曲線有共交點(diǎn)情境中定點(diǎn)問(wèn)題的探究

◇ 江蘇 顧天榮

曲線有共交點(diǎn)情境中定點(diǎn)問(wèn)題的探究

◇ 江蘇 顧天榮

在圓錐曲線問(wèn)題中常常設(shè)置這樣一類問(wèn)題情境:直線與一種曲線有2個(gè)交點(diǎn),而這2個(gè)交點(diǎn)恰恰又在另一個(gè)動(dòng)曲線的軌跡上,問(wèn)這個(gè)動(dòng)曲線是否過(guò)定點(diǎn).對(duì)于這類問(wèn)題如何處理、有何策略,值得深思和探索.

1 興趣引起:一道質(zhì)量檢測(cè)引發(fā)的思考

一次質(zhì)量檢測(cè)過(guò)程中筆者發(fā)現(xiàn)在一種曲線共交點(diǎn)問(wèn)題情境下定點(diǎn)問(wèn)題解決的過(guò)程比較煩瑣,于是激發(fā)了筆者對(duì)這類問(wèn)題求解規(guī)律的尋找.

例1 橢圓O的中心在原點(diǎn),長(zhǎng)軸在x軸,右頂點(diǎn)A(2,0)到右焦點(diǎn)的距離與它到左準(zhǔn)線的距離之比為不過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線交橢圓O于P、Q2點(diǎn).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)證明P、Q2點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方和為定值;

(3)過(guò)點(diǎn)A、P、Q的動(dòng)圓C,已知?jiǎng)訄A過(guò)A、B2定點(diǎn),求點(diǎn)B坐標(biāo).

(1)橢圓方程為x2＋4y2＝4.

(2)略.

(3)解題關(guān)鍵在于能夠?qū)懗鰟?dòng)圓C的方程,在圓心和半徑不明確或不易用參數(shù)表示時(shí),常會(huì)選擇圓的一般方程,因此可設(shè)動(dòng)圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,如何求解D、E、F是本題的難點(diǎn).經(jīng)過(guò)分析其實(shí)不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題的突破口:橢圓和動(dòng)圓C同時(shí)過(guò)P、Q2點(diǎn),而P、Q在直線上,聯(lián)想到直線與曲線交點(diǎn)問(wèn)題的求法(將直線與二次曲線聯(lián)立方程組,化為一元二次方程求解),因此,把橢圓和直線聯(lián)立、把動(dòng)圓和直線聯(lián)立化簡(jiǎn)后的一元二次方程對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例.

將橢圓與直線聯(lián)立得x2＋2mx＋2m2－2＝0.

將圓與直線聯(lián)立得

上述2方程同解,對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例,即

由式①得E＝3m－2D,又點(diǎn)A在圓上,所以F＝－2D－4,將此2式代入式②可得

2 追根溯源:尋找這類問(wèn)題高考的原型

透過(guò)上述問(wèn)題不難發(fā)現(xiàn)筆者選擇的方法關(guān)鍵在于利用了2曲線與同一條直線的共交點(diǎn),從而將交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線與曲線聯(lián)立方程組同解的問(wèn)題.筆者認(rèn)為這才是出題者的本來(lái)意圖.智慧是一代代傳承的,于是筆者試圖從模擬考卷和歷年的高考真題中搜尋這種問(wèn)題的高考原型.筆者在2008年的江蘇高考卷中到了這樣一道真題:其參考答案的解決思路即為2曲線與同一直線共交點(diǎn)時(shí),直線與曲線聯(lián)立所得的2個(gè)方程組同解,則所得一元二次方程的對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例.

例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的圖象與2個(gè)坐標(biāo)軸有3個(gè)交點(diǎn),經(jīng)過(guò)這3個(gè)交點(diǎn)的圓記為C.

(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍;

(2)求圓C的方程;

(3)圓C是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)證明你的結(jié)論.

3 反思升華:剖析簡(jiǎn)化計(jì)算的關(guān)鍵玄機(jī)

回顧這2道問(wèn)題,其基本思路與定點(diǎn)問(wèn)題解決的策略是相同的,即通過(guò)對(duì)動(dòng)曲線方程特征的分析來(lái)確定定點(diǎn).與以往最大的不同在于確定動(dòng)曲線方程的方式,這恰恰是這類問(wèn)題處理的最大特色和計(jì)算簡(jiǎn)化的關(guān)鍵玄機(jī).例2在確定動(dòng)圓方程中D、E、F時(shí),可將二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)以b來(lái)表示,再以點(diǎn)在圓上為橋梁建立3個(gè)方程組,求解D、E、F.當(dāng)我們實(shí)際操作后發(fā)現(xiàn),無(wú)論是計(jì)算層面還是思維層面都顯得無(wú)比復(fù)雜.首先,在計(jì)算層面,姑且不論三元方程組解題的計(jì)算量,就是帶參數(shù)的一元二次方程求解,也是相當(dāng)復(fù)雜,更不用說(shuō)求解圓的方程;其次,在思維層面上,尋找3個(gè)等量關(guān)系來(lái)建立方程組,并不是每次均可用點(diǎn)在曲線上來(lái)處理,比如例1就需要3種不同的關(guān)系:點(diǎn)在圓上、圓心在PQ垂直平分線上、根與系數(shù)的關(guān)系,這樣的思維量對(duì)于處在考場(chǎng)中的學(xué)生而言實(shí)在太大.反觀利用曲線共交點(diǎn)—方程同解—對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例,我們處理的思維運(yùn)算只有一個(gè),即方程同解、對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例.若把前一種稱為復(fù)合思維,而這種方式僅僅是一種單向思維,思維運(yùn)算的程度被大大簡(jiǎn)化.

江蘇省興化市文正實(shí)驗(yàn)學(xué)校)