安徽省碭山中學 (235300)
胡云浩
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對一道自主招生試題的探究
安徽省碭山中學(235300)
胡云浩
(2015年中國科學技術大學自主招生試題)
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間和最大值;
(Ⅱ)設0
本題主要考查函數(shù)的單調區(qū)間、極值、最值及函數(shù)兩零點的和與極值點之間的大小關系等知識,題干簡約,但內涵豐富、內蘊厚重,試題難度較大,很好地考查了學生分析問題、解決問題的能力.本文試圖揭示此類問題的背景,探尋解題思路,明晰解題方法,優(yōu)化解題過程,提高解題效率.
圖1
圖2
以上思路可概括為:已知函數(shù)f(x)是關于直線x=a的“類對稱”函數(shù),若f(x1)=f(x2),要比較x1+x2與2a的大小關系,只要比較x1與2a-x2的大小即可.∵ f(x1)=f(x2),x1≠x2,a是函數(shù)f(x)的唯一極值點,∴x1,x2必在直線x=a的兩側,即x1與2a-x2必在f(x)的同一單調區(qū)間內,∴只要比較f(x1)與f(2a-x2)的大小即可,又f(x1)=f(x2),故只需比較f(x2)與f(2a-x2)的大小即可.此思路簡潔、自然,易于操作,具有程序化.
(Ⅰ)求f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)證明:當f(x1)=f(x2)(x1≠x2) 時,x1+x2<0.
解析:(Ⅰ)f(x)在(-∞,0)上單調遞增,在(0,+∞)上單調遞減.
(Ⅱ)不妨設x1<0 ∴當x>0時,F′(x)<0,∴F(x)在(0,+∞)上單調遞減,∴F(x) 例2(2011年遼寧理科第21題)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(2-a)x. (Ⅰ)討論f(x)的單調性; (Ⅲ)若函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交于A,B兩點,線段AB中點的橫坐標為x0,證明f′(x0)<0. 例3(2015年安徽省江南十校聯(lián)考第20題)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(a為常數(shù)). (Ⅰ)若函數(shù)f(x)在x=1處的切線與x軸平行,求a的值; (Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個不同零點m,n,證明m·n>e2. 解析:(Ⅰ)略;