4種水驅(qū)特征曲線與Arps遞減曲線的關(guān)系

姚　建

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4種水驅(qū)特征曲線與Arps遞減曲線的關(guān)系

姚建

（中國(guó)石油大慶油田有限責(zé)任公司勘探開發(fā)研究院，黑龍江大慶163712）

水驅(qū)特征曲線和Arps遞減曲線作為動(dòng)態(tài)評(píng)價(jià)方法，在已開發(fā)油田評(píng)價(jià)可采儲(chǔ)量和預(yù)測(cè)開發(fā)指標(biāo)中發(fā)揮了重要的作用。由于兩種方法的理論基礎(chǔ)不同，導(dǎo)致它們無(wú)法直接建立聯(lián)系。從Arps遞減理論公式出發(fā)，通過(guò)推導(dǎo)產(chǎn)油量—時(shí)間的表達(dá)式認(rèn)識(shí)到：如果某種水驅(qū)特征曲線的表達(dá)式能夠通過(guò)變形得到關(guān)于瞬時(shí)遞減率與產(chǎn)油量的表達(dá)式，那么這種水驅(qū)特征曲線和Arps遞減曲線存在著聯(lián)系。選擇了常用的4種水驅(qū)特征曲線，假設(shè)油藏產(chǎn)液量不隨時(shí)間變化，通過(guò)兩次對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得到了這4種水驅(qū)特征曲線的關(guān)于瞬時(shí)遞減率與產(chǎn)油量的表達(dá)式。乙型水驅(qū)特征曲線和調(diào)和遞減的遞減趨勢(shì)一致，丙型水驅(qū)特征曲線和n=0.5雙曲遞減的遞減趨勢(shì)一致，甲型水驅(qū)特征曲線、丁型水驅(qū)特征曲線只有在油藏含水較高時(shí)才能與Arps遞減曲線有相似的遞減趨勢(shì)。根據(jù)這4種水驅(qū)特征曲線的瞬時(shí)遞減率與產(chǎn)油量的表達(dá)式，建立了相關(guān)開發(fā)指標(biāo)的預(yù)測(cè)方法，經(jīng)過(guò)實(shí)例驗(yàn)證，達(dá)到了較高的預(yù)測(cè)精度。

水驅(qū)特征曲線；遞減曲線；遞減規(guī)律；可采儲(chǔ)量；開發(fā)指標(biāo)

水驅(qū)油藏進(jìn)入中高含水期，動(dòng)態(tài)法是預(yù)測(cè)開發(fā)指標(biāo)和評(píng)價(jià)可采儲(chǔ)量的主要方法，水驅(qū)特征曲線和遞減曲線是動(dòng)態(tài)法中2種重要方法。水驅(qū)特征曲線反映了油水兩相的變化規(guī)律，宏觀地反映了油田的水驅(qū)特征［1］。J.J.Arps在1945年提出產(chǎn)量遞減理論［2］，Arps遞減曲線成為油藏產(chǎn)量遞減階段儲(chǔ)量評(píng)價(jià)和產(chǎn)量預(yù)測(cè)的重要方法，在國(guó)內(nèi)外得到廣泛的應(yīng)用。Arps遞減曲線在水驅(qū)油藏中應(yīng)用，需要做全面的分析判斷［3-5］，遞減參數(shù)一般來(lái)自歷史數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果［6-7］。文獻(xiàn)［1］利用泰勒級(jí)數(shù)展開式推導(dǎo)出Arps遞減曲線中遞減指數(shù)n分別為0，0.5和1所對(duì)應(yīng)的水驅(qū)特征曲線的表達(dá)式，首次建立了水驅(qū)特征曲線與遞減曲線的聯(lián)系。文獻(xiàn)［8］從滲流力學(xué)角度出發(fā)，通過(guò)相滲曲線，建立了不同條件下Arps，Logistic產(chǎn)量遞減方程與不同水驅(qū)特征曲線之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。本文通過(guò)對(duì)Arps遞減方程的推導(dǎo)分析，提出一種通過(guò)遞減率—產(chǎn)油量關(guān)系曲線的分析方法，研究水驅(qū)特征曲線的遞減變化規(guī)律，為今后進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和應(yīng)用水驅(qū)特征曲線提供參考。

