基于多項式擬合改進(jìn)的周跳探測方法研究

李克昭，王云凱，趙磊杰，李志偉，魏金本

(河南理工大學(xué) 測繪與國土信息工程學(xué)院，河南 焦作 454000)

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基于多項式擬合改進(jìn)的周跳探測方法研究

李克昭，王云凱，趙磊杰，李志偉，魏金本

(河南理工大學(xué) 測繪與國土信息工程學(xué)院，河南 焦作 454000)

多項式擬合法探測周跳因其算法簡單，適合計算機編程而被廣泛地應(yīng)用。然而，其探測精度也受到觀測誤差和采樣頻率的影響。因此，提出了多項式擬合法結(jié)合歷元間差分和B-spline 曲線插值法的新方法來解決這兩個方面的問題。介紹了新方法的原理和模型，最后利用采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行了方法驗證。

B-spline ；多項式擬合；差分；周跳

在進(jìn)行精密單點定位時，要達(dá)到高精度，就必須保證載波相位觀測中沒有周跳。而實際測量中，周跳的發(fā)生不可避免，因此，就需要一定的方法進(jìn)行周跳的探測與修復(fù)[1]。

在國內(nèi)外眾多工作者多年的研究下，有許多周跳探測與修復(fù)的方法在實際中得到了應(yīng)用。這些方法中包括，高次差法、多項式擬合法、TurboEdit方法、小波法等。但這些方法，有的算法太復(fù)雜，有的是受觀測誤差影響無法完全探測，因此，這些方法在實際測量中的應(yīng)用受到一定的限制[2-3]。

在眾多周跳探測與修復(fù)的方法中，多項式擬合法因其算法簡單，適合于計算機編程等特點，在周跳探測中被廣泛應(yīng)用[4]。然而，因為擬合精度的限制，多項式擬合法周跳探測的能力受到載波相位觀測誤差和采樣率的影響較大。其中，載波相位觀測誤差主要受到接收機質(zhì)量的影響。而采樣率對多項式擬合精度的影響可以通過一定的方法進(jìn)行消除或削弱。對此，應(yīng)用歷元間求差的方法來減少觀測誤差的影響，然后采用B-spline 曲線插值法進(jìn)行低頻數(shù)據(jù)的高頻化。通過精確的插值計算，解決多項式擬合法在低頻數(shù)據(jù)中擬合誤差較大的影響，以充分利用多項式擬合法在周跳探測中的應(yīng)用優(yōu)勢，提高周跳探測精確度。最后運用采集的相位觀測值數(shù)據(jù)進(jìn)行了算例分析，驗證了該方法的可行性和實用性。

1　多項式擬合法探測周跳基本原理

1.1多項式擬合法周跳探測原理

進(jìn)行多項式擬合的模型可用以下公式表示[5]：

(1)

其中，i=1，2…m；m≥n+1；ti為擬合的觀測歷元；t0為初始時間；n為擬合階數(shù)；m為參與一次擬合的歷元數(shù)。

由于衛(wèi)星到地球的距離對時間的四階導(dǎo)數(shù)或五階導(dǎo)數(shù)一般已經(jīng)趨近于零，所以，本文中多項式中的擬合階數(shù)n取4。則式(1)改為：

(2)

在實際計算時，選取前m個沒有周跳的觀測值代入式(2)，運用最小二乘法解算得到式中的系數(shù)的值a0,a1,…,a4，得到一次擬合結(jié)果，并根據(jù)擬合的殘差值vi計算中誤差σ。將第m+1個歷元代入擬合的曲線中，得到外推的載波相位觀測值并與實際值進(jìn)行比較，如果比較的結(jié)果絕對值大于3σ，則判斷第m+1歷元的相位觀測值中包含周跳，并將得到的外推值的整周部分代替觀測值中的整周部分，但小數(shù)部分不變，從而對第m+1歷元的相位觀測值進(jìn)行修復(fù)。如果比較結(jié)果的絕對值小于3σ，則判斷第m+1歷元沒有發(fā)生周跳，則不用進(jìn)行修復(fù),并對求差值前的歷元的觀測值進(jìn)行修復(fù)處理。經(jīng)過比較判斷后，舍棄第一個歷元的觀測值，加入第m+1歷元的修復(fù)的觀測值，代入式(2)，進(jìn)行下一歷元的判斷。然后繼續(xù)以上過程，直至最后一個觀測值為止。

