非彈性結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)及概率位移需求分析實用方法

尹犟，周先雁，易偉建，陳伯望，段紹偉

（1. 中南林業(yè)科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖南 長沙，410004；2. 湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙，410000）

非彈性結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)及概率位移需求分析實用方法

尹犟1，周先雁1，易偉建2，陳伯望1，段紹偉1

（1. 中南林業(yè)科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖南 長沙，410004；2. 湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙，410000）

探討常規(guī)Pushover分析法的優(yōu)劣，介紹改進后的模態(tài)Pushover分析法（即改進MPA法）。基于概率統(tǒng)計理論和Pushover分析法的基本思想，分別推導(dǎo)2種分析多自由度結(jié)構(gòu)非彈性隨機地震反應(yīng)和概率位移需求的實用方法。方法Ⅰ采用常規(guī)POA方法將多自由度結(jié)構(gòu)等效為單自由度體系，而方法Ⅱ則主要基于改進的 MPA法。研究結(jié)果表明：采用方法Ⅰ估計所得結(jié)構(gòu)頂點位移需求概率接近Monte Carlo數(shù)值模擬結(jié)果，采用方法Ⅱ估計所得結(jié)構(gòu)層間位移需求概率與概率IDA法的分析結(jié)果基本吻合。這2種方法具有準(zhǔn)確、高效且便于操作的優(yōu)點，與大量非線性時程分析為基礎(chǔ)的數(shù)值方法相比，其復(fù)雜程度低，運算效率高。

非彈性結(jié)構(gòu)；隨機地震反應(yīng)；概率地震需求；位移需求

作為世界地震工程領(lǐng)域的權(quán)威研究機構(gòu)，美國太平洋地震工程研究中心（PEER）認(rèn)為［2］，基于性能的抗震工程（performance-based seismic engineering，PBSE）理論應(yīng)以概率可靠度為基礎(chǔ)，其最終分析結(jié)果應(yīng)表述為某個決策變量 DV超越某一期望值的概率。由于抗震工程領(lǐng)域存在眾多不確定因素，決策變量 DV顯然是1個隨機變量。目前估計結(jié)構(gòu)的隨機地震反應(yīng)可基于2類方法，即蒙特卡羅（Monte Carlo）數(shù)值模擬［3］和隨機振動理論。Monte Carlo數(shù)值模擬適用性廣泛，但其分析效率很低。隨機振動方法不需要重復(fù)進行繁瑣的數(shù)值模擬，然而，目前這類方法大都用于分析線彈性結(jié)構(gòu)的隨機地震反應(yīng)［4-5］，僅在少數(shù)情況下適用于非線性結(jié)構(gòu)體系［6-7］，且其誤差通常很難估計。與傳統(tǒng)的抗震理念不同，PBSE理論更重視結(jié)構(gòu)在強震作用下的最大非線性位移反應(yīng)，即結(jié)構(gòu)的位移需求［9-11］。為此，本文作者將Pushover分析（Pushover analysis，POA）方法、隨機振動理論、概率論以及數(shù)理統(tǒng)計方法有機地結(jié)合起來，在文獻(xiàn)［1］的研究基礎(chǔ)之上，建議幾種高效而實用的方法，用于估計多自由度體系（MDOFS，multi-degree-of-freedom systems）結(jié)構(gòu)在強震作用下的隨機位移反應(yīng)和概率位移需求。

1　改進的Pushover分析方法

確定MDOFS結(jié)構(gòu)在強震下的非線性地震需求往往要借助于非線性動力時程分析，該方法建模復(fù)雜，運算成本高。近年來，出現(xiàn)一類確定結(jié)構(gòu)非彈性地震響應(yīng)的近似方法，即 POA方法［12-13］。這類方法計算簡便且精度較高，在抗震領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。

