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    基于Ramp-型需求及混合指數(shù)分布變質(zhì)率的變質(zhì)性物品庫存系統(tǒng)的訂貨策略

    2016-08-18 10:31:40趙連霞
    系統(tǒng)管理學(xué)報(bào) 2016年6期
    關(guān)鍵詞:訂貨量缺貨訂貨

    趙連霞

    (上海大學(xué) 管理學(xué)院,上海 200444)

    在現(xiàn)代快速流轉(zhuǎn)的庫存管理中,對(duì)變質(zhì)性物品(如水果、蔬菜、藥品、化學(xué)品以及電子產(chǎn)品等)的庫存控制問題越來越引起流通企業(yè)、經(jīng)銷商的重視。這是因?yàn)?,如果忽略了物品的變質(zhì)或損耗將影響庫存成本,從而對(duì)企業(yè)的利潤產(chǎn)生重要影響,所以對(duì)于有關(guān)運(yùn)營系統(tǒng)的庫存控制問題的研究就不可能忽略這些因素。從已有的文獻(xiàn)來看,變質(zhì)性物品的庫存問題目前獲得了廣泛的研究。Whitin[1]最早對(duì)該問題進(jìn)行了探討,他主要考慮了時(shí)尚商品在規(guī)定存儲(chǔ)期末的變質(zhì)問題。Bakker等[2]對(duì)近年來變質(zhì)性物品的庫存模型的發(fā)展趨勢作了完整的綜述。

    Mandal等[3]、Wu等[4]和Manna等[5]研究了一類需求率為Ramp-型的變質(zhì)性物品的庫存模型,此需求類型在新的消費(fèi)品上市過程中最為常見,即需求率隨新消費(fèi)品上市時(shí)間推移而增至某一固定點(diǎn)時(shí)達(dá)到穩(wěn)定。Deng等[6]將文獻(xiàn)[3-4]中的研究條件擴(kuò)展到庫存系統(tǒng)的起始為缺貨的情形。閔杰等[12]則通過考慮隨時(shí)間變化的短缺量拖后率對(duì)庫存訂貨策略的影響,建立了一類具有一般形式的短缺部分拖后的庫存補(bǔ)充模型。李衛(wèi)元等[13]研究了允許缺貨情況下物品變質(zhì)率服從威布爾分布的庫存模型。劉斌等[14]研究了缺貨損失高于補(bǔ)貨成本易逝品的供應(yīng)鏈契約。孫靜春等[17]利用一類非線性成本庫存模型,建立了一個(gè)生產(chǎn)者-訂貨商兩級(jí)易逝品供應(yīng)鏈運(yùn)營模式,給出了供應(yīng)鏈參與各方在無合作、合作及一體化3種模式下的易逝品生產(chǎn)訂貨模型。Cheng等[7-8]對(duì)具有類梯形需求模式的變質(zhì)性物品庫存問題進(jìn)行了研究。更多的相關(guān)文獻(xiàn)可參考文獻(xiàn)[9-11,15-16,18]。

    上述文獻(xiàn)研究的庫存模型中所考慮的需求率僅為線性或分段線性需求的情形。在實(shí)際的庫存管理活動(dòng)中,需求率并不都是線性的,而是在一定時(shí)期內(nèi)可能是非線性增長的,在另一時(shí)期內(nèi)則可能是市場需求飽和的穩(wěn)定情況。同時(shí),當(dāng)庫存成本和變質(zhì)成本高于短缺成本時(shí),庫存短缺甚至是一種營銷策略。在庫存出現(xiàn)空缺期間,如果顧客愿意等待至下一次補(bǔ)貨時(shí)取得商品,廠商僅承擔(dān)缺貨損失,不喪失銷售機(jī)會(huì);但有時(shí)部分顧客會(huì)轉(zhuǎn)向購買其他商家的產(chǎn)品,原來的生產(chǎn)商則會(huì)遇到撤單現(xiàn)象,由此產(chǎn)生機(jī)會(huì)損失成本。因此,研究物品在現(xiàn)貨銷售和預(yù)銷售條件下,允許短缺且部分拖后的庫存控制有更加現(xiàn)實(shí)的意義。

    本文研究了Ramp-型需求條件下具有混合指數(shù)分布率的變質(zhì)性物品的庫存模型。在假設(shè)需求率為分段函數(shù)形式下,分別就庫存系統(tǒng)起始條件為備貨銷售和缺貨預(yù)銷售的情形建立了相應(yīng)的庫存模型,并且給出了模型的最優(yōu)庫存安排策略;同時(shí),通過數(shù)值算例給出了該庫存模型的最優(yōu)安排策略的實(shí)現(xiàn)過程。