1.2方法改進(jìn)

由接收機上直接讀取的相位觀測值，其中包含了許多誤差，主要包括：接收機鐘差、衛(wèi)星鐘鐘差、電離層延遲、對流層延遲、多路徑等。對于這些誤差可以利用差分的思想進(jìn)行消除或減弱,最簡單的方法是將衛(wèi)星接收的相位觀測值進(jìn)行歷元間求差[6]，將求差后的觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行多項式擬合，其擬合模型可表示為:

△φi=b0+b1(ti-t0)+b2(ti-t0)2+b3(ti-t0)3+b4(ti-t0)4

(3)

其中，△φi=φi+1-φi。

通過歷元間求差，電離層延遲、對流層延遲、多路徑等誤差基本被消除，且在兩個歷元間短時間的觀測中其他各種誤差變化值非常小，可以忽略，進(jìn)而有利于多項式擬合的進(jìn)行。

2　B-spline曲線插值原理

由于相位觀測值的觀測時間是等間隔的，可以用等參數(shù)三次均勻B樣條曲線擬合進(jìn)行插值，其模型為[7-9]：

(4)

其中，V1，V2，…，Vn+2為控制定點；函數(shù)Gj(t)為基函數(shù)且滿足以下條件：

(5)

其中，t[0,1]。

將式(5)代入式(4)，寫成矩陣形式為：

(6)

其中，i=1,2,…,n-1。

由式(4)、式(5)和式(6)可知，對于給定的n個觀測歷元的相位觀測值，由n-1段曲線進(jìn)行擬合，其中第i段的首末觀測值和控制定點的關(guān)系為：

(7)

為了避免邊界問題，令首末兩個觀測值和控制多邊形的首末頂替重合，并將第2個和第n-1個觀測值作為插值曲線的首末端點，則得到以下方程：

(8)

通過式(8)可以反算出控制頂點Vi(i=1,2,…,n)，將其代入到式(4)中可求出通過已知坐標(biāo)點的內(nèi)插后的三次均勻B樣條曲線。

3　綜合B-spline插值和多項式擬合法進(jìn)行周跳探測

為了消除或削弱接收機鐘差、電離層等的影響，在前述第1節(jié)中進(jìn)行了歷元間的差分，使得到的觀測值中電離層延遲、對流層延遲、多路徑等被削弱，而其他各種誤差的變化值也非常小，可以忽略。這樣更有利于進(jìn)行多項式擬合，提高了擬合的精度。

由文獻(xiàn)[6]可知，多項式擬合法探測周跳受載波相位觀測值誤差和采樣頻率的較大影響，應(yīng)用歷元間差分削弱了觀測誤差，而對于采樣頻率的問題，則可利用B-spline 曲線插值法將低采樣頻率的載波相位觀測值插值到1s或者0.1s等較高的采樣頻率，這有助于提高的擬合精度。但是，當(dāng)插值出的采樣頻率過高時，將會增加計算量，對于計算不利。基于此，并結(jié)合文獻(xiàn)[10]，將低采樣頻率的觀測值通過插值法插值到1s，在不增加觀測噪聲的情況下達(dá)到了高采樣率。

對于多項式擬合，擬合時運用的數(shù)據(jù)越多，則得到的擬合結(jié)果越精確。周跳探測時，首先進(jìn)行歷元間求差，組成新的觀測序列；提取前m個沒有周跳的觀測值，運用B-spline 曲線插值法進(jìn)行插值，將其插值到1s的采樣頻率；將插值后的數(shù)據(jù)代入式(3)，求出擬合系數(shù)，并計算中誤差σ；利用求得的多項式擬合系數(shù)外推下一歷元的相位觀測值，并將外推值與實際值進(jìn)行比較，判斷是否產(chǎn)生了周跳；對含有周跳的歷元利用前述1.1節(jié)的方法進(jìn)行修復(fù)；然后繼續(xù)上述過程，直到最后一個觀測歷元。

4　算例分析

為驗證改進(jìn)方法的可行性和有效性，選取了IGS站在2015年2月11日提供的G23衛(wèi)星的相位觀測值數(shù)據(jù)作為實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行處理分析。利用TEQC軟件進(jìn)行檢驗，原始觀測值中沒有周跳。

首先對采樣率為1s的觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理得到外推值與實際值之間的偏差如圖1所示。