1　 Arps遞減的推導(dǎo)與分析

1.1遞減率的表達(dá)式

根據(jù)J.J.Arps的遞減理論［2］，文獻(xiàn)［9］定義瞬時(shí)遞減率為

1.2 Arps遞減方程的推導(dǎo)

Arps遞減曲線，一般有3種類型：指數(shù)遞減、雙曲遞減和調(diào)和遞減［10-12］。

對(duì)（1）式簡(jiǎn)單變形（當(dāng)n≠0時(shí)）：

解微分方程得

將初始條件（t=0時(shí)）qoi=（nC）-1/n，Di=kqnoi代入（3）式，得

即：當(dāng)0＜n＜1時(shí)為雙曲遞減，當(dāng)n=1時(shí)為調(diào)和遞減。

同理，當(dāng)n=0時(shí)，可推得n=0時(shí)為指數(shù)遞減。

從對(duì)Arps遞減方程的推導(dǎo)可以看出：如果水驅(qū)特征曲線能夠推導(dǎo)出遞減率—產(chǎn)油量的表達(dá)式，那么就能得到水驅(qū)特征曲線與Arps遞減曲線的關(guān)系，并且能用來(lái)進(jìn)行開發(fā)指標(biāo)預(yù)測(cè)。

2　常用水驅(qū)特征曲線的遞減率—產(chǎn)油量關(guān)系的推導(dǎo)

水驅(qū)特征曲線的種類繁多，本文選擇了行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)中使用較多的4種進(jìn)行研究［13］。

文獻(xiàn)［14］從甲型水驅(qū)特征曲線出發(fā)，提出了甲型水驅(qū)油藏的產(chǎn)油量、遞減率、含油率的預(yù)測(cè)模型，給出了Arps遞減曲線與油田生產(chǎn)歷史能夠吻合的范圍和預(yù)測(cè)區(qū)間的大小，以及Arps遞減曲線與甲型水驅(qū)特征曲線的相關(guān)性，針對(duì)產(chǎn)液量基本穩(wěn)定的生產(chǎn)過(guò)程，給出了產(chǎn)油量的預(yù)測(cè)模型。本文中水驅(qū)特征曲線的有關(guān)推導(dǎo)都是在定液的假設(shè)條件下，即產(chǎn)液量ql不隨時(shí)間的變化而變化，如果不能保證這個(gè)條件，本文中的結(jié)論是不成立的。

首先通過(guò)水驅(qū)特征曲線的表達(dá)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，推導(dǎo)出遞減率—產(chǎn)油量表達(dá)式，然后和（1）式對(duì)比，得出每一種水驅(qū)特征曲線與Arps遞減曲線的關(guān)系。

2.1水驅(qū)特征曲線遞減率—產(chǎn)油量關(guān)系式的推導(dǎo)

（1）甲型水驅(qū)特征曲線（馬克西莫夫—童憲章水驅(qū)特征曲線）

將（6）式兩端對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)并整理，得

再次對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，并用ql-qo代替式中的qw，得

整理得：

（2）乙型水驅(qū)特征曲線（沙卓諾夫水驅(qū)特征曲線）

將（10）式兩端對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)2次并整理，得

（3）丙型水驅(qū)特征曲線（西帕切夫水驅(qū)特征曲線）

將（12）式兩端對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)2次并整理，得

由于對(duì)于丙型水驅(qū)特征曲線a＞0，b＞0，qo＞0，ql＞0，故等式右端應(yīng)為正數(shù)，等式左端應(yīng)取負(fù)號(hào)，即：

