“對(duì)數(shù)函數(shù)”教學(xué)中必須厘清的幾個(gè)問題

廣東省東莞市教研室　(523000)

易文輝

?

“對(duì)數(shù)函數(shù)”教學(xué)中必須厘清的幾個(gè)問題

廣東省東莞市教研室(523000)

易文輝

“對(duì)數(shù)函數(shù)”是高中數(shù)學(xué)函數(shù)內(nèi)容的重點(diǎn)之一，是高中數(shù)學(xué)以“函數(shù)”與“運(yùn)算”為主線的直接體現(xiàn)，是解決實(shí)際問題的一個(gè)重要函數(shù)模型，有非常廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景；對(duì)數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)函數(shù)的相關(guān)問題也是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要紐帶，在歷年的高考試題中，以對(duì)數(shù)函數(shù)為命題背景，結(jié)合高數(shù)知識(shí)、初等數(shù)學(xué)的最新研究成果的探究性試題在全國(guó)各地高考試卷中累見不鮮.

“對(duì)數(shù)函數(shù)”的內(nèi)容在人教A版教材必修1第二章第2節(jié)，是高一學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，對(duì)于對(duì)數(shù)的概念、運(yùn)算及其圖像性質(zhì)即使到了高三，許多同學(xué)依然難于理解，其根源在高一學(xué)習(xí)時(shí)就遺留了許多問題，“對(duì)數(shù)函數(shù)”的學(xué)習(xí)是培養(yǎng)高一學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣及其思維能力的一個(gè)重要載體，其教學(xué)的質(zhì)量也是教師專業(yè)素養(yǎng)的直接體現(xiàn)，筆者認(rèn)為要提高“對(duì)數(shù)函數(shù)”的教學(xué)效果，必須要厘清幾個(gè)問題.

1　厘清“對(duì)數(shù)”的來源

1.1讓概念的引入更加合理和自然

數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該對(duì)本原性問題多一些思考，圍繞它來確立數(shù)學(xué)探究活動(dòng)[1]，這里的本原性問題是指符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)、科學(xué)的、能夠體現(xiàn)知識(shí)的來源即本質(zhì)的問題，主要有實(shí)際問題和數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題.而在教材中對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的概念引入中，背景問題與知識(shí)概念產(chǎn)生沒有“必要”聯(lián)系，有些牽強(qiáng)(許多人稱之為偽問題)，概念的給出也是比較“唐突”的，這里有許多內(nèi)容需要老師進(jìn)行二次開發(fā).

1.2讓數(shù)學(xué)名稱的來歷有根有據(jù)

孫維剛說:"科學(xué)上的任何規(guī)定都有為什么，數(shù)學(xué)尤其如此，世界上沒有沒有為什么的事."[2].然而實(shí)際教學(xué)中，很多學(xué)生問到數(shù)學(xué)名稱怎么來的時(shí)候，老師就用“這是規(guī)定，沒有為什么”來敷衍學(xué)生；其實(shí)，了解數(shù)學(xué)名稱的來歷，不僅有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，也有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.在“對(duì)數(shù)”的學(xué)習(xí)過程中，有必要讓學(xué)生了解相關(guān)名稱的來歷，以幫助學(xué)生理解知識(shí)的本質(zhì)，比如為什么叫“真數(shù)”、“對(duì)數(shù)”？據(jù)考究，“對(duì)數(shù)”和“真數(shù)”的名詞跟納皮爾沒有什么關(guān)系，對(duì)數(shù)于康熙年間傳入中國(guó)，那時(shí)候?qū)?shù)的作用主要是將乘除運(yùn)算化為加減運(yùn)算，在整個(gè)運(yùn)用對(duì)數(shù)進(jìn)行計(jì)算的過程中，只有真數(shù)部分才是我們“真正計(jì)算的數(shù)”所以叫真數(shù)，而對(duì)數(shù)值只是起到一個(gè)橋梁的作用，所以對(duì)數(shù)最初叫“假數(shù)”，后來有了“真數(shù)和假數(shù)對(duì)列成表，故稱對(duì)數(shù)表”，往后“對(duì)數(shù)”這個(gè)詞越加深入人心，后來干脆稱假數(shù)為對(duì)數(shù)[3].有些問題，也可以準(zhǔn)備一些數(shù)學(xué)史相關(guān)的資料留給學(xué)生課后閱讀，增加對(duì)知識(shí)來源的了解，以便更加準(zhǔn)確地把握內(nèi)容.

2　厘清研究問題的共性思維

很多時(shí)候，學(xué)生“會(huì)不會(huì)學(xué)”與老師“會(huì)不會(huì)教”是直接相關(guān)的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是機(jī)械的模仿和訓(xùn)練，重要的是要能夠基于理解的視角進(jìn)行學(xué)習(xí)，也就是我們常說的“悟”——悟法、悟道，這種“悟”也不是什么“玄學(xué)”，而是體現(xiàn)在學(xué)習(xí)過程中的每一個(gè)環(huán)節(jié)，就看教師有沒有“法眼”，能夠揭示研究數(shù)學(xué)問題的共性思維，教給學(xué)生不僅僅是知識(shí)，而是思維、方法，研究數(shù)學(xué)問題的一般思路，也就是一種悟道的方法.