本文開發(fā)的實用概率方法借助 POA方法的一些基本假定，將復(fù)雜MDOFS結(jié)構(gòu)等效為1個單自由度體系SDOFS（single-degree-of-freedom system），因而其準(zhǔn)確性必然會受到POA方法自身精度的影響。研究表明［14］，常規(guī) POA方法根據(jù)結(jié)構(gòu)的一階彈性振型確定水平加載模式和形狀向量，主要適用于地震反應(yīng)以一階振型為主的結(jié)構(gòu)。為擴大POA方法的應(yīng)用范圍，一些學(xué)者［15-16］對其進行了改進，其中比較有代表性的是模態(tài)Pushover分析（MPA，modal Pushover analysis）方法［17-18］和自適應(yīng) Pushover分析 （APA，adaptive pushover analysis）方法［19-20］。MPA方法可同時考慮結(jié)構(gòu)多階振型響應(yīng)，顯著提高了對結(jié)構(gòu)頂點位移需求的估計精度，但對結(jié)構(gòu)樓層或?qū)娱g位移需求估計結(jié)果仍然偏低。APA方法要求在每一加載步之后對結(jié)構(gòu)進行1次振型分析，并根據(jù)振型分析結(jié)果實時調(diào)整結(jié)構(gòu)進入非線性狀態(tài)之后的剛度矩陣和水平加載模式。該方法雖然精度很高，但其計算極繁瑣，在實際工程中應(yīng)用受到限制。毛建猛等［21］分析了MPA方法和APA方法各自的優(yōu)點和局限性，提出一種改進的MPA方法。該方法明顯提高了對結(jié)構(gòu)層間及樓層位移的估計精度，且計算工作量遠(yuǎn)比APA方法的小，是一種準(zhǔn)確高效的POA方法。

綜合考慮計算效率和準(zhǔn)確性，開發(fā)實用概率方法主要基于常規(guī)POA和改進MPA方法進行SDOFS等效。與常規(guī)POA方法不同，改進MPA方法［22］首先明確定義了結(jié)構(gòu)屈服點，并以結(jié)構(gòu)的屈服點為界，采用修正的振型（并非彈性振型）荷載模式分2個階段對其進行Pushover分析。另外，改進MPA方法基于修正后的形狀向量將多自由度結(jié)構(gòu)等效為單自由度體系，并據(jù)此換算結(jié)構(gòu)的樓層（或?qū)娱g）位移。具體操作步驟如下。

1） 建立結(jié)構(gòu)分析模型，確定結(jié)構(gòu)各構(gòu)件關(guān)鍵截面的彎矩-曲率恢復(fù)力模型。

2） 通過模態(tài)分析得到結(jié)構(gòu)各項彈性動力特征參數(shù)（如基本周期T、質(zhì)量矩陣M、一階彈性振型向量Φ1等）。

3） 按一階彈性振型荷載模式Mψ1，對結(jié)構(gòu)逐級水平加載。每步加載完成后，判斷各構(gòu)件是否屈服，并據(jù)此修改各構(gòu)件及結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。加載直至結(jié)構(gòu)倒塌（整體剛度矩陣 det|K|＜0）或到達(dá)某一極限狀態(tài)，繪出結(jié)構(gòu)的基底剪力-頂點位移關(guān)系曲線，并根據(jù)等能量原理將其理想化為雙折線，見圖1。定義圖1中的轉(zhuǎn)折點為結(jié)構(gòu)屈服點，該點分別對應(yīng)結(jié)構(gòu)基底剪力屈服值和頂點位移屈服值。

4） 提取結(jié)構(gòu)屈服點處的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，再次對結(jié)構(gòu)進行振型分析，獲取其前幾階屈服振型和振型參與系數(shù)。

圖1　結(jié)構(gòu)屈服Fig. 1　Structural yield

5） 重新按修正的振型荷載模式 Mψi對結(jié)構(gòu)進行Pushover分析。首先取Mi為結(jié)構(gòu)第i階彈性振型，一旦結(jié)構(gòu)達(dá)到屈服點，則將其修正為第i階屈服振型，并繼續(xù)加載直至結(jié)構(gòu)破壞。繪出按修正振型荷載模式加載所得結(jié)構(gòu)前幾階基底剪力-頂點位移關(guān)系曲線（Pushover能力曲線）。

6） 設(shè)置形狀向量初始值為結(jié)構(gòu)的前幾階彈性振型，根據(jù)式（1）將原結(jié)構(gòu)等效為幾個單自由度體系。

式中：參數(shù)üg為地面運動加速度時程和qi分別為第i階等效單自由度體系的質(zhì)量、阻尼、恢復(fù)力及位移，計算式為

ψi為結(jié)構(gòu)的第i階彈性或屈服振型向量，其取值取決于結(jié)構(gòu)是否進入屈服狀態(tài)；I為單位向量；M，C 和Q分別為MDOFS結(jié)構(gòu)的樓層質(zhì)量矩陣、瑞利阻尼矩陣、樓層恢復(fù)力向量；uti為第i階結(jié)構(gòu)頂點位移；φ1i為第i階結(jié)構(gòu)頂點振型位移；Γi為第i階振型參與系數(shù)，）。