    1 符號(hào)與假設(shè)

    本文庫存模型的建立用到以下記號(hào):

    D(t)—有限計(jì)劃時(shí)期內(nèi)的需求率,假設(shè)為Ramp-型,即

    其中:μ為需求拐點(diǎn);b為基本市場容量,為非負(fù)常數(shù);λ∈(0,1)為常數(shù)。

    I(t)— 時(shí)刻t的庫存量,0≤t≤T

    T— 固定的訂貨周期,t1為在訂貨周期內(nèi)存貨達(dá)到0的時(shí)刻,0<t1<T

    物品開始變質(zhì)的時(shí)間服從混合指數(shù)分布,物品的變質(zhì)率

    其中,

    允許短缺但產(chǎn)生部分延后,延后率為e-δx,其中,x為顧客等待時(shí)間,δ為正常數(shù)

    c1,c2,c3,c4—單位物品在單位時(shí)間內(nèi)的庫存費(fèi)用、變質(zhì)損失費(fèi)用、缺貨損失費(fèi)用和撤單損失費(fèi)用

    S,Q—每個(gè)訂貨周期內(nèi)最大庫存量和訂貨量

    Ci(t1),(i=1,3)—0≤t1≤μ單位時(shí)間平均費(fèi)用

    Ci(t1),(i=2,4)—μ≤t1≤T單位時(shí)間平均費(fèi)用

    2 現(xiàn)貨銷售條件下的系統(tǒng)庫存模型及分析

    根據(jù)符號(hào)及假設(shè),可得本文所研究的庫存系統(tǒng):系統(tǒng)在t=0時(shí)刻進(jìn)貨,訂購批量為Q,在[0,t1]時(shí)段庫存量由于需求和物品本身的變質(zhì)而下降,在t1時(shí)刻系統(tǒng)庫存量減少到0。由于經(jīng)銷商訂貨需求的變化,在時(shí)段[t1,T]內(nèi)發(fā)生缺貨且缺貨允許部分延后,故在[0,T]內(nèi)的庫存水平可用下述微分方程描述:

    邊界條件I(t1)=0。

    由于物品需求滿足Ramp-型,下面根據(jù)系統(tǒng)中庫存量為0時(shí)刻所處階段分為兩種情形:

    情形1當(dāng)t1≤μ時(shí),方程式(1)可表示為

    利用邊界條件I(t1)=0,解上述方程組,可得

    對(duì)于一個(gè)訂貨周期T,t=0時(shí)的庫存水平

    在時(shí)段[0,t1]內(nèi)的變質(zhì)損失量

    在時(shí)段[0,t1]內(nèi)總的庫存量

    在時(shí)段[t1,T]內(nèi)的缺貨總量

    在時(shí)段[t1,T]內(nèi)的失銷總量

    由式(5)~(8),即可得在條件t1≤μ≤T下,單位時(shí)間的平均費(fèi)用為

    對(duì)C1(t1)分別求關(guān)于t1的導(dǎo)數(shù),得

    其中,

    可得函數(shù)f(t1)存在唯一的零點(diǎn),不妨設(shè)為,即為=0,又由于

    故可得:

    引理1對(duì)于現(xiàn)貨銷售條件下的變質(zhì)性物品庫存系統(tǒng),當(dāng)0≤t1≤μ時(shí),若f(μ)>0,則平均費(fèi)用C1(t1)在∈(0,μ)獲得最小值;若f(μ)≤0,則平均費(fèi)用C1(t1)在t1=μ獲得最小值。

    最佳訂貨量

    情形2當(dāng)μ≤t1≤T時(shí),方程式(1)為

    利用邊界條件I(t1)=0,解得

    對(duì)于一個(gè)訂貨周期T,t=0時(shí)的庫存水平

    在時(shí)段[0,t1]內(nèi)的變質(zhì)損失

    在時(shí)段[0,t1]內(nèi)總的庫存量

    在時(shí)段[t1,T]內(nèi)的缺貨總量

    在時(shí)段[t1,T]內(nèi)的失銷總量

    由式(14)~(17),可得在條件μ≤t1≤T下單位時(shí)間的平均費(fèi)用為

    對(duì)C2(t1)求關(guān)于t2的導(dǎo)數(shù),得

    其中,

    可得函數(shù)f(t1)存在唯一的零點(diǎn),不妨設(shè)為,即為=0,又由于

    故可得:

