考慮加載過程及樁體固結(jié)變形的碎石樁復(fù)合地基固結(jié)解析解*

郭　彪　龔曉南　李亞軍

(①云南省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院陸地交通氣象災(zāi)害防治技術(shù)國家工程實(shí)驗(yàn)室　昆明　650041)(②浙江大學(xué)　杭州　310058)

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考慮加載過程及樁體固結(jié)變形的碎石樁復(fù)合地基固結(jié)解析解*

郭彪①龔曉南②李亞軍①

(①云南省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院陸地交通氣象災(zāi)害防治技術(shù)國家工程實(shí)驗(yàn)室昆明650041)(②浙江大學(xué)杭州310058)

為了完善碎石樁復(fù)合地基固結(jié)理論，通過假設(shè)從樁體排出的水量等于流入樁體的水量與樁體體積變化之和以及地基擾動(dòng)區(qū)土體水平滲透系數(shù)呈線性變化，并考慮上部荷載逐漸施加，推導(dǎo)了考慮樁體體積變化的碎石樁復(fù)合地基超靜孔壓及固結(jié)度解析解。當(dāng)加載時(shí)間趨于零時(shí)，本文解可退化為瞬時(shí)加載情況下的解； 當(dāng)加載時(shí)間及樁徑同時(shí)趨于零時(shí)，本文解可進(jìn)一步退化為Terzaghi一維固結(jié)解，這證明了本文解的正確性。通過與已有解的比較，對(duì)地基固結(jié)性狀進(jìn)行了分析。結(jié)果表明，加載過程對(duì)地基固結(jié)度影響顯著，加載歷時(shí)越長，固結(jié)越慢； 在各種條件下，不考慮樁體固結(jié)變形時(shí)地基固結(jié)始終比考慮樁體變形時(shí)快，并且其影響隨著加載歷時(shí)變小、樁徑比變小、樁土模量比變小、樁土滲透系數(shù)變小而逐漸增大，這說明在實(shí)際工程固結(jié)計(jì)算中不考慮樁體固結(jié)變形是偏于不安全的。

碎石樁復(fù)合地基固結(jié)加載過程樁體固結(jié)變形解析解

0　引　言

采用碎石樁處理軟土地基是一種簡(jiǎn)單經(jīng)濟(jì)有效的措施，地基沉降是碎石樁復(fù)合地基的主要的問題之一，要對(duì)地基沉降進(jìn)行分析，就必須研究復(fù)合地基的固結(jié)理論。

碎石樁復(fù)合地基和砂井地基相比，具有應(yīng)力向碎石樁集中以及樁徑比(碎石樁影響區(qū)半徑與樁半徑之比)較小的特點(diǎn)。與砂井地基相比，碎石樁復(fù)合地基固結(jié)理論研究起步較晚，研究較少。Yoshikuni(1979)最早提出了復(fù)合地基應(yīng)力集中效應(yīng)并引入到復(fù)合地基的固結(jié)理論研究中。此后，王瑞春等(2001， 2002， 2004)、Han et al.(2001， 2002)、孫舉等(2008)、張玉國等(2005， 2014)眾多學(xué)者對(duì)復(fù)合地基固結(jié)理論不斷進(jìn)行了研究完善，發(fā)展了未打穿復(fù)合地基、雙層復(fù)合地基、變荷載、考慮碎石樁施工的擾動(dòng)作用以及樁體滲流阻力作用、半透水邊界等多種工況及影響因素下的碎石樁復(fù)合地基固結(jié)理論。

擾動(dòng)區(qū)土體的水平滲透系數(shù)變化對(duì)復(fù)合地基固結(jié)有很大的影響，近年來在這方面有較多的研究。樁體周圍擾動(dòng)土體滲透系數(shù)隨擾動(dòng)作用強(qiáng)弱變化這一現(xiàn)象由Sharma et al.(2002)通過試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，此后，wlader Hal et al.(2002)、Zhang et al.(2006)、Xie et al.(2009)進(jìn)行了進(jìn)一步研究和完善，得到了水平滲透系數(shù)線性連續(xù)變化、二次拋物線形式連續(xù)變化等情況下的固結(jié)解。