7） 根據(jù)非線性動力時程分析方法，確定前幾階等效單自由度體系的地震位移需求Sdi= max|qi|，并基于式（3）將 Sdi轉(zhuǎn)換為多自由結(jié)構(gòu)的第 i階頂點位移需求Dti。根據(jù)事先設(shè)定的形狀向量，計算結(jié)構(gòu)第i階振型樓層位移需求和層間位移需求，并采用SRSS方法估計結(jié)構(gòu)頂點位移、樓層位移和層間位移需求。

式中：Si和S分別為結(jié)構(gòu)的第i階地震效應(yīng)和前幾階地震效應(yīng)組合值。

8） 若估計所得結(jié)構(gòu)頂點位移需求小于其屈服值，則結(jié)構(gòu)仍處于彈性狀態(tài)，無需修正步驟6）和7）的分析結(jié)果。若不滿足上述條件，則需將形狀向量ψi設(shè)定為結(jié)構(gòu)的第i階屈服振型，并返回步驟6）開始重新迭代。

2　結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)分析實用方法

地震工程領(lǐng)域存在很多不確定因素（如地面運動的強度、持時及特征等），這些因素都會對結(jié)構(gòu)的隨機地震反應(yīng)產(chǎn)生影響，因此，結(jié)構(gòu)的最大非彈性位移反應(yīng)即結(jié)構(gòu)的非彈性位移需求必然是1個隨機變量。隨機分析的核心任務(wù)是確定隨機變量的前2階統(tǒng)計量，即均值和方差，而結(jié)構(gòu)的非彈性位移需求又是 PBSE理論關(guān)注的重點，因此，開發(fā)的實用方法主要用于估計MDOFS結(jié)構(gòu)非彈性位移需求的均值和方差。從理論上講，結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的隨機性不僅來源于地震動，而且與結(jié)構(gòu)計算模型的不確定性有關(guān)，如結(jié)構(gòu)質(zhì)量、阻尼、剛度、強度等。由于這些因素的影響通常較?。?3-24］，本文僅考慮地震動隨機性對結(jié)構(gòu)位移需求的影響。

文獻(xiàn)［1］基于一種改進的隨機地震動模型確定了平穩(wěn)化地震隨機激勵作用下SODFS位移需求Sdp的條件概率分布函數(shù)，其先決條件為我國 GB 50011—2010“建筑抗震設(shè)計規(guī)范”規(guī)定的場地類別和地震分組。對上述概率分布函數(shù)求導(dǎo)即為 Sdp的條件概率密度函數(shù)：

式中：fSdp（·）和fSae（·）分別為SDOFS非彈性位移需求和彈性加速度需求的條件概率密度函數(shù)，計算方法見文獻(xiàn)［1］；Sdp，Ay和T分別為SDOFS的非彈性位移需求（隨機變量）、屈服位移、特征周期；c為強度折減系數(shù)-延性系數(shù) （R-μ關(guān)系）回歸方程中的系數(shù)。確定了Sdp的條件概率密度函數(shù)后，運用數(shù)理統(tǒng)計方法即可求得Sdp的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，

式中：mdp和σdp分別為SDOFS彈塑性位移需求Sdp的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。實際計算時，可以將連續(xù)的隨機變量Sdp離散化，分成n個小區(qū)間，然后以求和代替積分進行數(shù)值計算。

考慮到真實的結(jié)構(gòu)大都為多自由度體系（MDOFS），而MDOFS結(jié)構(gòu)的隨機地震反應(yīng)分析無論是理論分析還是計算均十分復(fù)雜。本文在文獻(xiàn)［1］的研究成果基礎(chǔ)上，結(jié)合常規(guī)POA方法和改進MPA方法，建議 2種實用估計方法，用于準(zhǔn)確、高效地估計MDOFS結(jié)構(gòu)非彈性位移需求均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

1） 建議方法Ⅰ：① 采用與結(jié)構(gòu)第一階彈性振型成比例的荷載模式，按常規(guī)POA方法對結(jié)構(gòu)進行推覆分析；② 獲得結(jié)構(gòu)基底剪力-頂點位移關(guān)系曲線后，按彈性振型將原結(jié)構(gòu)等效為一單自由度體系；③ 根據(jù)式（6）和式（7）計算等效SDOFS位移需求的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，并按式（3）將其轉(zhuǎn)換為MDOFS結(jié)構(gòu)頂點位移需求的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；④ 根據(jù)所選形狀向量（一階彈性振型）將結(jié)構(gòu)頂點位移需求統(tǒng)計值折算為樓層或?qū)娱g位移需求的統(tǒng)計值。

