數(shù)學(xué)王國的探索者

杜月嬌

劉東文，浙江大學(xué)“青年千人計(jì)劃”特聘研究員。1987年1月生，安徽人。2002.09～2006.06，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)本科；2006.08～2011.06，香港科技大學(xué)博士；2011.08～2012.07，廈門大學(xué)助理教授；2012.0～2015.08，康涅狄格大學(xué)博士后。2015年9月就聘于浙江大學(xué)。主要研究方向是針對(duì)抽象調(diào)和分析、自守形和表示論做出了若干推廣。兼任美國數(shù)學(xué)會(huì)《數(shù)學(xué)評(píng)論》評(píng)論員、德國《數(shù)學(xué)文摘》評(píng)論員。2010年以來發(fā)表論文7篇，多次參加國家學(xué)術(shù)會(huì)議，并受邀在韓國高等研究院、日本九州大學(xué)、康涅狄格大學(xué)、耶魯大學(xué)、廈門大學(xué)、香港科技大學(xué)等地進(jìn)行學(xué)術(shù)報(bào)告?；貒蟪袚?dān)項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金項(xiàng)目“高維adele和算術(shù)曲面”（2013～2015）；浙江大學(xué)基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金項(xiàng)目“Loop Siegel-Weil公式和theta提升”（2016.1～2017.12）。

專家簡(jiǎn)介：

2010年8月19日，在印度海得拉巴市召開的第26屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，越南數(shù)學(xué)家吳寶珠獲得國際數(shù)學(xué)界大獎(jiǎng)——菲爾茨獎(jiǎng)。他“通過引入新的代數(shù)—幾何學(xué)方法，證明了朗蘭茲綱領(lǐng)自守形式中的基本引理”，該成果于2009年被美國《時(shí)代》周刊列為年度十大科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一。

“朗蘭茲綱領(lǐng)”“自守形”，同樣的關(guān)鍵詞，也出現(xiàn)在浙江大學(xué)“青年千人計(jì)劃”特聘研究員劉東文的履歷中。29歲的他，“研齡”不長(zhǎng)，卻折服于數(shù)論之魅力，做好了在自守形和表示論領(lǐng)域內(nèi)“打持久戰(zhàn)”的準(zhǔn)備。

享受“朗蘭茲”的江湖

2002年9月，15歲的劉東文走進(jìn)中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)少年班?！拔沂前不杖?，離中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)比較近，恰好我當(dāng)時(shí)也符合少年班的報(bào)考條件，就試了一下?！痹谟浾叩暮闷胬铮瑒|文并沒有講述一個(gè)神童的成長(zhǎng)故事，只是輕描淡寫地說了幾句。按照少年班的規(guī)矩，劉東文在學(xué)習(xí)了一年的基礎(chǔ)課之后，選擇了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方向。

“我更喜歡理論一點(diǎn)的東西。”他說，轉(zhuǎn)而又給記者分析起自己的研究方向。“表示論是一個(gè)很寬的理解方向，分支很多。一般來說，表示論其實(shí)是通過研究一個(gè)對(duì)象在另一個(gè)空間上的作用來研究對(duì)象本身?！边@種借力打力的方式，讓劉東文覺得趣味盎然。而自守形則是其中的核心方向，“對(duì)每一個(gè)素?cái)?shù)，比如3，你可以考慮三進(jìn)制數(shù)或者五進(jìn)制數(shù)等。也就是說，對(duì)每一個(gè)素?cái)?shù)，都可以考慮這個(gè)素?cái)?shù)上對(duì)應(yīng)的李群，以及它的表示。當(dāng)你把所有素?cái)?shù)的表示放在一起，最直接的意義就是可以去考慮這些表示的整體性質(zhì)，給出一個(gè)自守表示，得到一個(gè)L函數(shù)。我們的目的就是用表示論的方法去研究L函數(shù)的性質(zhì)?！?/p>