    引理2對(duì)于現(xiàn)貨銷售條件下的變質(zhì)性物品庫存系統(tǒng),當(dāng)μ≤t1≤T時(shí),若f(μ)<0,則平均費(fèi)用C2(t1)在t1=∈(μ,T)獲得最小值;若f(μ)≥0,則平均費(fèi)用C2(t1)在t1=μ獲得最小值。

    因此,當(dāng)μ≤≤T時(shí),則最佳庫存量

    最佳訂貨量

    基于以上分析,可得[0,T]的現(xiàn)貨銷售條件下變質(zhì)性物品庫存系統(tǒng)的平均費(fèi)用為

    式中,C1(t1)和C2(t1)分別由式(9)、(18)確定。

    綜合以上分析,可得在現(xiàn)貨銷售條件下,允許短缺且部分延后的變質(zhì)性庫存系統(tǒng)的最優(yōu)訂貨策略:

    (1)輸入?yún)?shù)c1、c2、c3、c4、ai、p i、b、λ、μ、T。

    (2)求解方程f(t1)=0,不妨設(shè)所得解為,若∈(0,μ],則最佳訂貨量和最小費(fèi)用分別由式(10)、(9)確定;若∈(μ,T],則最佳訂貨量和最小費(fèi)用分別由式(19)、(18)確定。

    3 預(yù)銷售條件下的系統(tǒng)庫存模型及分析

    本節(jié)討論系統(tǒng)起始為預(yù)銷售情形。根據(jù)符號(hào)及假設(shè),庫存系統(tǒng)可描述為:庫存系統(tǒng)在t=0 時(shí)刻沒有庫存,因而經(jīng)銷商不能及時(shí)給訂單客戶供貨,直到上游制造企業(yè)在時(shí)刻t1給經(jīng)銷商補(bǔ)貨同時(shí)補(bǔ)足客戶訂單且?guī)齑媪窟_(dá)到最大S,訂購批量為Q,在[t1,T]時(shí)段庫存量由于進(jìn)一步需求和庫存變質(zhì)而下降,故在[0,T]內(nèi)的庫存水平可用下述微分方程描述:

    邊界條件I(0)=I(T)=0。

    由于物品需求為Ramp-型分段需求模式,下面根據(jù)系統(tǒng)中庫存達(dá)到最大時(shí)刻所在階段分為兩種情況:

    情形1當(dāng)0≤t1≤μ時(shí),方程式(21)為

    利用邊界條件I(0)=I(T)=0,解上述方程組,可得

    對(duì)于一個(gè)訂貨周期T,t=t1時(shí)的庫存水平

    在時(shí)段[t1,T]內(nèi)的變質(zhì)損失

    在時(shí)段[t1,T]內(nèi)總的庫存量

    在時(shí)段[0,t1]內(nèi)的短缺總量

    在時(shí)段[0,t1]內(nèi)的撤單總量

    則在條件0 ≤t1≤μ下,單位時(shí)間的平均費(fèi)用為

    將式(25)~(28)代入式(29),并求關(guān)于t1的導(dǎo)數(shù),可得

    可得函數(shù)g(t1)存在唯一的零點(diǎn),不妨設(shè)為,即為=0,因而有:

    引理3對(duì)于預(yù)銷售條件下的變質(zhì)性物品庫存系統(tǒng),當(dāng)0≤t1≤μ時(shí),若g(μ)>0,則C3(t1)在可獲得最小值,其中=0;否則,C3(t1)在t1=μ獲得最小值。

    最佳訂貨量

    情形2當(dāng)μ≤t1≤T時(shí),方程式(21)為

    利用邊界條件μ≤t1≤T,解上述方程組,可得

    對(duì)于一個(gè)訂貨周期T,整個(gè)庫存系統(tǒng)的庫存水平

    在時(shí)段[t1,T]內(nèi)的變質(zhì)損失

    在時(shí)段[t1,T]內(nèi)總的庫存量

    在時(shí)段[0,t1]內(nèi)的缺貨總量

    在時(shí)段[0,t1]內(nèi),由于缺貨而造成的撤單總量

    類似地,在條件μ≤t1≤T下,單位時(shí)間的平均費(fèi)用為

    將式(35)~(38)代入式(39),并求關(guān)于t1的導(dǎo)數(shù),即得

    則有

    又由于

    故h(t1)為一單調(diào)遞增函數(shù),因而可得:

    引理4對(duì)于預(yù)銷售條件下的變質(zhì)性物品庫存系統(tǒng),當(dāng)μ≤t1≤T時(shí),若h(μ)h(T)<0,則C4(t1)在t1=可獲得最小值,其中=0;否則,C4(t1)在t1=μ獲得最小值。

