以小見大
——統(tǒng)計圖表中的數(shù)學(xué)思想

沈良琴

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以小見大
——統(tǒng)計圖表中的數(shù)學(xué)思想

沈良琴

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識的提煉與升華，是分析問題、解決問題的好幫手.在本章的學(xué)習(xí)中，我們不僅要學(xué)習(xí)統(tǒng)計的相關(guān)概念，還要體會其中的數(shù)學(xué)思想.下面舉例剖析.

一、用樣本估計總體的思想

例1（2015·海南中考）為了治理大氣污染，我國中部某市抽取了該市2014年中120天的空氣質(zhì)量指數(shù)，繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖表：

空氣質(zhì)量指數(shù)統(tǒng)計表

圖1-1　空氣質(zhì)量指數(shù)條形統(tǒng)計圖

請根據(jù)圖表中提供的信息，解答下面的問題：

（1）空氣質(zhì)量指數(shù)統(tǒng)計表中的a=______，m=______；

（2）請把空氣質(zhì)量指數(shù)條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）若繪制“空氣質(zhì)量指數(shù)扇形統(tǒng)計圖”，級別為“優(yōu)”所對應(yīng)扇形的圓心角是_______度；

（4）估計該市2014年（365天）中空氣質(zhì)量指數(shù)大于100的天數(shù)約有_______天.

【思路剖析】本題主要考查了頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖的有關(guān)概念，以及用樣本估計總體的統(tǒng)計思想，解題的關(guān)鍵是正確從頻數(shù)分布統(tǒng)計表和直方圖中獲取有用信息.

（1）頻率=頻數(shù)÷數(shù)據(jù)總數(shù)；

（2）根據(jù)a的值補充完整統(tǒng)計圖；

（3）扇形的圓心角=該部分所占百分比×360°；

（4）圖上天數(shù)之和120天，利用樣本估計總體的方法，用365ד空氣質(zhì)量指數(shù)大于100的天數(shù)”頻率（或所占百分比）即可.

解：（1）a=120×40%=48，

m=24÷120×100%=20%；

（2）補充完整統(tǒng)計圖（圖1-2）如下：

圖1-2　空氣質(zhì)量指數(shù)條形統(tǒng)計圖

（3）360°×20%=72°；

（4）365×（15%+12.5%+7.5%+5%）= 146（天）.

易錯點：此類問題容易出錯的地方是：

”認識不清或掌握不夠，不會運用公式或出現(xiàn)變形錯誤.

圖2　

例2（2015·北京中考）北京市2009～2014年軌道交通日均客運量統(tǒng)計如圖2所示.根據(jù)統(tǒng)計圖中提供的信息，預(yù)估2015年北京市軌道交通日均客運量約_______萬人次，你的預(yù)估理由是_________.

【思路剖析】本題主要考查了折線統(tǒng)計圖，值得一提的是本題還考查了用樣本中的數(shù)據(jù)估算未來一段時間內(nèi)事物發(fā)展變化的趨勢.解題的關(guān)鍵是能根據(jù)北京市2009～2014年軌道交通日均客運量的變化情況大致預(yù)估出未來一年內(nèi)軌道交通日均客運量.

思路1：根據(jù)北京市2009～2014年軌道交通日均客運量計算出客運量平均增長人數(shù)，再將2014年日均客運量加上客運量平均增長人數(shù)即可預(yù)估2015年日均客運量；

思路2：按照2013～2014年的增長情況直接進行估算；

思路3：按照2012～2013年的增長情況直接進行估算.

因此，答案是不唯一的，結(jié)果在980至1140之間即可，參考答案如下：

方法1：2009～2014年客運量平均增長人數(shù)為（930-390）÷5=108（萬人次），

∴預(yù)估2015年北京市軌道交通日均客運量約930+108=1038（萬人次），故答案為1038.

方法2：2013～2014年客運量增長人數(shù)為930-880=50（萬人次），

∴預(yù)估2015年北京市軌道交通日均客運量約930+50=980（萬人次），故答案為980.

方法3：2012～2013年客運量增長人數(shù)為880-670=210（萬人次），

∴2014～2015年的增長客運量可能為210萬人次，

∴預(yù)估2015年北京市軌道交通日均客運量約930+210=1140（萬人次），故答案為1140.

【點評】折線統(tǒng)計圖不但可以表示出數(shù)量的多少，還能清楚地表示出數(shù)量增減變化的情況，并對未來一段時間內(nèi)事物的發(fā)展情況進行預(yù)估和推斷.

二、數(shù)形結(jié)合的思想

例3（2015·湖北恩施州中考）某中學(xué)開展“陽光體育一小時”活動，根據(jù)學(xué)校實際情況，決定開設(shè)“A.踢毽子；B.籃球；C.跳繩；D.乒乓球”四項運動項目（每位學(xué)生必須選擇一項）.為了解學(xué)生最喜歡哪一項運動項目，隨機抽取了一部分學(xué)生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖3所示的統(tǒng)計圖，則參加調(diào)查的學(xué)生中最喜歡跳繩運動項目的學(xué)生數(shù)為（）.

A.240B.120

C.80D.40

圖3　

【思路剖析】本題考查條形圖和扇形統(tǒng)計圖，解題的關(guān)鍵是從統(tǒng)計圖中獲取相關(guān)數(shù)據(jù)的信息.根據(jù)學(xué)生最喜歡A.踢毽子項目的人數(shù)是80人，而相應(yīng)人數(shù)所占的百分比是40%，即可求得總?cè)藬?shù)為80÷40%=200（人），然后把總?cè)藬?shù)減去喜歡A、B、D項目的學(xué)生數(shù)，得：200-80-30-50=40，因此最喜歡跳繩運動項目的學(xué)生數(shù)為40人.故選D.

易錯點：此類問題容易出錯的地方是讀錯條形圖與扇形圖之間的關(guān)系.

例4（2015·浙江省杭州中考）杭州市推行垃圾分類已經(jīng)多年，但在廚余垃圾中除了廚余類垃圾還混雜著非廚余類垃圾.如圖4是杭州市某一天收到的廚余類垃圾的統(tǒng)計圖.

（1）試求出m的值；

（2）杭州市那天收到廚余垃圾共約200噸，請計算其中混雜著的玻璃類垃圾的噸數(shù).

圖4　

【思路剖析】本題考查了扇形統(tǒng)計圖的識別與計算，解題的關(guān)鍵是從統(tǒng)計圖中獲取解題所需要的信息.

（1）利用各部分百分比之和等于1求得m，（2）利用總量乘百分比得部分噸數(shù)解答.

解：（1）m=100-（22.39+0.9+7.55+0.15）=69.01；

（2）其中混雜著的玻璃類垃圾的噸數(shù)約為200×0.9%=1.8（噸）.

規(guī)律總結(jié)：在扇形統(tǒng)計圖中，以整個圓面積代表統(tǒng)計項目的總體，每一統(tǒng)計項目分別用圓中不同的扇形面積表示，扇形面積占圓面積的百分之幾就代表該統(tǒng)計項目占總體的百分之幾.扇形各部分的百分比之和等于1.

（作者單位：江蘇省常州市北環(huán)中學(xué)）