現(xiàn)在的劉東文，可以清晰直觀地去分析，但當(dāng)年的他卻只能一步步摸索。2006年6月，劉東文本科畢業(yè)，兩個(gè)月后，他前往香港科技大學(xué)繼續(xù)在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方面深造，師從朱永昌教授?！拔艺嬲臄?shù)學(xué)訓(xùn)練其實(shí)就是在香港科技大學(xué)攻讀博士學(xué)位那幾年開始的，在朱老師身上學(xué)到了很多東西，讓我懂得判別什么樣的數(shù)學(xué)是好的。”在朱永昌教授的建議下，劉東文選擇了無窮維李群。他在博士論文中研究了一般數(shù)域上loop群的拓?fù)浜痛鷶?shù)結(jié)構(gòu)，誘導(dǎo)了cuspidal Eisenstein級(jí)數(shù)，在Godemen條件下證明了常數(shù)項(xiàng)的絕對(duì)收斂，從而證明了級(jí)數(shù)本身的幾乎處處收斂性。他們還計(jì)算并討論了常數(shù)項(xiàng)和傅里葉系數(shù)。“一直以來，大家做的都是有限維李群方向，無窮維李群方向的研究人群很少，是屬于比較新的進(jìn)展?！?/p>

眾所周知，Eisenstein級(jí)數(shù)在自守形理論中起到非常重要的作用。它不僅決定了自守形空間的連續(xù)譜，而且還通過取留數(shù)可以給出離散譜中所有的非cuspidal表示。另一方面，著名的Langlands-Shahidi方法對(duì)Langlands functoriality和拉馬努金猜想都有重要的應(yīng)用，然而卻只能夠解決有限的幾種情況。為了得到更廣泛的結(jié)果，Garland首先提出把Eisenstein級(jí)數(shù)的理論推廣到無窮維Kac-Moody群上，并對(duì)affine Kac-Moody群，也就是所謂loop群在有理數(shù)域的情況奠定了基礎(chǔ)。基于Garland的這個(gè)想法，近年來關(guān)于loop群上的Eisenstein級(jí)數(shù)理論取得了很多進(jìn)展，并且在表述論和數(shù)論領(lǐng)域吸引了越來越多的注意。為了將來在數(shù)論上的應(yīng)用，首先需要建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摶A(chǔ)，那么第一個(gè)步驟則是研究loop群上的測(cè)度理論和Eisenstein級(jí)數(shù)的解析性質(zhì)。在這種背景之下，劉東文在博士期間去挖掘loop群上Eisenstein級(jí)數(shù)的常數(shù)項(xiàng)和傅里葉系數(shù)具有非常重要的意義。如果考慮從Borel子群誘導(dǎo)出的Eisenstein級(jí)數(shù)，那么其常數(shù)項(xiàng)由所謂的affine Gindikin-Karpelevich公式給出。在有限維的情況下，Gindikin-Karpelevich公式就是Langlands-Shahidi方法的起點(diǎn)。

“這里面，我們所關(guān)心的朗蘭茲綱領(lǐng)，從某種意義上說，是一種大一統(tǒng)理論。會(huì)把分析、數(shù)論、幾何等數(shù)學(xué)里不同的分支統(tǒng)一起來，去揭示數(shù)學(xué)里面一種很普遍的現(xiàn)象，甚至把一些看起來不相關(guān)的東西和算術(shù)聯(lián)系到一起。在有限維的群上，對(duì)于Langlands-Shahidi方法，我們能用的例子幾乎都用完了，很難再得到新的結(jié)果，所以考慮無窮維的群也是大勢(shì)所趨，因?yàn)榭梢杂懈嗟膶?duì)象可以利用，就會(huì)出現(xiàn)一些新的可能性?！眲|文的“可能性”，是回歸到解析性質(zhì)的研究，進(jìn)一步對(duì)級(jí)數(shù)本身的絕對(duì)收斂證明做出更加細(xì)致的分析。借鑒朗蘭茲綱領(lǐng)的技巧，他實(shí)現(xiàn)了對(duì)常數(shù)項(xiàng)和級(jí)數(shù)本身的比較，最終在一些條件下對(duì)一般數(shù)域的情況證明了Eisenstein級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂，并且猜測(cè)這些條件可以被放寬。這些結(jié)果將發(fā)表在Transactions of the AMS上。

