函數(shù)奇偶性在高考中的應(yīng)用

湯小燕+++歐化敏

摘 要： 本文通過對最近兩年全國各省的高考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行分析，得出了函數(shù)奇偶性是歷年高考的必考內(nèi)容之一，并給出了這類題型的解法和思路，揭示了函數(shù)奇偶性的重要性及其基礎(chǔ)性.

關(guān)鍵詞： 高考 函數(shù) 奇偶性 教學(xué)應(yīng)用

1.引言

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，由于具有一定的抽象性，比如：當(dāng)函數(shù)的定義域在一維直線上時(shí)，是熟悉的初等函數(shù)；當(dāng)函數(shù)的定義域在復(fù)數(shù)域上時(shí)，則是大學(xué)數(shù)學(xué)里的復(fù)變函數(shù).由此可見，高中教材里教學(xué)的函數(shù)概念會有一定的概括性，然而，通過空間直角坐標(biāo)系的引入，發(fā)現(xiàn)高中學(xué)習(xí)的函數(shù)在坐標(biāo)系上實(shí)際表示一條曲線.進(jìn)而討論函數(shù)性質(zhì)可以轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)圖像的特點(diǎn).奇偶性實(shí)際上是圖像關(guān)于原點(diǎn)或者是y軸的對稱性，所以在圖形上體現(xiàn)得尤為明顯，在研究函數(shù)中就有十分重要的地位.

奇函數(shù)和偶函數(shù)定義：設(shè)f（x）的定義域?yàn)镈，？坌x∈D，都有f（-x）=f（x），稱f（x）為偶函數(shù)；設(shè)f（x）設(shè)的定義域?yàn)镈，？坌x∈D，都有f（-x）=-f（x），稱f（x）為奇函數(shù)[1].

函數(shù)奇偶性的題型及分值情況從上表可以看出，函數(shù)奇偶性是近兩年來高考數(shù)學(xué)考查的?？键c(diǎn)，這類題目的考點(diǎn)主要考查奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義及其等價(jià)形式，還有函數(shù)奇偶性與函數(shù)其他性質(zhì)的綜合應(yīng)用，因此學(xué)生應(yīng)熟練掌握奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義及其等價(jià)形式，以及函數(shù)的其他性質(zhì).這樣，在解題過程中，就會舉一反三，給解題帶來簡便，在高考中才會有充足的時(shí)間解答其他題目.函數(shù)奇偶性的問題總體來講還是較簡單的，但是簡單的題目更容易丟分，因此考試時(shí)切不可粗心大意，下面將以近兩年的部分高考題目作為實(shí)例，談?wù)労瘮?shù)奇偶性在高考中常出現(xiàn)的幾種題型.

2.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

2.1直接用定義判斷函數(shù)的奇偶性

求解這類題目，可以先求出函數(shù)的定義域，接下來判斷所得出的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果滿足，再根據(jù)f（x）與f（-x）的關(guān)系來確定f（x）的奇偶性；反之，則無奇偶性可言[2].

解：選項(xiàng)A的定義域?yàn)閇0，+∞）；不滿足奇函數(shù)的條件，從而不是奇函數(shù)；同理，B、C選項(xiàng)均不滿足，故答案選D.

小結(jié)：當(dāng)函數(shù)為分段函數(shù)時(shí)，要判斷其奇偶性，先分段來看f（x）與f（-x）的關(guān)系，當(dāng)且僅當(dāng)，所有的區(qū)間都滿足同樣的關(guān)系，才可以真正判斷其函數(shù)的奇偶性，一般對于簡單的分段函數(shù)來說，盡可能地作出函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像分析問題，直觀明了.比如：2014年湖北—文科卷第9題.

2.2奇偶性在指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)中的應(yīng)用

高考對指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)知識點(diǎn)的單獨(dú)考查并不是很多，但最近幾年有加強(qiáng)之勢.

性質(zhì)：（1）指數(shù)函數(shù)y=a=（a>0且a≠1）圖像一定過點(diǎn)（0，1）；當(dāng)a>1時(shí)，f（x）在R上單調(diào)增；當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，f（x）在R上單調(diào)減.（2）對數(shù)函數(shù)y=logx（a>0且a≠1）圖像一定過點(diǎn)（1，0），當(dāng)a>1時(shí)，f（x）單調(diào)增；反之0

小結(jié)：以上兩道題主要考查函數(shù)奇偶性在指數(shù)型函數(shù)與對數(shù)型函數(shù)中的應(yīng)用，由f（x）與f（-x）的關(guān)系進(jìn)而求出參數(shù)，從而得出具體函數(shù)解析式，接下來的問題就迎刃而解了.

