicalspace

LUO Zhi-min1,LIU Yong-jian2

(1.Department of Education,Luoding Polytechnic,Luoding 527200,Guangdong,China;2.SchoolofMathematicsandInformationScience,YulinNormalUniversity,Yulin537000,Guangxi,China)

Usingthefilterandfilterbase,therelationandpropertiesfortheorbitset,thelimitset,theprolongationsetandtheprolongationlimitsetofdynamicalsystemsareinvestigatedintherelativelycompactsetontheregulartopologicalspace,andtherelationofprolongationsetandstabilityofthesetisobtainedbythedefinitionofclosureinvariantset.

dynamicalsystem;regulartopologicalspace;filterbase;stability;closureinvariantset

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.04.002

2015-06-06;修改稿收到日期:2015-09-17

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11161051)

羅志敏(1979—)，男，湖南桃源人，副教授，碩士.主要研究方向?yàn)槲⒎址匠膛c動(dòng)力系統(tǒng).

E-mail:zmluo@126.com

O188.11

A

1001-988Ⅹ(2016)04-0005-04