2.1讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)中研究新對(duì)象的一般思路

數(shù)學(xué)是思維的學(xué)科，只有在教學(xué)中揭示研究數(shù)學(xué)對(duì)象的基本方法，并提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生進(jìn)行反思總結(jié)，才能真正培養(yǎng)學(xué)生理性思維能力.對(duì)數(shù)是學(xué)生進(jìn)入高中以來所遇到的第二個(gè)新對(duì)象(第一個(gè)是集合)，是一次讓學(xué)生體驗(yàn)研究數(shù)學(xué)對(duì)象基本思路的良好時(shí)機(jī)，因此有必要經(jīng)歷“背景(現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)內(nèi)部)——定義——表示——分類——性質(zhì)——運(yùn)算——聯(lián)系和應(yīng)用”的研究思路進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，并讓學(xué)生進(jìn)行總結(jié)、反思，也只有站在“研究問題”的角度，才能更加好理解教材、使用教材，明晰教材內(nèi)容編排的整體結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維能力.

2.2讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)中研究函數(shù)性質(zhì)的一般思路

3　加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透

又如，對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)教學(xué)中，由MN=am+n得到loga(M·N)=m+n，即loga(M·N)=logaM+logaN既可以看作是對(duì)數(shù)定義的應(yīng)用，也體現(xiàn)了“對(duì)數(shù)運(yùn)算”的本質(zhì)，將“乘法”化為“加法”，學(xué)習(xí)了函數(shù)之后，再?gòu)膶?duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的角度加以認(rèn)識(shí)，就是f(MN)=f(M)+f(N)，這樣揭示運(yùn)算的思想和函數(shù)思想去理解對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)學(xué)生理解知識(shí)本質(zhì)是非常有幫助的.

4　對(duì)教材編寫的建議

在目前人教A版的教材中對(duì)知識(shí)、例題的處理，基本上都是“問題+解答”的模式，缺乏對(duì)問題的分析、總結(jié)反思、提煉，或者是部分具有代表性的問題，缺少了解決問題關(guān)鍵步驟的分析，對(duì)解決問題的示范效果打折扣.

4.1增加問題的分析與反思

教材例題本來就具基礎(chǔ)性、典型性和示范性的特征，這種典型，除了問題的代表性之外，解決問題的方法應(yīng)該也具有典型示范的功能才是，所以對(duì)于部分例題，如果能夠增加一些分析性文字，解題后對(duì)解決問題的共性思維有總結(jié)提煉的話，對(duì)指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣會(huì)有很好的幫助.例如，在教材(人教A版必修1第72頁)“對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”中例8：“比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大小：(1)log23.4,log28.5……”，建議教材增加“分析：比較兩個(gè)數(shù)的大小除了將兩個(gè)值計(jì)算出來再比較以外，往往可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值的大小比較或者兩個(gè)函數(shù)圖像的位置關(guān)系，解決這類問題首先要將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的語言進(jìn)行描述，然后利用函數(shù)的圖像性質(zhì)去解決.”進(jìn)而解題過程可以這樣處理：log23.4,log28.5兩個(gè)對(duì)數(shù)值的底數(shù)相同，因此它們是函數(shù)f(x)=log2x自變量分別取x1=3.4,x2=8.5的兩個(gè)函數(shù)值，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=log2x在(0,+∞)上是增函數(shù)，故f(3.4)

4.2呈現(xiàn)解決問題的步驟

根據(jù)例題的示范性功能，例題既是如何運(yùn)用知識(shí)解題的典范也是思維訓(xùn)練的典范，既是常規(guī)數(shù)學(xué)思維方法的典范又是如何解題思維的典范，即示范性主要體現(xiàn)在知識(shí)運(yùn)用、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思維示范三個(gè)層面，因此建議教材要重視通過例題來揭示數(shù)學(xué)思維，呈現(xiàn)解題步驟來示范效果，對(duì)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，教材P66例5和例6處理中，就可以增加“用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題”的基本步驟：

這樣左邊以流程圖的方式說明解決問題的思路，右邊是具體問題的解決過程操作步驟，這樣既直

觀明了，揭示分析問題、解決問題的基本思路和方法，揭示本質(zhì)，又具有可操作性和思維示范作用.

[1]花奎.圍繞數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的本原性問題開展探究活動(dòng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣州)，2015,11.

[2]孫維剛.孫維剛談立志成才[M].北京：北京大學(xué)出版社，2006,8.

[3]郭龍先，劉秀.開辟大數(shù)計(jì)算新紀(jì)元——對(duì)數(shù)函數(shù)思想方法解析[J].昭通學(xué)院學(xué)報(bào)，2014,10.

[4]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，1997.

[5]陳永明工作室.數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)研究[M].上海：上海教育出版社，2010,5.