這只是一個(gè)開始，隨著研究的進(jìn)展，劉東文在和L.Carbone，H.Garland，D.Gourevich，K-H.Lee，S.Miller等人的合作中，把Eisenstein級(jí)數(shù)理論推廣到了更一般的Kac-Moody群上。“ 我們?cè)贕odemen條件下證明了常數(shù)項(xiàng)在Tits cone上是絕對(duì)收斂的，并寫出了Gindikin-Karpelevich公式。特別地，對(duì)于秩為2的雙曲Kac-Moody群，我們得到了Eisenstein級(jí)數(shù)本身的收斂性，并證明了cuspidal Eisenstein級(jí)數(shù)是一個(gè)整函數(shù)。而對(duì)于一般的情形，我們收斂性的問題歸結(jié)到關(guān)于Kac-Moody代數(shù)和秩為3的Frenkel-Feingold代數(shù)。另外，我們對(duì)有限域上秩為2的Kac-Moody群的Eisenstein級(jí)數(shù)也做了一些有趣的工作。”他習(xí)慣用“有趣”來形容這些在檻外人看來異常艱深的研究，并繼續(xù)用朗蘭茲綱領(lǐng)舉例，“著名的費(fèi)馬大定理就用到了自守形表示，朗蘭茲綱領(lǐng)在其中起到了非常重要的作用?！彼J(rèn)為，這種作用極有創(chuàng)見性，需要去了解很多東西，當(dāng)不同的分支交叉起來，“你會(huì)看到不同的領(lǐng)域是怎樣被統(tǒng)一的”，他很享受這種過程。endprint

能夠應(yīng)用到“朗蘭茲綱領(lǐng)”的理論非常多，它們圍繞著自守形，形成了一個(gè)獨(dú)特的“江湖”。劉東文一直在其中探索新的應(yīng)用，在與Y.Zhu的合作中，他們?cè)诟匀坏臈l件下證明了loop辛群上theta函數(shù)的絕對(duì)收斂，并討論了它的模性質(zhì)。這項(xiàng)工作發(fā)表在Journal of Algebra。受到這一工作的啟發(fā)，他們觀察到一些punctured算術(shù)曲面上的向量叢的同構(gòu)類可以用loop群的算術(shù)商來刻畫，而定義在這些算術(shù)商上的theta函數(shù)可以理解為無窮維torus上的線叢的截面，從幾何的觀點(diǎn)給出了loop theta函數(shù)的解釋，發(fā)表在Mathematical Research Letters。而在對(duì)loop群結(jié)構(gòu)的研究中，他們分類了典型loop群的共軛類，并發(fā)表在Proceedings of the AMS上。

從算術(shù)曲面上尋求突破

上世紀(jì)50年代，著名的Tate's thesis中，J.Tate用局部緊群的調(diào)和分析理論和adele的語言來研究Hecke L函數(shù)的性質(zhì)，證明了它的解析延拓和函數(shù)方程。這一經(jīng)典工作可以視為現(xiàn)代自守形理論的基礎(chǔ)。而作為局部緊群調(diào)和分析理論的另一個(gè)代表性的應(yīng)用，A.Weil引入了Weil指標(biāo)和Weil表示，給出了二次互反律的解析證明。這些工作對(duì)現(xiàn)代表示論的發(fā)展產(chǎn)生了無法估量的深遠(yuǎn)影響。從數(shù)論和算術(shù)的觀點(diǎn)來看，經(jīng)典調(diào)和分析理論為整體域，也就是算術(shù)曲線的函數(shù)域的研究提供了有力的工具。

“我們的想法是希望用解析的方法來研究更高維的算術(shù)對(duì)象，在二維的情形，也就是算術(shù)曲面。”提到這個(gè)想法，又要說到Y(jié).Zhu了。依然是與之合作，劉東文將調(diào)和分析推廣到非局部緊致交換群，乃至比局部緊致交換群更高一層的范疇上?！邦愃朴谒腎nd-Pro范疇，我們把這個(gè)范疇叫做LCA（2）。LCA（2）里的對(duì)象非常豐富，比如它包含所有的二維局部域?！眲|文介紹。他們將這些對(duì)象引入了測(cè)度理論和Bruhat-Schwartz函數(shù)空間，從而可以進(jìn)一步定義傅里葉變換。他們也推廣了Weil指標(biāo)的概念，得到了曲面上的一些二次互反律?！拔覀儾孪?，另一個(gè)潛在的應(yīng)用可能會(huì)給出算術(shù)曲面某種形式的Riemann-Roch定理?！痹谟?jì)劃書里，劉東文認(rèn)真寫道。

對(duì)于一位數(shù)學(xué)研究者來說，方法是十分重要的，尤其是這種需要代入多個(gè)數(shù)學(xué)分支的研究。劉東文通過代數(shù)的方法，利用Milnor K理論和Kato余數(shù)同態(tài)等工具，在算術(shù)曲面上推廣了tame符號(hào)，并證明了這些局部定義在K群上的符號(hào)滿足若干互反律。在混合特征的情形下，給出了Kato余數(shù)同態(tài)的具體公式，還發(fā)現(xiàn)了它和Contou-Carrere符號(hào)的密切聯(lián)系，發(fā)表在Advances in Mathemtics上。

