基于MATLAB的L1-norm粗差探測方法研究

■王有偉 宋凱

（中國建筑材料工業(yè)地質(zhì)勘查中心遼寧總隊(duì)遼寧沈陽110004）

基于MATLAB的L1-norm粗差探測方法研究

■王有偉 宋凱

（中國建筑材料工業(yè)地質(zhì)勘查中心遼寧總隊(duì)遼寧沈陽110004）

為了更加準(zhǔn)確的探測及處理觀測值中的粗差，減少粗差對平差結(jié)果的影響，利用抗差估計(jì)中一次范數(shù)最小法對觀測值進(jìn)行平差處理。采用含有七條水準(zhǔn)路線組成的水準(zhǔn)網(wǎng)數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用MATLAB軟件，在有、無粗差條件下，分別評估經(jīng)典間接平差方法與一次范數(shù)最小法對數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，當(dāng)某一水準(zhǔn)路線中含有200mm的粗差時，利用經(jīng)典的間接平差法得到的高程與無粗差時得到的高程最大相差了約10cm，而采用一次范數(shù)最小法，經(jīng)過迭代計(jì)算，精度有了很大提高。結(jié)論：一次范數(shù)最小法采用權(quán)值迭代方法，能夠較好的進(jìn)行粗差探測及處理。

粗差探測 一次范數(shù)最小法 間接平差法 MATLAB

1　引言

粗差即觀測值離群較大的誤差，一般大于三倍中誤差。它不同于偶然誤差，其屬于極少數(shù)部分，在進(jìn)行參數(shù)估計(jì)前，應(yīng)該進(jìn)行粗差探測或者修正。眾所周知，觀測數(shù)據(jù)難免會存在粗差，如果在進(jìn)行最小二乘平差前不進(jìn)行排除，所得結(jié)果則不是最優(yōu)的。因此，對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行認(rèn)真檢測，定位并修正粗差觀測，以提高參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確度和精度，一直是測繪工程領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題[1]，許多學(xué)者對此進(jìn)行了研究，提出多種粗差探測的方法。馬琳等[2]對抗差估計(jì)及其迭代初值進(jìn)行了研究分析，并將其應(yīng)用于變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中；王奉偉等[3]基于選權(quán)迭代法的基本理論探究了三種方法求解殘差初值的適用范圍和抗差效果。

在經(jīng)典的最小二乘平差中，通常假定觀測值中僅含有偶然誤差，且觀測誤差服從于正態(tài)分布，即根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則，求出未知參數(shù)的最優(yōu)估值，并進(jìn)行精度分析。在該條件下，估計(jì)的參數(shù)是最優(yōu)線性無偏估計(jì)。但在實(shí)際平差問題中，觀測誤差還可能包含有比偶然誤差大得多的誤差，即粗差，其出現(xiàn)的概率在1%～10%，并且非服從正態(tài)分布。也就是說，觀測值中有時出現(xiàn)粗差是難以避免的，如果觀測值中包含了粗差，而平差時沒有考慮粗差的存在，仍按照最小二乘估計(jì)方法處理，就得不到最優(yōu)無偏估值，而得到的是被嚴(yán)重歪曲的參數(shù)估值[4]，影響觀測成果的質(zhì)量。本文從觀測數(shù)據(jù)的實(shí)際分布模式而非某種理想的分布模式的角度入手，重點(diǎn)闡述了抗差估計(jì)理論中的一次范數(shù)最小法，利用MATLAB軟件對一實(shí)際水準(zhǔn)網(wǎng)觀測數(shù)據(jù)分別進(jìn)行間接平差法和一次范數(shù)最小法平差，比較了基于理想的數(shù)據(jù)分布模式和實(shí)際數(shù)據(jù)分布模式兩種情況下的平差結(jié)果，數(shù)據(jù)處理結(jié)果表明一次范數(shù)最小法平差優(yōu)于間接平差，降低了觀測數(shù)據(jù)中粗差帶來的影響。一次范數(shù)最小法及抗差估計(jì)的選權(quán)迭代過程：

經(jīng)過若干次迭代，含有粗差的觀測值的權(quán)函數(shù)就接近于零或者等于零，在此情況下，其在平差成果中就沒有影響，粗差值被相應(yīng)的觀測值殘差反映出來[7][8]。

2　粗差探測實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及實(shí)驗(yàn)流程

實(shí)驗(yàn)采用的水準(zhǔn)網(wǎng)如圖1所示，已知水準(zhǔn)點(diǎn)A和B，HA=5. 000m，HB=6.000m，且其高程無誤差。為了確定三個待定點(diǎn)P1，P2，P3的高程，觀測了7條水準(zhǔn)路線，其觀測高差和相應(yīng)的水準(zhǔn)路線長度分別見表1、表2所示。

表1　水準(zhǔn)路線長度（單位km）

表2　觀測高差值(單位m)

3　一次范數(shù)最小法應(yīng)用實(shí)驗(yàn)

采用抗差估計(jì)的一次范數(shù)最小法對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行平差，仍然分為有粗差影響和無粗差影響兩部分進(jìn)行。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)觀測數(shù)據(jù)中沒有粗差時，抗差估計(jì)的一次范數(shù)最小解一共進(jìn)行了6次迭代，最終得到了一個穩(wěn)定結(jié)果；而當(dāng)數(shù)據(jù)中參有200mm的粗差時，抗差估計(jì)的一次范數(shù)最小法一共進(jìn)行了13次選權(quán)迭代最終穩(wěn)定于定值，兩種平差結(jié)果如表3所示。

表3　兩種平差結(jié)果比較（單位:m）

4　結(jié)論

（1）數(shù)據(jù)含有粗差時，若直接按最小二乘法原理進(jìn)行經(jīng)典的平差，則所估計(jì)的參數(shù)偏差較大。

（2）一次范數(shù)最小方法處理粗差問題所達(dá)到的精度比經(jīng)典間接平差方法高，并且觀測值不含有粗差時，所估計(jì)的參數(shù)是接近最優(yōu)的；當(dāng)觀測值含有少量粗差時，所估計(jì)的參數(shù)變化也較小。

[1]李海軍,何麗媛,李巖.三種粗差檢測方法的比較及分析 [J].淮海工學(xué)院學(xué)報 (自然科學(xué)版),2011,20(S.I.):129-131

[2]馬琳,鄧文彬,張廣泰.抗差估計(jì)在變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用 [J].地理空間信息, 2016,14(1):89-91

[3]王奉偉,周世健,周清.選權(quán)迭代法殘差初值求解方法比較 [J].測繪科學(xué),2015,40 (8):22-27

[4]聞永俊,馮遵德,李明哲.基于間接平差中I的粗差探測方法 [J].礦山測量,2011,(5):73-75

[5]趙新秀,王解先.一次范數(shù)最小估計(jì)的兩種算法 [J].測繪工程,2010,19(2):13-15

TB22[文獻(xiàn)碼]B

1000-405X（2016）-7-316-1