2） 建議方法Ⅱ：① 按改進MPA方法的操作步驟對結(jié)構(gòu)進行推覆分析；② 獲得結(jié)構(gòu)基底剪力-頂點位移關(guān)系曲線后，按修正振型將原結(jié)構(gòu)等效為單自由度體系；③ 根據(jù)式（6）和（7）計算等效SDOFS位移需求的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，并按式（3）將其轉(zhuǎn)換為MDOFS結(jié)構(gòu)頂點位移需求的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；④ 根據(jù)修正的形狀向量（修正振型）將結(jié)構(gòu)頂點位移需求統(tǒng)計值折算為樓層或?qū)娱g位移需求的統(tǒng)計值。

3　結(jié)構(gòu)概率位移需求實用估計方法

概率地震需求分析的主要任務(wù)是評估結(jié)構(gòu)的地震需求參數(shù)PED在某一時間內(nèi)超過一定限值ped的概率，屬于PBSE理論框架中的核心組成部分。

式中：O表示結(jié)構(gòu)選址的先決條件，包含場地的位置、地質(zhì)條件等因素；D表示結(jié)構(gòu)設(shè)計方面的先決條件；IM為地震動強度指標(biāo)，受到地震動強度、特征及結(jié)構(gòu)特性等因素的綜合影響。P［ IM|O， D ］為IM的條件概率；P［ PED＞ped|O， D］為在給定O和D的先決條件下，PED超過限值ped的條件概率；P［ PED＞ped|IM］為在給定IM的先決條件下，PED超過限值ped的條件概率。式（8）所示概率方程的形式也是美國太平洋地震工程研究中心（PEER）推薦的表達(dá)方式。PED可以是局部參數(shù)，如構(gòu)件的力和變形；也可以是全局參數(shù)，如結(jié)構(gòu)的頂點、樓層或?qū)娱g位移需求。

顯然，地震需求參數(shù)PED是1個隨機變量，其不確定性不僅來自于地震動，而且受到結(jié)構(gòu)模型中眾多不確定性因素的影響。由于結(jié)構(gòu)模型的不確定性通常影響較?。?3-25］，本文研究不予考慮。

對于確定性的SDOFS，文獻(xiàn)［1］確定了其位移需求的條件概率分布模型，其先決條件為GB 50011—2010“建筑抗震設(shè)計規(guī)范”規(guī)定的場地類別和地震分組，為式中為 SDOFS非彈性位移需求的條件概率分布函數(shù)為SDOFS彈性加速度需求的條件概率分布函數(shù)。無論是在給定強度的地震動作用下，還是在50 a設(shè)計基準(zhǔn)期內(nèi)，均可由式（9）計算SDOFS在某一超越概率下的位移需求。

考慮到真實的結(jié)構(gòu)大都為MDOFS，且MDOFS結(jié)構(gòu)概率地震需求分析的復(fù)雜程度遠(yuǎn)比單自由度體系的高。本文建議如下實用方法估計MDOFS結(jié)構(gòu)的概率位移需求，即建議方法III。研究表明［14］，雖然常規(guī)POA方法對結(jié)構(gòu)樓層或?qū)娱g位移需求的估計誤差偏大，但該方法對結(jié)構(gòu)頂點位移需求的估計精度尚可。由于本文算例僅涉及結(jié)構(gòu)的頂點位移需求，為了簡化分析，建議方法III基于常規(guī)POA方法對MDOFS結(jié)構(gòu)進行等效，具體操作步驟如下。

1） 基于常規(guī)POA方法將MDOFS結(jié)構(gòu)等效為1 個SDOFS。

2） 對于一定的超越概率F，根據(jù)式（9）分2類情況估計等效SDOFS的位移需求Sdp。

求得超越概率為F的SDOFS位移需求Sdp后，根據(jù)改進MPA方法的操作步驟7），即可將其還原至超越概率為F的MDOFS結(jié)構(gòu)的頂點位移需求DF。另一方面，將Sdp除以SDOFS屈服位移xy便獲得超越概率F對應(yīng)的位移延性系數(shù)，即μ=Sdp/xy。

