最小二乘法的幾點(diǎn)研究

云南省會澤縣待補(bǔ)中學(xué)　浦　帥　王利娟

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最小二乘法的幾點(diǎn)研究

云南省會澤縣待補(bǔ)中學(xué)浦帥王利娟

最小二乘法是科學(xué)實(shí)驗(yàn)和統(tǒng)計工作中常用的一種數(shù)據(jù)處理方法，解決如何從一組測量值中尋求規(guī)律，其基本原理是：成對等精度測得一組數(shù)據(jù) ，找出一條最佳的擬合曲線，使這條擬合曲線上的各點(diǎn)的值與測量值的差的平方和在所有擬合曲線中最小，即從一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n）中尋找自變量x與因變量y之間的函數(shù)關(guān)系y=f（x）。由于觀測數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確，因此不要求y=f（x）經(jīng)過所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，只要求所在所有給定點(diǎn)xi上的偏差的平方和達(dá)到最小。

最小二乘法 歷史發(fā)展 數(shù)據(jù)擬合 多項(xiàng)式

一、引言

十八世紀(jì)，最小二乘法就由高斯首先創(chuàng)立，成功地應(yīng)用于天文觀測和大地測量工作中。三百年來，它已廣泛應(yīng)用于科學(xué)實(shí)驗(yàn)與工程技術(shù)。隨著現(xiàn)代電子計算機(jī)的普及與發(fā)展，這個古老的方法顯示出強(qiáng)大的生命力。

無論是經(jīng)濟(jì)管理、社會科學(xué)、醫(yī)學(xué)還是工程技術(shù)、工業(yè)實(shí)驗(yàn)往往會遇到這樣的情況：實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生n組數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），其中橫坐標(biāo)xi是明確的，而最小二乘法的目標(biāo)之一，根據(jù)使誤差的平方和最小的原則確定一個函數(shù)y=f（x），將這些變量聯(lián)系起來，從一類允許的函數(shù)中進(jìn)行選擇并最終確定它們的系數(shù)。選擇函數(shù)的可能性是多樣的，本文從線性函數(shù)和非線性函數(shù)以及多項(xiàng)式函數(shù)三種形式，給出函數(shù)y=f（x）的確定方法。

二、最小二乘法的基本原理和多項(xiàng)式擬合

三、最小二乘法的矩陣原理

四、多項(xiàng)式擬合

定義4 給定數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），在取定的函數(shù)類Φ中，求P(x)∈Φ，使誤差，1，…，n ）的平方和最小，即，從幾何意義上講就是尋求與給定點(diǎn)的距離平方和為最小的曲線y=P（x）。這樣就把函數(shù)P（x）稱為擬合函數(shù)或最小二乘解，求擬合函數(shù)P（x）的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。

五、一般最小二乘擬合

多項(xiàng)式擬合形式比較規(guī)范，方法也比較簡單，但在實(shí)際應(yīng)用中，針對所討論問題的特點(diǎn)，擬合函數(shù)可能為其他類型，如指數(shù)函數(shù)、有理函數(shù)、三角函數(shù)等，這就是一般最小二乘擬合問題。

六、總結(jié)

本文通過對最小二乘法的幾點(diǎn)研究全面介紹最小二乘法及其一些應(yīng)用，對于解決實(shí)際社會生產(chǎn)生活中的數(shù)據(jù)問題有著重要的作用。今后的學(xué)習(xí)和研究中我們將不斷深入探討，結(jié)合線性模型及正規(guī)方程的計算理論對數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律與問題，以彌補(bǔ)本文不足。

［1］賈小勇，徐傳勝，白 欣.最小二乘法的創(chuàng)立及思想方法［J］.西北大學(xué)學(xué)報，2006

［2］徐傳勝，呂建榮.亞伯拉罕·莫夫的概率思想與正態(tài)概率曲線［J］.西北大學(xué)學(xué)報，2006

ISSN2095-6711/Z01-2016-06-0182