這些都是對(duì)無窮維代數(shù)群上自守形的研究，但劉東文并非只抱定無窮維，相反，他對(duì)傳統(tǒng)的有限維代數(shù)群自守形理論也有所涉獵。對(duì)于同樣大小的dual pair酉群來說，從Rallis內(nèi)積公式得到的zeta積分給出一些自守L函數(shù)的中心值，可以進(jìn)而對(duì)志村簇等一些算術(shù)對(duì)象提供有用的信息。劉東文的一項(xiàng)進(jìn)展，就是計(jì)算了實(shí)李群U（2，1）上的某種zeta積分。在計(jì)算過程中，他們一方面用joint harmonics來得到Weil表示的矩陣系數(shù)，另一方面用Schmid算子、Riemann微分方程和超幾何級(jí)數(shù)等工具來得到離散級(jí)數(shù)表示的矩陣系數(shù)。其中的公式由離散級(jí)數(shù)表示的Harish-Chandra參數(shù)給出。這是在現(xiàn)有文獻(xiàn)中所沒有出現(xiàn)過的新結(jié)果。

做起來會(huì)覺得枯燥嗎？當(dāng)記者在他的講解中忍不住有此一問時(shí)，劉東文老老實(shí)實(shí)地回答：“主要問題不是枯燥，是壓力比較大?！奔词寡旋g不長(zhǎng)，他也已經(jīng)深刻體會(huì)到，要做好一項(xiàng)理論研究，需要花費(fèi)很多時(shí)間和精力去做準(zhǔn)備，越是難的問題就需要越多的準(zhǔn)備，而且還不一定能夠做出結(jié)果。“我們要在發(fā)表文章的數(shù)量和質(zhì)量之間做選擇，真正做好需要對(duì)數(shù)學(xué)保持比較好的品位，不能為了發(fā)表文章就灌水。當(dāng)然，也不能從一開始就貿(mào)然去做一些特別大的問題，這也不現(xiàn)實(shí)。確定了自己認(rèn)為比較重要的方向之后，我們就需要一步步去積累。再龐大的理論系統(tǒng)，都是從一個(gè)個(gè)細(xì)節(jié)積累出來的。我要一邊學(xué)習(xí)，一邊做力所能及的問題，打好基礎(chǔ)。然后在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候去嘗試深入的研究。”

對(duì)他來說，這一領(lǐng)域本來就處于起步階段，盡管做出了一些很有意義的成果，并得到越來越多國內(nèi)外同行的關(guān)注，依然有很多的新的問題需要解決。而那廣闊的未知，將是他未來的發(fā)展空間。

挖掘潛力股

2011年6月，獲得香港科技大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)博士學(xué)位后，劉東文入聘廈門大學(xué)助理教授職位。一年后，遠(yuǎn)赴美國康涅狄格大學(xué)從事博士后研究，直到2015年9月回國至浙江大學(xué)任職。“現(xiàn)在國內(nèi)的工作環(huán)境越來越好，對(duì)科研項(xiàng)目的支持力度很大，回來是一個(gè)挺好的選擇。而選擇浙大，還有一個(gè)個(gè)人原因。”劉東文補(bǔ)了一句，“我太太是杭州人”。

新的學(xué)年開始，劉東文也在浙江大學(xué)基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金項(xiàng)目的支持下，開展起“Loop Siegel-Weil公式和theta提升”研究。

Siegel-Weil公式在上個(gè)世紀(jì)首先由Siegel和Weil給出，并在后續(xù)的工作中被很多表示論和數(shù)論的專家推廣到更一般的形式，其中代表性的工作由S.Kudla，S.Rallis， A.Ichino， W.T.Gan，S.Takeda，Y.Qiu，S.Yamana等人給出。loop群的情況目前唯一的結(jié)果則由H.Garland和Y.Zhu給出。而他們，正是劉東文的重要合作者。事實(shí)上，劉東文此前的工作，也為該項(xiàng)研究提供了必要的工作基礎(chǔ)，而H.Garland和Y.Zhu也在工作中引用了他們的結(jié)果。

“我們首先希望把loop Siegel-Weil公式推廣到isotropic正交群的情形。這種情況下，對(duì)theta積分的收斂性問題，我們的主要解決方案是分別研究isotropic和anisotropic的部分，利用仿射李代數(shù)和李群的結(jié)構(gòu)來計(jì)算正交loop群上的軌道積分。我們打算應(yīng)用A.Weil的方法以及Garland-Zhu的推廣來比較loop Eisenstein級(jí)數(shù)和loop theta積分，得到它們的求和項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而證明Siegel-Weil公式。”采訪中，劉東文提到了“theta對(duì)應(yīng)和theta提升”問題，希望從局部和整體兩個(gè)層面上進(jìn)行研究，這些都基于A.Braverman和D.Kazhdan所研究的p進(jìn)制loop群的spherical Hecke代數(shù)和Satake同構(gòu)。endprint