不過在以上的理論中，均沒有考慮碎石樁的豎向變形，假定某一時(shí)刻從樁體排出的水量就等于土體流入樁體的水量，這與理論所采用的等應(yīng)變假設(shè)是不符的。于是盧萌盟(2009)、趙明華等(2010)針對(duì)這一點(diǎn)，通過對(duì)樁周流量假設(shè)進(jìn)行改進(jìn)考慮了樁體的豎向變形，從而解決了這一矛盾。

然而，在盧萌盟(2009)、趙明華等(2010)的研究中，假定外部荷載是瞬時(shí)施加的，這與工程實(shí)際不符，使得這一理論難以得到廣泛應(yīng)用。鑒于此，本文推導(dǎo)得到了變荷載下考慮樁體變形的復(fù)合地基固結(jié)解析解，并考慮地基涂抹區(qū)水平滲透系數(shù)呈線性變化，與現(xiàn)有解進(jìn)行了比較驗(yàn)證，分析了地基固結(jié)性狀。

1　固結(jié)方程及求解條件

圖1為變荷載下碎石樁復(fù)合地基固結(jié)簡(jiǎn)化模型。圖中re為碎石樁影響區(qū)半徑，rs為涂抹區(qū)半徑，rc為碎石樁半徑，us、uc分別為土體及樁體內(nèi)的超靜孔壓力，Es、Ec分別為土體及樁體的壓縮模量，kr(r)為土體水平滲透系數(shù)，kv為土體豎向滲透系數(shù)，kc為碎石樁體滲透系數(shù)，H為碎石樁深度，q(t)為上部荷載。

除了樁土等應(yīng)變假設(shè)以及達(dá)西定律，本文還作了以下假定： ①地基上部荷載是時(shí)間的函數(shù)，附加應(yīng)力隨深度不變； ②從樁體排出的水量等于從土體流入樁體的水量與樁體體積減小之和。

圖1　碎石樁復(fù)合地基示意圖Fig. 1　Sketch diagram of gravel pile composite foundation

根據(jù)謝康和(1993)，Xie et al.(2009)，Zhang et al.(2006)文獻(xiàn)的研究，復(fù)合地基土體的固結(jié)方程可以寫成：

(1)

其徑向的邊界條件為：

(2)

(3)

(4)

式(1)中， kr(r)為土體水平滲透系數(shù)，為隨r變化的函數(shù)，其表達(dá)式為：

(5)

式(1)為一個(gè)多元多次偏微分方程，無法直接求解，需對(duì)其作進(jìn)一步推導(dǎo)。

下面首先推導(dǎo)地基的應(yīng)變?chǔ)舦的表達(dá)式：

復(fù)合地基上部荷載由碎石樁及土體共同承擔(dān)，地基豎向的平衡方程為：

(6)

又根據(jù)等應(yīng)變假設(shè)，即地基土體與樁體在任意時(shí)刻應(yīng)變相等，有：

(7)

由式(6)、式(7)可得：

(8)

(9)

式(9)可以改寫為：

(10)

將式(5)、式(8)帶入式(1)可得：

(11)

接下來對(duì)式(11)進(jìn)行消元推導(dǎo)：

對(duì)式(11)兩邊關(guān)于r積分并利用邊界條件(2)可得：

(12)

再對(duì)式(12)兩邊關(guān)于r積分并利用邊界條件(3)可得：

(13)

其中，

(14)

將式(10)帶入式(13)后，再將式(13)帶入式(4)可得：

(15)

其中，

(16)

(17)

本文假設(shè)從樁體排出的水量等于流入樁體的水量與樁體體積變化之和，在地基固結(jié)過程中，樁體的體積變化量ΔVc可以寫成：

(18)

由達(dá)西定律，參考盧萌盟(2009)的研究，從樁體向上流出的水量Qvc的表達(dá)式為：

(19)

同時(shí)，從地基土體流入樁體的水量Qhs的表達(dá)式為：

(20)