（4）丁型水驅(qū)特征曲線（納札洛夫水驅(qū)特征曲線）

將（15）式兩端對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)2次并整理，得

由于對(duì)于丁型水驅(qū)特征曲線a＞0，b＞0，qo＞0，ql＞0，故等式右端應(yīng)為正數(shù)，等式左端應(yīng)取負(fù)號(hào)，即：

2.2水驅(qū)特征曲線遞減率—產(chǎn)油量曲線示意圖

為了便于比較，根據(jù)4種水驅(qū)特征曲線遞減率與產(chǎn)油量的關(guān)系式，繪制了特定條件下遞減率與產(chǎn)油量曲線示意圖，來(lái)表示定液條件下不同水驅(qū)特征曲線的遞減率隨產(chǎn)油量的變化趨勢(shì)（圖1）。

圖1　水驅(qū)特征曲線遞減率—產(chǎn)油量關(guān)系示意圖版

從圖1可以得出以下幾點(diǎn)。①乙型水驅(qū)特征曲線的遞減規(guī)律等同于n=1時(shí)的調(diào)和遞減曲線，丙型水驅(qū)特征曲線的遞減規(guī)律等同于n=0.5時(shí)的雙曲遞減曲線。②根據(jù)文獻(xiàn)［15］中水驅(qū)特征曲線不適用于油田低含水開發(fā)階段和特高含水開發(fā)階段。從圖1中可以知道：在中高含水期，除了丁型水驅(qū)特征曲線在含水率75%以后遞減率才隨著含水率上升而開始下降，其余3種水驅(qū)特征曲線的遞減率都是隨含水率上升而下降的。能否表明丁型水驅(qū)特征曲線要求含水率超過(guò)75%的條件，需要進(jìn)一步論證。③如果區(qū)塊含水率較高，應(yīng)用甲型或者丁型水驅(qū)特征曲線預(yù)測(cè)開發(fā)指標(biāo)，其遞減規(guī)律可以大致等同于雙曲遞減或者調(diào)和遞減。

3　水驅(qū)特征曲線的遞減率—產(chǎn)油量關(guān)系式的應(yīng)用

水驅(qū)特征曲線的遞減率—產(chǎn)油量關(guān)系式可以用來(lái)計(jì)算預(yù)測(cè)階段的初始遞減率、遞減類型等信息，進(jìn)而可以對(duì)比其他方法所確定的初始遞減參數(shù)，為選擇預(yù)測(cè)方法提供參考。

水驅(qū)特征曲線可以方便地求出可采儲(chǔ)量，但無(wú)法像遞減曲線那樣直接預(yù)測(cè)今后每一年的產(chǎn)油量。本文以水驅(qū)特征曲線的遞減率—產(chǎn)油量關(guān)系式為基礎(chǔ)，建立了一種水驅(qū)特征曲線產(chǎn)油量指標(biāo)預(yù)測(cè)方法，預(yù)測(cè)今后每一年的產(chǎn)油量，并且實(shí)現(xiàn)精度控制。此方法的具體流程如下（圖2）。

圖2　水驅(qū)特征曲線預(yù)測(cè)產(chǎn)油量序列流程

（1）選擇一種水驅(qū)特征曲線，根據(jù)樣本點(diǎn)擬合出對(duì)應(yīng)水驅(qū)特征曲線的截距a及斜率b.

（2）根據(jù)實(shí)際情況，微調(diào)擬合參數(shù)截距a和斜率b（這一步也可以省略）。但在本文中為了使預(yù)測(cè)線能經(jīng)過(guò)歷史數(shù)據(jù)的末點(diǎn)，采用斜率b不變，調(diào)整截距a的方法。