3） 根據(jù)一階彈性振型（即常規(guī) POA法的形狀向量），將DF折算為超越概率為F的MDOFS結(jié)構(gòu)樓層或?qū)娱g位移需求。

綜上所述，按上述步驟可以方便地確定任意超越概率F對應(yīng)的MDOFS結(jié)構(gòu)的頂點、樓層或?qū)娱g位移需求。另一方面，逆序執(zhí)行上述步驟亦可確定與一定位移或延性需求值相應(yīng)的超越概率F。

為了評估建議方法III的估計精度，下面算例同時列出概率增量動力分析的結(jié)果以進行比對。增量動力分析（incremental dynamic analysis，IDA）方法在抗震工程領(lǐng)域得到了廣泛運用［25-26］。對于結(jié)構(gòu)的概率地震需求分析，可采用如下方法建立概率IDA曲線：① 合理選擇結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵地震需求參數(shù)PED即某種最大地震反應(yīng)量，如最大頂點位移；② 合理選擇某個參數(shù)作為地震動的強度指標(biāo)IM，如地面運動峰值加速度APG；③ 按地震動強度指標(biāo)逐步增大地面運動加速度記錄的強度，對結(jié)構(gòu)進行動力時程分析確定每個地震動強度水平對應(yīng)的PED；④ 繪出IM和PED之間的關(guān)系曲線即為IDA曲線；⑤ 重復(fù)步驟①～④，并對所獲大量離散IDA曲線進行統(tǒng)計分析，就能確定結(jié)構(gòu)在任意超越概率F下的IDA曲線即概率IDA曲線。概率IDA方法是一種較精確的方法，但因其計算工作量十分龐大，實際應(yīng)用受到限制。

4　算例分析

為評估本文建議實用方法的準(zhǔn)確性，選擇2個框架結(jié)構(gòu)算例進行數(shù)值驗證。

4.1結(jié)構(gòu)模型

結(jié)構(gòu)I：3跨7層框架結(jié)構(gòu)，8度抗震設(shè)防區(qū)（0.3g）、Ⅱ類場地（第2設(shè)計分組）。該框架單跨6 000 mm，底層層高4 200 mm，標(biāo)準(zhǔn)層層高3 600 mm。梁、柱混凝土為C30級，縱筋為HRB335級，箍筋為HPB300級，梁、柱截面及配筋參數(shù)見表 1，樓面及屋面荷載布置見圖2。

分別按常規(guī) POA 方法（彈性振型荷載模式）及改進 MPA方法（修正振型荷載模式）對算例結(jié)構(gòu)進行Pushover分析。圖3所示為結(jié)構(gòu)的一階Pushover能力曲線?；诘饶芰吭恚?9］將其理想化為雙折線之后，可將原框架結(jié)構(gòu)分別等效為如下2個單自由度體系。

等效SDOFSⅠ：屈服強度為564 kN，屈服位移為52 mm，振型參與系數(shù)參與系數(shù)為1.29，等效質(zhì)量為430.800 t。

等效SDOFSⅡ：屈服強度為514 kN，屈服位移為47 mm，振型參與系數(shù)為1.38，等效質(zhì)量為385.900 t。

結(jié)構(gòu)Ⅱ：單層單跨框架結(jié)構(gòu)，8度抗震設(shè)防（0.2g），場地類別為Ⅱ類。將其成阻尼比為0.05的單自由度體系，等效質(zhì)量為200.000 t，彈性周期為1.0 s，屈服強度為 200 kN，采用雙線性恢復(fù)力模型（屈服后剛度系數(shù)取0.05）。

4.2本構(gòu)關(guān)系及計算方法

采用纖維梁、柱單元模擬梁柱端部截面的彎矩-曲率（轉(zhuǎn)角）非線性關(guān)系，指定鋼筋及混凝土纖維的材料本構(gòu)如下：1） 采用Kent-Park模型［27-28］模擬梁端混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系骨架曲線；2） 采用改進后的Kent-Park模型［28-29］（即Park模型）模擬柱端混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系骨架曲線；3） 混凝土應(yīng)力-應(yīng)變滯回關(guān)系采用頂點導(dǎo)向型，見圖4（a）；4）鋼筋應(yīng)力-應(yīng)變骨架曲線采用彈性-強化型，滯回關(guān)系為雙線性，見圖4（b）。