故可得在dt時(shí)間段內(nèi)樁體內(nèi)水量的變化量ΔQc為：

(21)

由樁周流量假設(shè)可知ΔQc=ΔVc，將式(18)、式(21)帶入整理可得：

(22)

(23)

由式(22)、式(23)有：

(24)

將式(8)、式(10)帶入式(24)整理可得：

(25)

其中，

(26)

(27)

(28)

其中，

(29)

(30)

再結(jié)合式(25)和式(28)可得：

(31)

式(31)即為變荷載下考慮樁體變形的碎石樁復(fù)合地基固結(jié)控制方程，考慮頂面排水，底面不排水，其豎向邊界條件為：

(32)

地基不同位置處土體水平向滲透系數(shù)的變化情況(圖2)。圖中kh為未受到碎石樁施工影響范圍內(nèi)的水平滲透系數(shù)，ks為受到施工影響最大處(緊臨樁體)土體水平滲透系數(shù)。

圖2　土體平滲透系數(shù)Fig. 2　Permeability coefficient in soil

本文描述滲透系數(shù)隨r變化的函數(shù)f(r)形式為(盧萌盟， 2009)：

(33)

其中， δ=kh/ks。

由式(14)、式(16)、式(17)、式(33)可得：

(34)

式中， s=rs/rc。

2　方程求解

在實(shí)際工程，荷載逐漸施加的，加載至最終荷載后保持不變(圖3)。式中，t1為加載到最終荷載所經(jīng)歷的時(shí)間，qu為最終荷載。

圖3　荷載隨時(shí)間變化圖Fig. 3　Variation of preloading with time

荷載可表示為：

(35)

將上式代入式(31)可得：

當(dāng)0≤t

(36)

當(dāng)t≥t1時(shí)：

(37)

設(shè)方程(36)的解為：

(38)

根據(jù)邊界條件式(32)可解得：

從而可得：

(39)

式(39)代入式(36)可得：

(40)

在式(40)兩端同乘以某一具體項(xiàng)sin(Mz/H)后在[0，H]上積分可得：

(41)

其中，

(42)

(43)

由初始條件可得：

(44)

在式(44)兩端同乘以某一具體項(xiàng)sin (Mz/H)后在[0，H]上積分可得：

(45)

方程(41)和式(45)分別為關(guān)于Tm(t)的常微分方程以及初始條件，其解可寫為：

(46)

將式(46)代入式(39)可得：

(47)

式(37)解的形式可寫成：

(48)

其初始條件為：

(49)

由式(48)、式(49)可得：

(50)

將(50)代入式(48)可得：

(51)

綜上所述，可得地基某時(shí)刻某深度處的平均孔壓為：

當(dāng)0≤t

(52)

當(dāng)

(53)

將式(42)、式(43)代入式(53)并整理可得：

(54)

地基任一時(shí)刻的固結(jié)度為：

(55)

將式(35)、式(52)、式(54)代入式(55)可得：

0≤t

(56)

t≥t1時(shí)：

(57)

將系數(shù)A、B、C、D代入式(42)可得βm的表達(dá)式為：

(58)

3　解的驗(yàn)證及比較

為了驗(yàn)證本文解的合理性，將解進(jìn)行退化。

在瞬時(shí)加載情況下，t1→0，式(54)退化為：

(59)

式(58)、式(59)即為盧萌盟(2009)的解。

進(jìn)一步地，如n→∞，即樁的半徑趨于0時(shí)，式(58)退化為：

(60)

式(59)、式(60)即為Terzaghi一維固結(jié)解。

上述退化結(jié)果表明，盧萌盟(2009)的解及Terzaghi一維固結(jié)解均為本文解的特例，本文解是合理正確的。

圖4　本文解與盧萌盟(2009)解的比較Fig. 4　Comparison of the average degree of consolidation by the present solution and the Lu M M(2009) solution