（3）初始產(chǎn)量的確定。①初始產(chǎn)液量。初始產(chǎn)液量的確定要分析歷史數(shù)據(jù)走勢(shì)，如果歷史數(shù)據(jù)末點(diǎn)不是異常點(diǎn)，通常以這一點(diǎn)的產(chǎn)液量為準(zhǔn)。本文中假定產(chǎn)液量不隨時(shí)間變化，產(chǎn)液量因此是常量。②初始產(chǎn)油量。在水驅(qū)特征曲線遞減率—產(chǎn)油量公式中，由于產(chǎn)油量是瞬時(shí)值，不能馬上就能取得。因此，首先分析歷史數(shù)據(jù)走勢(shì)，如果歷史數(shù)據(jù)末點(diǎn)不是異常點(diǎn)，取末點(diǎn)的產(chǎn)油量。

（4）設(shè)定時(shí)間步長(zhǎng)Δt，可以是1.0 a，0.1 a，……，理論上時(shí)間步長(zhǎng)越短，越接近真值。先用水驅(qū)特征曲線遞減率—產(chǎn)油量關(guān)系式求出預(yù)測(cè)時(shí)間初始的瞬時(shí)遞減率，再依次求出Δt，2Δt，……，直到截止條件（含水率達(dá)到98%）時(shí)間的瞬時(shí)產(chǎn)油量、瞬時(shí)遞減率，并據(jù)此計(jì)算每年的年產(chǎn)油量。最后，根據(jù)歷年的產(chǎn)油量求得剩余可采儲(chǔ)量和可采儲(chǔ)量。

（5）當(dāng)區(qū)塊含水率較高時(shí)，可以根據(jù)第4步所計(jì)算的可采儲(chǔ)量、初始瞬時(shí)產(chǎn)油量和瞬時(shí)遞減率，推算出一個(gè)遞減指數(shù)n.把第4步中的指數(shù)遞減公式改成雙曲遞減或調(diào)和遞減，這樣做能夠使時(shí)間步較大的情況下也能保障較高的精度。如果不采用這一步，減小時(shí)間步長(zhǎng)同樣能達(dá)到較高的精度。

（6）根據(jù)第4步的產(chǎn)油量序列，繪制預(yù)測(cè)階段的水驅(qū)特征曲線，并計(jì)算截距a1、斜率b1及相關(guān)系數(shù)R2.適當(dāng)調(diào)整第4步中的初始瞬時(shí)產(chǎn)油量，使得預(yù)測(cè)階段水驅(qū)特征曲線的相關(guān)系數(shù)R2最大。這時(shí)，第4步中計(jì)算的歷年產(chǎn)量作為歷年預(yù)測(cè)產(chǎn)油量輸出保存。

4　應(yīng)用實(shí)例

選擇了大慶喇嘛甸油田中塊一次加密井網(wǎng)水驅(qū)生產(chǎn)數(shù)據(jù)作為實(shí)例，選擇2007—2015年的歷史數(shù)據(jù)作為樣本點(diǎn)（表1）。

表1　大慶喇嘛甸油田中塊水驅(qū)生產(chǎn)數(shù)據(jù)

首先按照4種水驅(qū)特征曲線公式回歸，得到回歸參數(shù)a，b.為了使預(yù)測(cè)線通過(guò)歷史數(shù)據(jù)的末點(diǎn)，調(diào)整截距為a'，b保持不變，同時(shí)計(jì)算了預(yù)測(cè)線所對(duì)應(yīng)的可采儲(chǔ)量及剩余可采儲(chǔ)量（表2）。

初始產(chǎn)油量和產(chǎn)液量參考2015年的歷史數(shù)據(jù)，初始產(chǎn)油量取4.45×104t/a，產(chǎn)液量取104.56×104t/a，截止條件（含水率達(dá)到98%時(shí)）為年產(chǎn)油量達(dá)到2.091 2×104t/a時(shí)；由于篇幅限制，這里直接給出調(diào)整到最佳的初始瞬時(shí)產(chǎn)油量和初始瞬時(shí)遞減率。由于區(qū)塊目前含水率超過(guò)95%，處于特高含水階段，故按照第5步的方法推算出一個(gè)遞減指數(shù)n，這樣能使時(shí)間步長(zhǎng)較大的情況下，也能得到較高的預(yù)測(cè)精度（讀者可以試著使用指數(shù)遞減，取較小的時(shí)間步長(zhǎng)進(jìn)行預(yù)測(cè)，也可以得到較高的預(yù)測(cè)精度）。由于乙型、丙型水驅(qū)特征曲線的遞減規(guī)律分別與調(diào)和型、雙曲型（n=0.5）Arps遞減相同，故可以直接采用相應(yīng)的遞減指數(shù)，甲型和丁型水驅(qū)特征曲線遞減指數(shù)的取值原則是：以表2中參數(shù)按照Arps遞減公式計(jì)算出來(lái)的可采儲(chǔ)量（或剩余可采儲(chǔ)量）與表3中的相當(dāng)。

