淺析太陽(yáng)影子定位的數(shù)學(xué)模型

劉瀟（山東科技大學(xué)，山東青島 266590）

淺析太陽(yáng)影子定位的數(shù)學(xué)模型

劉瀟
（山東科技大學(xué)，山東青島 266590）

目前，相機(jī)的應(yīng)用非常普遍，從圖像或視頻中估算經(jīng)緯度是目前計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)問(wèn)題之一。本文通過(guò)對(duì)問(wèn)題的層層深入分析，引入太陽(yáng)方位角、時(shí)角的概念，建立了物體與影子長(zhǎng)度及太陽(yáng)高度角之間的三角函數(shù)關(guān)系，而太陽(yáng)高度角與緯度，太陽(yáng)赤緯角和時(shí)角有關(guān)，所以確定了影子長(zhǎng)度關(guān)于各個(gè)參數(shù)變化的數(shù)學(xué)模型，并分析了影子長(zhǎng)度關(guān)于各個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律。通過(guò)對(duì)某地直桿影子的頂點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行分析，建立了數(shù)學(xué)模型來(lái)確定直桿所處的地理位置。

影子定位 數(shù)學(xué)模型 matlab軟件 拋物線擬合

1 概述

如何確定視頻的拍攝地點(diǎn)是視頻數(shù)據(jù)分析的重要方面，太陽(yáng)影子定位技術(shù)就是通過(guò)分析視頻中物體的太陽(yáng)影子變化，確定視頻拍攝的地點(diǎn)的一種方法。本文主要主要解決了兩個(gè)問(wèn)題：

（1）本文通過(guò)引入各種與影子長(zhǎng)度有關(guān)的參數(shù)，建立了一天中影子長(zhǎng)度關(guān)于各個(gè)參數(shù)變化的數(shù)學(xué)模型，并分析了影子長(zhǎng)度關(guān)于各個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律。

（2）在太陽(yáng)下豎立一根直桿，用相機(jī)錄下直桿的影子變化，通過(guò)分析影子的變化規(guī)律來(lái)確定直桿所在的地點(diǎn)。

本文中所用到的數(shù)學(xué)符號(hào)列表如表1。

2 建立影子長(zhǎng)度變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型

表1

在探討影子長(zhǎng)度與各因素之間的關(guān)系時(shí)，忽略陽(yáng)光在大氣中的折射而引起的角度變化。由于光在同種均勻物質(zhì)中延直線傳播，所以當(dāng)光遇到不透明的物體時(shí)，就會(huì)在物體后面形成影子。物體形成影子的示意圖如圖1。

由三角形關(guān)系有：

H為太陽(yáng)高度角，對(duì)于地球上的某個(gè)地點(diǎn)，太陽(yáng)高度角是指太陽(yáng)光的入射方向和地平面之間的夾角，專業(yè)上講太陽(yáng)高度角是指某地太陽(yáng)光線與該地作垂直于地心的地表切線的夾角。由于地球的自轉(zhuǎn)，造成太陽(yáng)東升西落，太陽(yáng)高度角在一日內(nèi)不斷發(fā)生變化。太陽(yáng)高度角隨著地方時(shí)和太陽(yáng)的赤緯的變化而變化。太陽(yáng)赤緯（與太陽(yáng)直射點(diǎn)緯度相等）以δ表示，觀測(cè)地地理緯度用φ表示（太陽(yáng)赤緯與地理緯度都是北緯為正，南緯為負(fù)），地方時(shí)（時(shí)角）以 Ω表示，有太陽(yáng)高度角的計(jì)算公式：

式中，N表示積日，即日期在一年內(nèi)的順序號(hào)；INT表示取整，即最終結(jié)果只保留整數(shù)部分即可，根據(jù)（3）、（4）、（5）、（6）式即可求得太陽(yáng)赤緯。經(jīng)過(guò)以上分析，影子長(zhǎng)度關(guān)于各個(gè)參數(shù)變化的數(shù)學(xué)模型為：

由以上數(shù)學(xué)模型可知影響影子長(zhǎng)度變化的參數(shù)為物體的高度L、物體所處的緯度 φ、太陽(yáng)赤緯 δ以及物體所處地方的時(shí)角 Ω。對(duì)以上各參數(shù)分別求偏導(dǎo)得：

由以上對(duì)于各個(gè)參數(shù)的偏導(dǎo)函數(shù)，運(yùn)用matlab對(duì)各偏導(dǎo)進(jìn)行分析，我們可以得出影子長(zhǎng)度關(guān)于各個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律如下：

（1）當(dāng)物體所處地點(diǎn)，日期以及所處地方的地方時(shí)都確定的條件下，物體的高度越高，在太陽(yáng)照射下產(chǎn)生的影子越長(zhǎng)。