圖4是本文解與盧萌盟(2009)的解的比較，盧萌盟(2009)的解認(rèn)為荷載瞬時(shí)施加。圖中Tv1為t1時(shí)刻對(duì)應(yīng)的地基豎向固結(jié)時(shí)間因子。計(jì)算參數(shù)為：n=4，s=2，H/rc=20，Y=5，kh/kv=2，kc/kh=500，δ=0.4。

從圖可以看出，逐漸加載與瞬時(shí)加載固結(jié)度差別是巨大的，加載歷時(shí)越長，固結(jié)越慢，在實(shí)際工程中，堆載都是逐漸施加的，本文解比盧萌盟(2009)解更加合理適用。

圖5～圖8 是本文解與Xie et al.(2009)的解的比較，在Xie et al.(2009)的解中考慮了加載過程以及涂抹區(qū)水平滲透系數(shù)呈線性變化，但沒有考慮樁體的固結(jié)變形，通過與此解全面的比較可突出本文的研究成果。

圖5是不同樁徑比時(shí)兩者固結(jié)速度的比較。計(jì)算參數(shù)為：Tv1=0.001，s=1.6，H/rc=40，Y=5，kh/kv=2，kc/kh=500，δ=0.4。從圖可以看出，不考慮樁體變形時(shí)地基固結(jié)仍然比考慮樁體變形時(shí)快，可見在工程應(yīng)用中不考慮樁體變形是偏不安全的，這會(huì)低估地基的工后沉降。不過隨著樁徑比的增大，兩者的差異逐漸減小。

圖6是不同樁土模量比時(shí)解的比較。計(jì)算參數(shù)為：Tv1=0.001，n=2，s=1.6，H/rc=40，kh/kv=2，kc/kh=500，δ=0.4。從圖可以看出，不同樁土模量比下不考慮樁體變形時(shí)地基固結(jié)仍然比考慮樁體變形時(shí)快，隨著樁土模量比的增大，兩者的差異逐漸減小。

圖7是不同樁土滲透系數(shù)比時(shí)解的比較。計(jì)算參數(shù)為：Tv1=0.001，n=2，s=1.6，H/rc=40，kh/kv=2，Y=2，δ=0.4。從圖可以看出，不同樁土滲透系數(shù)比下不考慮樁體變形時(shí)地基固結(jié)同樣比考慮樁體變形時(shí)快，隨著樁土滲透系數(shù)比的增大，兩者的差異逐漸減小。

圖6　不同樁土模量比時(shí)與Xie et al.(2009)解的比較Fig. 6　Comparison with the Xie et al.(2009) solution under different compression modulus ratios of column and soils

圖7　不同樁土滲透系數(shù)比時(shí)與Xie et al.(2009)解的比較Fig. 7　Comparison with the Xie et al.(2009)solution under different permeability coefficient ratios of column and soils

圖8　不同加荷歷時(shí)條件下與Xie et al.(2009)解的比較Fig. 8　Comparison with the Xie et al.(2009)solution under different loading time

圖8是不同加載歷時(shí)考慮樁體固結(jié)變形與不考慮時(shí)地基的固結(jié)速度比較。計(jì)算參數(shù)為：n=2，s=1.6，H/rc=20，Y=5，kh/kv=2，kc/kh=500，δ=0.4。從圖可以看出，不考慮樁體變形時(shí)地基固結(jié)比考慮樁體變形時(shí)快，不過，加載速度越慢，兩者的差距越小，但這樣做會(huì)耽誤工期，影響施工進(jìn)度。

圖9是本文解與王瑞春等(2002)的解的比較，在王瑞春等(2002)的解中考慮了加載過程，但沒有考慮涂抹區(qū)水平滲透系數(shù)的變化以及樁體的固結(jié)變形。計(jì)算參數(shù)為：Tv1=0.01，s=2，H/rc=20，Y=10，kh/kv=2，kc/kh=500，δ=0.4。從圖可以看出，考慮涂抹區(qū)水平滲透系數(shù)呈線性變化比不考慮要快，當(dāng)樁徑比n=5時(shí)兩者差距較大，而當(dāng)n=2時(shí)兩者差距明顯縮小，通過前面的分析可知，這是因?yàn)楫?dāng)樁徑較小時(shí)，不考慮樁體固結(jié)變形對(duì)地基固結(jié)度影響較大，與不考慮涂抹區(qū)水平滲透系數(shù)變化兩因素相抵所致。