    因此,當(dāng)μ≤≤T時(shí),則最佳庫存量

    最佳訂貨量

    基于以上分析,可得[0,T]的預(yù)銷售條件下,變質(zhì)性物品庫存系統(tǒng)的平均費(fèi)用為

    式中,C3(t1)和C4(t1)分別由式(29)和(39)確定。

    綜合以上分析,可得預(yù)銷售條件下庫存系統(tǒng)的最優(yōu)策略算法:

    (1)輸入?yún)?shù)c1、c2、c3、c4、ai、p i、b、λ、μ、T。

    (2)求解方程g(t1)=0,不妨設(shè)所得解為,若∈(0,μ],則最佳訂貨量和最小費(fèi)用分別由式(33)、(29)確定;否則=μ。

    (3)求解方程h(t1)=0,不妨設(shè)所得解為,若∈(μ,T],則最佳訂貨量和最小費(fèi)用分別由(43)、(39)確定;否則,=μ。

    4 數(shù)值實(shí)例及靈敏度分析

    下面通過數(shù)值實(shí)例分析檢驗(yàn)最優(yōu)庫存策略的實(shí)施過程。

    例1假設(shè)某裝配企業(yè)計(jì)劃在一個(gè)周期內(nèi)(T=12)制訂某產(chǎn)品A 配件的訂貨計(jì)劃。單位配件每天的庫存保管費(fèi)c1=5$,變質(zhì)損失費(fèi)用c2=10$,缺貨損失費(fèi)用c3=12$,撤單損失費(fèi)用c4=4$,需求函數(shù)

    短缺延后率δ=0.2,變質(zhì)率函數(shù)有關(guān)參數(shù):

    假設(shè)在現(xiàn)貨庫存系統(tǒng)體系下,利用Mathematica 9.0 軟件計(jì)算可得:最佳缺貨點(diǎn)=1.316,最佳訂貨量Q*=116.385,最小費(fèi)用=278.394。

    假設(shè)在預(yù)銷售庫存系統(tǒng)體系下,利用Mathematica 9.0 軟件計(jì)算可得:最佳補(bǔ)貨點(diǎn)=7.812,最佳訂貨量Q*=201.371,最小費(fèi)用=571.836。

    表1 參數(shù)λ對(duì)缺貨點(diǎn)、最佳訂貨量和費(fèi)用的影響(現(xiàn)貨庫存系統(tǒng))

    表2 參數(shù)μ 對(duì)缺貨點(diǎn)、最佳訂貨量和費(fèi)用的影響(現(xiàn)貨庫存系統(tǒng))

    表3 參數(shù)δ對(duì)缺貨點(diǎn)、最佳訂貨量和費(fèi)用的影響(現(xiàn)貨庫存系統(tǒng))

    表4 參數(shù)λ對(duì)訂貨點(diǎn)、最佳訂貨量和費(fèi)用的影響(預(yù)銷售庫存系統(tǒng))

    表5 參數(shù)μ 對(duì)訂貨點(diǎn)、最佳訂貨量和費(fèi)用的影響(預(yù)銷售庫存系統(tǒng))

    表6 參數(shù)δ對(duì)訂貨點(diǎn)、最佳訂貨量和費(fèi)用的影響(預(yù)銷售庫存系統(tǒng))

    5 結(jié)語

    本文研究了Ramp-型需求條件下變質(zhì)性物品的庫存系統(tǒng)最優(yōu)策略模型。在假設(shè)需求率為有限容量的非線性函數(shù)形式下,分別就庫存系統(tǒng)起始條件為現(xiàn)貨銷售和預(yù)銷售情形下建立相應(yīng)的庫存優(yōu)化模型,并且給出了模型的最優(yōu)庫存策略。同時(shí),通過數(shù)值算例給出了該庫存模型的最優(yōu)庫存策略的實(shí)現(xiàn)過程。結(jié)果表明,生產(chǎn)商提供現(xiàn)貨銷售或缺貨銷售情況下,庫存系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)(如需求參數(shù)λ,需求拐點(diǎn)參數(shù)μ,缺貨延遲參數(shù)δ)對(duì)經(jīng)銷商的訂貨策略產(chǎn)生重要影響:當(dāng)需求參數(shù)較大時(shí),訂貨量將會(huì)增加,由此產(chǎn)生的庫存系統(tǒng)費(fèi)用在現(xiàn)貨銷售情況下變化較為明顯;當(dāng)缺貨延遲參數(shù)較大時(shí),訂貨量明顯減少,由此產(chǎn)生的庫存系統(tǒng)費(fèi)用在預(yù)銷售情況下變化較為明顯。因此對(duì)該類庫存問題深入研究能為庫存管理提供一些有益的啟示。

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