高中數(shù)學函數(shù)圖像變換之對稱性的探究

金來明

摘 要： 函數(shù)是高中數(shù)學的一個核心知識，也是整個高中數(shù)學的基礎.高中階段對函數(shù)性質的研究往往是通過研究函數(shù)圖像及其變換得到的，利用對稱性往往能更簡捷有效地使問題得到解決，對稱關系還充分體現(xiàn)了數(shù)學之美.本文主要通過函數(shù)自身的對稱性探討與函數(shù)對稱有關的性質.

關鍵詞： 函數(shù) 圖像變換 對稱性研究

1.函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）=f（b-x）（a，b∈R）？圳函數(shù)y=f（x）關于直線x=對稱.

證明：？圯設P（m，n）是函數(shù)y=f（x）圖像上的任意一點，則 f（m）=n

P（m，n）關于直線x=對稱點為Q（a+b-m，n）

用b-m代換f（a+x）=f（b-x）中的x得f（a+b-m）=f（[b-（b-m）]）=f（m）=n

即點Q（a+b-m，n）在函數(shù)y=f（x）圖像上.所以函數(shù)y=f（x）關于直線x=對稱.

？坩設P（m，n）是函數(shù)y=f（x）圖像上的任意一點，則f（m）=n①

因為函數(shù)y=f（x）關于直線x=對稱，

所以P（m，n）關于直線x=的對稱點Q（a+b-m，n）也在函數(shù)y=f（x）圖像上

所以f（a+b-m）=n②

由①、②式得f（a+b-m）=f（m）

設b-m=x，得m=b-x，所以f（a+x）=f（b-x）.

2.函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）=-f（b-x）（a，b∈R）？圳函數(shù)y=f（x）關于點（，0）對稱.

3.若函數(shù)y=f（x）圖像同時關于直線x=a和直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個周期.

4.若函數(shù)y=f（x）圖像同時關于點A（a，0）和點B（b，0）成中心對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個周期.

5.若函數(shù)y=f（x）圖像既關于點A（a，0）成中心對稱又關于直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個周期.

6.函數(shù)y=|f（x）|的圖像的作法：作出y=f（x）的圖像，將圖像位于x軸下方的部分以x軸為對稱軸翻折到x軸上方，上方的圖像不變.

7.函數(shù)y=f（|x|）的圖像的作法（該函數(shù)是偶函數(shù)）：作出y=f（x）的圖像，將圖像位于軸左邊的圖像擦掉，以y軸為對稱軸將y軸右邊的圖像翻折到y(tǒng)軸左邊，得到y(tǒng)=f（|x|）在y軸左邊的圖像，右邊的部分不變.

以上性質是對函數(shù)自身所具有的對稱性進行的闡述，函數(shù)的對稱性是數(shù)與形的完美結合，而數(shù)形結合思想是中學數(shù)學的一個重要思想.在教學過程中，教師不僅要應充分挖掘教材中所蘊含的知識，還要引導學生尋找美的東西，讓學生體會數(shù)學的美、感受數(shù)學的美，從而開闊學生視野，提升學生審美情趣，提高學生學習數(shù)學的興趣.