圖9　不同樁徑比時(shí)與王瑞春等(2002)解的比較Fig. 9　Comparison with the Wang et al.(2002)solution under different diameter ratios

4　結(jié)　論

本文推導(dǎo)得到了變荷載下考慮樁體變形的復(fù)合地基固結(jié)解析解，解可退化到瞬時(shí)荷載下的解，并可進(jìn)一步退化到Terzaghi解，說明本文解是正確的。

通過地基固結(jié)比較分析可知：

(1)逐漸加載與瞬時(shí)加載固結(jié)度差別顯著，加載歷時(shí)越長，固結(jié)越慢，本文考慮荷載施加過程，更加符合工程實(shí)際。

(2)考慮涂抹區(qū)水平滲透系數(shù)呈線性變化比不考慮要快。

(3)在各種條件下，不考慮樁體變形時(shí)地基固結(jié)始終比考慮樁體變形時(shí)快，并且其差值隨著加載歷時(shí)變小、樁徑比變小、樁土應(yīng)力比變小、樁土滲透系數(shù)變小而逐漸增大。

也就是說，不考慮樁體變形會(huì)高估地基的固結(jié)速度，從而低估地基的工后變形量。因此，在實(shí)際工程固結(jié)計(jì)算中不考慮樁體變形是偏于不安全的，本文解可使計(jì)算結(jié)果更符合實(shí)際。

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ANALYTICAL SOLUTION FOR CONSOLIDATION OF STONE COLUMN-REINFORCED FOUNDATIONS TAKING INTO ACCOUNT CONSOLIDA￣TION DEFORMATION OF PILE UNDER PROGRESSIVE LOADING

GUO Biao①GONG Xiaonan②LI Yajun①

(①National Engineering Laboratory for Land Transport Meteorological Disaster Control Technology， Broadvision Engineering Consultants， Kunming650041)(②Zhejiang University， Hangzhou310058)

For the sake of improvement of the composite foundations consolidation theory， an analytical solution is obtained for consolidation of stone column-reinforced foundations taking into account the consolidation deformation of pile under progressive loading. Column consolidation and deformation are considered with the following two assumptions：(1)the quantity of water flowing through the disturbed soil zone into the column is not equal to that flowing out from the column and (2)the difference between them is equal to the volume change of the column. In addition， the linear distribution pattern of the horizontal permeability of soil in the disturbed zone is also taken into account for the disturbance effect of columns construction on the surrounding soil. To prove the correctness of the solution， a discussion is performed in the article. If the loading time tends to zero， the obtained solution can be convert to the solution in the condition of constant load. Furthermore， if the loading time and the size of stone columns tend to zero at the same time， the obtained solution can be convert to the one-dimensional solution obtained by Terzaghi. In the end， the average degree of consolidation of a composite foundation is obtained and discussed. The results show that the influence of loading process on the consolidation is obvious. The consolidation rate under the linear distribution pattern of the horizontal permeability of soil in the disturbed zone is faster than the consolidation rate in the condition of constant permeability. The consolidation rate considering deformation of pile is slower than consolidation rate using traditional assumptions. So that it is unsafe to ignore deformation of pile. Furthermore， the differences increase gradually as the loading time， the radius ratio， the stress ratios and the permeability coefficient ratios decrease．

Stone column-reinforced foundations， Consolidation， Preloading process， Column consolidation， Analytical solution

10.13544/j.cnki.jeg.2016.03.010

2015-05-22;

2016-03-30.

云南省交通廳科技項(xiàng)目(2015(A)12)，云南省山間盆地高等級(jí)公路軟基處置新技術(shù)研究資助.

郭彪(1982-)，男，博士，高級(jí)工程師，主要從事地基方面的研究工作. Email: gb25891775@163.com

TU472

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