2.3奇偶性在冪函數(shù)中的應(yīng)用

冪函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，常以簡單題型出現(xiàn)在高考試題中，在求解時(shí)主要是利用圖像、性質(zhì)及定義判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù).

冪函數(shù)的奇偶性：設(shè)指數(shù)α=±（是最簡分?jǐn)?shù)），有以下幾種情形：

（1）當(dāng)m和n都是奇數(shù)，x∈（-∞，+∞）或者x∈（-∞，0）∪（0，+∞）時(shí)，y=x是奇函數(shù)；

（2）當(dāng)m是奇數(shù)，n是偶數(shù)，xx∈（-∞，+∞）或者x∈（-∞，0）∪（0，+∞）時(shí)，y=x是偶函數(shù)；

（3）當(dāng)m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，x∈（-∞，+∞）或者x∈（-∞，0）∪（0，+∞）時(shí)，y=x無奇偶性.

即答案選B.

小結(jié)：充分理解函數(shù)的奇偶性及其等價(jià)的形式是解決以上問題的關(guān)鍵.

2.4奇偶性在抽象函數(shù)中的應(yīng)用

抽象函數(shù)，即沒有給出具體的表達(dá)式的函數(shù)，此類題型通常都會給定某一個(gè)函數(shù)的定義域，進(jìn)而求與其相關(guān)聯(lián)的抽象函數(shù)的自變量的范圍[6].解答這類題的方法：觀察題目、把數(shù)學(xué)語言盡可能地轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像，以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合，進(jìn)而巧妙、快速地得出答案.

例6.（2014年新課標(biāo)Ⅱ）[7]已知偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減，f（2）=0，若f（x-1）>0，則x的是？搖 ？搖？搖.

解：因?yàn)榕己瘮?shù)f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減且f（2）=0，即f（-2）=0，不等式f（x-1）>0？圳f（x-1）>f（2）？圳f（|x-1|）>f（2）所以|x-1|<2，：-1

小結(jié)：解題的關(guān)鍵是去掉函數(shù)符號“f”前的符號與去掉函數(shù)符號“f”[8].

3.結(jié)語

高考對函數(shù)奇偶性的考查，除了對定義的考查之外，往往會結(jié)合函數(shù)的其他性質(zhì)綜合考查學(xué)生.關(guān)于解決函數(shù)奇偶性在高考中的應(yīng)用的這類題目，雖然本身題目并不是很難，但是對思維的縝密性要求比較高：首先要緊扣定義，從定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱和f（x）與f（-x）的關(guān)系兩方面來考慮；其次要充分利用函數(shù)奇偶性和函數(shù)圖像進(jìn)行分析轉(zhuǎn)化，比如說對于抽象函數(shù)來說，一定要盡量把文字轉(zhuǎn)化為圖像，這樣就會比較直觀且容易解答.

參考文獻(xiàn)：

[1]涂光明.中文期刊數(shù)據(jù)庫[J].奇、偶函數(shù)概念的拓廣.株洲師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2001，6（5）：9-10.

[2]王建立.中文期刊數(shù)據(jù)庫[J].函數(shù)定義域在解題中的重要作用，2009，（5）：86-88.

[3]曲一線.5年高考3年模擬B版[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2015.

[4]王玲.中學(xué)生數(shù)理化（高一版）[M].冪函數(shù)題型展示，2010（7）：32-33.

[5]崔北祥.2011-2015最新五年高考真題匯編.理科數(shù)學(xué).合肥：安徽教育出版社，2014.

[6]劉光東.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（高中版）[J].抽象函數(shù)試題研究，2014.

[7]趙淑艷.運(yùn)城學(xué)院學(xué)報(bào)[N].解決抽象函數(shù)問題常用的思想方法，2007，25（2）：104-105.

[8]武增明.數(shù)理化學(xué)習(xí)（高三）[M].求解抽象不等式問題的策略，2010.