（2）對(duì)于一個(gè)確定的物體，其高度是定值，當(dāng)它所處的日期，以及所處地方的地方時(shí)都確定的條件下，它所處地方的緯度距離當(dāng)時(shí)太陽(yáng)直射點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)時(shí)，物體在太陽(yáng)下形成的影子越長(zhǎng)。

（3）對(duì)于一個(gè)高度確定的物體，當(dāng)它所處的緯度以及地方時(shí)確定時(shí)，當(dāng)太陽(yáng)赤緯最小時(shí)即太陽(yáng)赤緯為-23°26＇，南回歸線以南地區(qū)的地區(qū)影子長(zhǎng)度達(dá)到最小，北回歸線以北地區(qū)影子長(zhǎng)度達(dá)到最大；隨著太陽(yáng)赤緯角的增大，南回歸線以南地區(qū)影子長(zhǎng)度增長(zhǎng)，北回歸線以北地區(qū)影子長(zhǎng)度縮短。

（4）對(duì)于一個(gè)確定高度的物體，當(dāng)它所處的緯度以及太陽(yáng)赤緯確定時(shí)，即緯度與日期確定時(shí)，物體在一天中不同時(shí)刻形成影子的長(zhǎng)度關(guān)于地方時(shí)的正午十二點(diǎn)呈對(duì)稱關(guān)系，在早上天將亮和傍晚天將黑時(shí)影子最長(zhǎng)，從早上隨著時(shí)間的推移，影子不斷變短，并且縮短速度越來(lái)越慢，在正午十二點(diǎn)時(shí)影子長(zhǎng)度最短，由中午到傍晚，影子長(zhǎng)度又不斷拉長(zhǎng)，拉長(zhǎng)速度越來(lái)越快。

3 由影子頂點(diǎn)坐標(biāo)變化求直桿所在地點(diǎn)

設(shè)固定直桿所在地點(diǎn)的經(jīng)緯度為（φ，λ），以直桿底端為原點(diǎn)，水平地面 xoy為平面，直桿影長(zhǎng)端點(diǎn)坐標(biāo)記為 （x， y），記錄在一段時(shí)間內(nèi)影子端點(diǎn)的多個(gè)坐標(biāo) （x1， y1）， （x2，y2）...（xn，yn），則影子長(zhǎng)為

影子長(zhǎng)是隨著時(shí)間變化的，利用在一段時(shí)間內(nèi)不同時(shí)刻記錄的影子長(zhǎng)度，對(duì)影子長(zhǎng)度與時(shí)間進(jìn)行拋物線擬合，得到影子長(zhǎng)度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系如下：

接下來(lái)引入太陽(yáng)方位角［1］的概念確定固定直桿所在地的緯度，太陽(yáng)方位角即太陽(yáng)所在的方位，指太陽(yáng)光線在地平面上的投影與當(dāng)?shù)刈游缇€的夾角，可近似地看作是豎立在地面上的直線在陽(yáng)光下的陰影與正南方的夾角。方位角以目標(biāo)物正北方向?yàn)榱?，順時(shí)針?lè)较蛑饾u變大，其取值范圍是0°～360°。因此太陽(yáng)方位角一般是以目標(biāo)物的正北方向?yàn)槠鹗挤较颍蕴?yáng)光的入射方向?yàn)榻K止方向，按順時(shí)針?lè)较蛩鶞y(cè)量的角度［2］。設(shè)太陽(yáng)方位角為A則有

TT為真太陽(yáng)時(shí)，TC為北京時(shí)間，CL為經(jīng)度修正，如果地方子午圈在北京子午圈的東邊，則為正，反之為負(fù)，QE 為時(shí)差。

綜上，我們可以得到固定直桿所在地點(diǎn)經(jīng)緯度的數(shù)學(xué)模型為：

4 結(jié)語(yǔ)

在太陽(yáng)下豎立一根直桿，用相機(jī)拍攝下直桿影子變化的視頻。Matlab軟件工具箱中自帶的函數(shù)可以方便讀取AVI 文件的相關(guān)屬性和數(shù)據(jù)，利用這些屬性和數(shù)據(jù)可以提取出視頻文件中的任何一幀。然后針對(duì)每一幅圖像，采用二值化處理圖像求出分割閾值，進(jìn)而求出最優(yōu)閾值，進(jìn)而求出影子的長(zhǎng)度，利用所建立的數(shù)學(xué)模型對(duì)影子的頂點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行處理，即可確定出直桿所處的地理位置。

［1］王國(guó)安.太陽(yáng)高度角和日出日落時(shí)刻太陽(yáng)方位角一年變化范圍的計(jì)算.氣象與環(huán)境科學(xué)，第30卷增刊:第163頁(yè)，2007年9月.

［2］汪和平.太陽(yáng)方位角的公式求解及其應(yīng)用.中國(guó)數(shù)學(xué)，2008年第9 版.高中版.

劉瀟（1994—），女，本科在讀，研究方向：機(jī)械設(shè)計(jì)制造及其自動(dòng)化，就職于山東科技大學(xué)。