由圖1可以看出，運用提出的新方法進(jìn)行數(shù)據(jù)的處理，得到的外推值與實際值之間的偏差絕對值大部分小于0.13周，可以探測出1周以內(nèi)的周跳。

運用TEQC軟件將此組數(shù)據(jù)生成采樣率分別為15s 、30s的觀測數(shù)據(jù)，運用新方法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，得到的外推值與實際值之間的偏差如圖2、圖3所示。

圖1　采樣率為1s的觀測數(shù)據(jù)外推值與實際值之間的偏差

圖2　采樣率為15s的觀測數(shù)據(jù)外推值與實際值之間的偏差

由圖2、圖3可以看出，運用新方法將15s、30s的觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行插值處理，得到的外推值和實際值之間偏差的絕對值在0.15周以內(nèi)，精度較高，對1周以上的周跳，可以進(jìn)行探測。為檢驗插值后的多項式探測周跳的性能，在差分?jǐn)?shù)據(jù)中人工模擬加入周跳，然后利用新方法進(jìn)行周跳的探測。其中在采樣率為1s的第50 、2 500和4 500歷元處分別加入1周、10周和-10周的周跳；在采樣率為15s 、30s的觀測數(shù)據(jù)中的第50 、100和150歷元處分別加入1周、10周和-10周的周跳。加入人工模擬周跳后，在不同采樣率下利用多項式擬合結(jié)合B-spline 曲線插值法進(jìn)行探測周跳，其結(jié)果如圖4所示。

圖3　采樣率為30s的觀測數(shù)據(jù)外推值與實際值之間的偏差

(a) 采樣率為1s的觀測值的周跳探測

(b) 采樣率為15s的觀測值的周跳探測

(c) 采樣率為30s的觀測值的周跳探測

從圖4中可以看出，對于人工加入的模擬周跳，新方法都能夠準(zhǔn)確的探測出來。因此，將15s 、30s采樣率用于多項式系數(shù)求解的m個數(shù)據(jù)通過B-spline 曲線插值法插值到1s的數(shù)據(jù)采樣頻率，其結(jié)果能夠探測1周以上的周跳并修復(fù)。

5　結(jié)論

提出的基于多項式擬合結(jié)合B-spline 曲線插值法進(jìn)行周跳探測的方法可以探測出1周以上的周跳并修復(fù)。利用歷元間求差的方法，既大大的削弱了電離層延遲和對流層延遲的影響，提高了觀測值的精度，同時也降低了數(shù)據(jù)的位數(shù)，減少了數(shù)據(jù)的計算量，更有利于計算編程。通過對低頻數(shù)據(jù)中每次擬合的前m個觀測值進(jìn)行B-spline 曲線插值，增加了擬合的數(shù)據(jù)，使得擬合更為精確，提高了周跳探測的能力。

由于本文采用的數(shù)據(jù)為IGS站提供的數(shù)據(jù)，而IGS站的觀測儀器及其觀測環(huán)境都比較優(yōu)越，因此，其周跳的探測結(jié)果較為理想化。對于實際測量中，應(yīng)根據(jù)測量環(huán)境的不同，采用不同的插值頻率，以更好地適應(yīng)實際測量情況，進(jìn)行周跳的探測和修復(fù)。

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A new modified cycle-slips detection method based on polynomial fitting method

LI Ke-zhao,WANG Yun-kai,ZHAO Lei-jie,LI Zhi-wei,WEI Jin-ben

(SchoolofSurveyingandLandingInformationEngineeringofHenanPolytechnicUniversity,Jiaozuo454000,China)

The polynomial fitting method is used widely to detect cycle slip for its easily computer programming and simple algorithm.As for its accuracy,it is restricted by the observation errors and the sampling rate.A new method which combines with polynomial fitting method and the B-spline curves interpolation is presented in this paper.This paper introduces the mathematical theory and model.And finally a test is made to show the reliability of this new method.

B-spline;polynomial fitting method;difference;cycle-slip

2015-12-20

國家自然科學(xué)基金資助項目(41202245；41272373)

李克昭(1977—)，男，甘肅靖遠(yuǎn)人，博士，副教授。

王云凱(1988—)，男，河南淮陽人，碩士研究生。

1674-7046(2016)03-0063-06

10.14140/j.cnki.hncjxb.2016.03.012

P228.1

A