最后，按照表3中參數(shù)計(jì)算產(chǎn)油量序列，時(shí)間步長(zhǎng)取1 a，計(jì)算各種方法的歷年預(yù)測(cè)年產(chǎn)油量見表4.由于當(dāng)預(yù)測(cè)截止條件（含水率達(dá)到98%）達(dá)到的時(shí)候，最后一年不一定是整年的產(chǎn)油量，因此最后一年的產(chǎn)油量往往會(huì)有突變。

表2　回歸參數(shù)及調(diào)整參數(shù)

表3　不同水驅(qū)特征曲線指標(biāo)預(yù)測(cè)初始參數(shù)

按照表4中的歷年產(chǎn)油量計(jì)算的剩余可采儲(chǔ)量與表2中的剩余可采儲(chǔ)量對(duì)比：乙型和丙型水驅(qū)特征曲線誤差小于0.01 t，甲型和丁型水驅(qū)特征曲線誤差小于100 t（如果縮小步長(zhǎng)，誤差可進(jìn)一步減?。Ｈ绻梢愿鶕?jù)表4中參數(shù)繪制預(yù)測(cè)階段的水驅(qū)特征曲線，并計(jì)算截距a1、斜率b1及相關(guān)系數(shù)R2，截距a1、斜率b1與表2中a'和b接近程度極高，相關(guān)系數(shù)R2接近1.

表4　不同水驅(qū)特征曲線年產(chǎn)油量預(yù)測(cè)結(jié)果

由于乙型和丙型水驅(qū)特征曲線的遞減趨勢(shì)符合Arps遞減，因此在計(jì)算中不受時(shí)間步長(zhǎng)的影響；甲型和丁型水驅(qū)特征曲線的遞減趨勢(shì)在本文實(shí)例中近似于但不完全等于Arps遞減，因此預(yù)測(cè)精度受時(shí)間步長(zhǎng)影響。

從4種水驅(qū)特征曲線的實(shí)例計(jì)算結(jié)果看：雖然不同方法的擬合、預(yù)測(cè)精度都很高，但是對(duì)應(yīng)的初始遞減率和遞減類型不同，這導(dǎo)致不同方法所計(jì)算的剩余可采儲(chǔ)量不同（表5）。如果使用這些樣本點(diǎn)，采用指數(shù)遞減法進(jìn)行擬合，初始瞬時(shí)年遞減率為0.041 343，和丁型水驅(qū)特征曲線最接近。要從不同水驅(qū)特征曲線方法的預(yù)測(cè)結(jié)果中，選出一個(gè)相對(duì)合理的結(jié)果，需要結(jié)合各種方法的初始遞減率、遞減指數(shù)和預(yù)測(cè)時(shí)間長(zhǎng)度，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)綜合作出判斷。

表5　不同水驅(qū)特征曲線預(yù)測(cè)剩余可采儲(chǔ)量和開發(fā)時(shí)間長(zhǎng)度

5　結(jié)論

（1）遞減率—產(chǎn)油量曲線相同的動(dòng)態(tài)法預(yù)測(cè)模型，有著相同的產(chǎn)量遞減趨勢(shì)。

（2）推導(dǎo)了定液條件下水驅(qū)特征曲線遞減率與產(chǎn)油量的關(guān)系式：乙型水驅(qū)特征曲線和調(diào)和遞減的遞減趨勢(shì)一致，丙型水驅(qū)特征曲線和n=0.5雙曲遞減的遞減趨勢(shì)一致；甲型水驅(qū)特征曲線和丁型水驅(qū)特征曲線只有在油藏含水較高時(shí)才能與Arps遞減曲線有相似的遞減規(guī)律。