從局部來說，劉東文要考慮的是p進(jìn)制域上的一對(duì)loop辛群和loop正交群。它們的spherical Hecke代數(shù)作用在Weil表示的Schwartz函數(shù)空間上并且互相交換。通過theta對(duì)應(yīng)，他們將構(gòu)造這兩個(gè)群的Hecke代數(shù)之間的同態(tài)，并討論其與Satake同構(gòu)的聯(lián)系。在有限維的情形下，這個(gè)同態(tài)在regularized Siegel-Weil公式的證明里起到重要的作用。劉東文要做的是將其推廣到loop Siegel-Weil公式中。

整體情況時(shí)，他要借助的就是從有限維正交群上的尖形式到loop辛群的theta提升了。在經(jīng)典的情形下，尖自守表示通過一個(gè)Witt tower的theta提升在首次出現(xiàn)的時(shí)候總是不可約表示?！霸趌oop情形，我們將考慮由有限維首次出現(xiàn)所給出的loop群?！比绻ㄟ^計(jì)算常數(shù)項(xiàng)證明出這一點(diǎn)，那么將成為loop群上第一個(gè)尖形式的例子，從而對(duì)loop自守形式的研究具有非常重要的意義。

“本項(xiàng)目的預(yù)期目標(biāo)包括在國際刊物上發(fā)表高水平的SCI學(xué)術(shù)論文4?5篇，拓展并完善表示論專業(yè)的研究團(tuán)隊(duì)和研究方向，培養(yǎng)表示論方向3?5名優(yōu)秀的博士生與碩士生，提高項(xiàng)目負(fù)責(zé)人的學(xué)術(shù)水平，并為申請(qǐng)國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目提供有力的支持?！表?xiàng)目書上的每一個(gè)字都是劉東文對(duì)未來的期許和承諾。他一直都清楚自己所做的是非常有潛力的工作。然而，也正是因?yàn)槿绱?，才需要面?duì)更大的挑戰(zhàn)。為此，他長(zhǎng)期與無限維李群、傳統(tǒng)自守形這兩個(gè)領(lǐng)域的專家都保持著合作與交流，香港科技大學(xué)朱永昌（博士導(dǎo)師）、康涅狄格大學(xué)Kyu-Hwan Lee（博士后導(dǎo)師）、耶魯大學(xué)Howard Garland、羅格斯大學(xué)Lisa Carbone，Steve Miller、紐約州立大學(xué)阿爾巴尼分校Cristian Lenart等，都是他的合作者。當(dāng)一切在浙江大學(xué)重新開始時(shí)，他也期望能夠?qū)⑦@種合作精神發(fā)揚(yáng)光大。“希望能夠在回國3年內(nèi)定期邀請(qǐng)國際專家到浙江大學(xué)進(jìn)行交流訪問，通過與同行互訪并進(jìn)行學(xué)術(shù)報(bào)告的方式來進(jìn)行學(xué)術(shù)研討，互相了解領(lǐng)域內(nèi)的進(jìn)展。條件成熟的情況下希望能夠下組織適當(dāng)規(guī)模的國際學(xué)術(shù)會(huì)議，邀請(qǐng)更多的學(xué)者共同交流，促進(jìn)學(xué)科的發(fā)展?！碑?dāng)然了，路要一步一步走，全新的2016年，劉東文回國后的事業(yè)也將全面展開。他已經(jīng)有了招收研究生的計(jì)劃，正如他一直所強(qiáng)調(diào)的，一個(gè)新的學(xué)科方向，需要很多人去共同努力，才能有長(zhǎng)足發(fā)展。

“從博士畢業(yè)到現(xiàn)在，我一直在打基礎(chǔ)，花很長(zhǎng)的時(shí)間去尋找值得做的問題。這個(gè)找問題的過程對(duì)我來說很長(zhǎng)很長(zhǎng)，雖然也發(fā)表了一些文章，但是我覺得水平還沒有到。接下來至少要奮斗10到15年，真正投入到更重要、更有價(jià)值的研究中去?！眲|文一語定出了自己未來的基調(diào)。endprint