（3）實(shí)現(xiàn)了水驅(qū)特征曲線定液條件下逐年（月）產(chǎn)量預(yù)測(cè)，達(dá)到較高的精度。由于不同水驅(qū)特征曲線的初始遞減率差別很大，可以根據(jù)這一指標(biāo)作為預(yù)測(cè)選值的參考。

（4）不同類型水驅(qū)特征曲線，即使在中高含水期，預(yù)測(cè)結(jié)果也差別很大。判斷水驅(qū)特征曲線結(jié)果是否合理，可以按照本文提供方法，先計(jì)算出初始遞減率和到達(dá)極限含水率所用的時(shí)間，再根據(jù)油田開發(fā)實(shí)際區(qū)塊來(lái)綜合判斷。

符號(hào)注釋

a，b——水驅(qū)特征曲線選定歷史數(shù)據(jù)擬合段的截距、斜率；

a1，b1——水驅(qū)特征曲線根據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果擬合的截距、斜率；

Di——初始（t=0）瞬時(shí)遞減率；

Dt——t時(shí)刻的瞬時(shí)遞減率；

k——常數(shù)；

LP——t時(shí)刻的累計(jì)產(chǎn)液量，104t；

NP——t時(shí)刻的累計(jì)產(chǎn)油量，104t；

n——遞減指數(shù)（0≤n≤1）；

ql——t時(shí)刻的產(chǎn)液量，104t/a；

qo——t時(shí)刻的產(chǎn)油量，104t/a；

qoa——極限產(chǎn)油量（含水率達(dá)到98%時(shí)），104t/a；

qoi——初始（t=0）產(chǎn)油量，104t/a；

qw——t時(shí)刻的產(chǎn)水量，104t/a；

t——時(shí)間；

WP——t時(shí)刻的累計(jì)產(chǎn)水量，104t.

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（編輯楊新玲）

Relationships among 4 Types of Water-Drive Characteristic Curves and Arps Decline Curve

YAO Jian
（Research Institute of Exploration and Development，Daqing Oilfield Company LTD，PetroChina，Daqing，Heilongjiang 163712，China）

Water-drive characteristic curves and decline curve as the methods of production performance evaluation play significant roles in recoverable reserves evaluation and development index prediction in developed oilfields.But direct relationship between the two methods cann't be established due to different theoretical bases of them.Oil production vs time expression is derived from Arps decline formula in this paper and it is considered that if an expression related to transient decline rate and oil production could be obtained from the deformation of a water-drive characteristic curve expression，there must be a kind of relationship between the water-drive type curve and Arps decline curve.4 commonly used water-drive characteristic curves are selected.Assume that liquid production doesn't change with time，take the derivative of time twice，expressions of the relationships among the 4 type curves in regard to transient decline rate and oil production are obtained.The decline trend of Type B water-drive type curve is in accordance with that of harmonic decline，the decline trend of Type C is matched with that of hyperbolic decline when n=0.5.Type A and D curves are similar to Arps decline curve only when the reservoir water cut is relatively high.Based on the expressions of transient decline rate and oil production of the 4 water-drive characteristic curves，a method is established for development index prediction，whose high accuracy has been proved by some cases.

water-drive characteristic curve；decline curve；decline law；recoverable reserve；development index

TE319

A

1001-3873（2016）04-0447-05

10.7657/XJPG20160411

2016-04-11

2016-05-20

姚建（1981-），男，黑龍江大慶人，工程師，油氣田開發(fā)，（Tel）0459-5508425（E-mail）yaoj12@petrochina.com.cn