結(jié)構(gòu)的振型分析、Pushover分析及動力時程分析均采用美國南加州大學(xué)伯克利分校開發(fā)通用有限元分析程序OpenSees完成，動力時程分析的積分步長取為地面運動記錄時間步長的1/4，采用Newmark方法進行數(shù)值計算。

自行編寫Matlab程序完成等效SDOFS的非線性動力時程分析，其恢復(fù)力模型為雙線性（屈服后剛度系數(shù)α=0.05），見圖4 （b）。

4.3分析結(jié)果及討論

4.3.1隨機地震反應(yīng)分析

表1　7層框架梁柱尺寸及配筋面積Table 1 Geometrical properties and reinforcements schedule for beam and column of 7-storey frame

圖2　7層框架樓層受力簡圖Fig. 2　Loading diagrams of 7-storey frame structure

分別采用建議方法I，Ⅱ和Monte Carlo數(shù)值方法，對7層框架結(jié)構(gòu)算例進行隨機地震反應(yīng)分析。分析中考慮 2種情況： 工況 1（8度罕遇地震作用下，APG=5 100 mm/s2）和工況2 （50 a設(shè)計基準(zhǔn)期內(nèi)）。數(shù)值模擬采用如下步驟進行。

圖3　7層框架1階能力曲線Fig. 3　1st order capacity curves of 7 storeys frame

工況 1：將所選Ⅱ類場地第2組共52條地面加速度記錄（文獻(xiàn)［1］中表2），統(tǒng)一縮放至APG=5 100 mm/s2，逐條輸入縮放后的加速度記錄進行結(jié)構(gòu)動力時程分析，統(tǒng)計分析全部時程分析結(jié)果即可得到算例結(jié)構(gòu)最大位移反應(yīng)（位移需求）的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

工況 2：由反函數(shù)法按極值Ⅱ型分布對APG進行1 000次隨機抽樣，將所選Ⅱ類場地第2組共52條地面加速度記錄（文獻(xiàn)［1］中表 2），統(tǒng)一縮放至每個 APG抽樣值；逐條輸入縮放后的加速度記錄進行結(jié)構(gòu)動力時程分析，統(tǒng)計分析全部時程分析結(jié)果即可得到算例結(jié)構(gòu)位移需求的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。表2所示為數(shù)值方法和建議方法的計算結(jié)果。

表2　7層框架頂點位移需求和層間位移需求的統(tǒng)計參數(shù)Table 2 Statistical parameters of roof displacement demands and inter-story drift demands for 7-story frame

圖4　混凝土和鋼筋的材料本構(gòu)Fig. 4　Constitutive relationship of concrete and bare

由表2可知：建議方法Ⅰ對頂點位移需求的估計誤差較小，未超過 8%；但對層間位移需求標(biāo)準(zhǔn)差的估計誤差卻達(dá)20%左右，顯得有些偏大。究其原因在于建議方法Ⅰ采用常規(guī)POA方法對MDOFS結(jié)構(gòu)進行等效，而常規(guī)POA方法假定結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)始終與一階彈性振型相關(guān)，這種近似假定對于準(zhǔn)確估計結(jié)構(gòu)的頂點位移需求影響有限，但就估計結(jié)構(gòu)的樓層或?qū)娱g位移需求而言，其影響程度不容忽視。

與建議方法Ⅰ不同，建議方法Ⅱ基于改進 MPA方法將MDOFS結(jié)構(gòu)等效為SDOFS，在一定程度上考慮了結(jié)構(gòu)屈服后動力特性的改變，顯著提高了對于結(jié)構(gòu)最大層間位移的估計精度（均值和標(biāo)準(zhǔn)差估計誤差均能控制在10%左右），完全可滿足工程應(yīng)用的需要。

4.3.2概率位移需求分析

在每個地震動強度（APG）水平處，按建議方法 III計算2個框架結(jié)構(gòu)算例（結(jié)構(gòu)Ⅰ和結(jié)構(gòu)II ）超越概率分別為2%，50%和98%的頂點位移需求，計算結(jié)果見圖5中實線。與此同時，采用52條地面加速度記錄（詳見文獻(xiàn)［1］中表2）分別對2個框架結(jié)構(gòu)算例進行IDA分析，分析結(jié)果見圖5中點劃線。對全部點劃線進行統(tǒng)計分析即為結(jié)構(gòu)頂點位移需求的概率IDA曲線，見圖5中虛線。圖5所示計算結(jié)果表明：建議方法誤差較小，其分析曲線與概率IDA曲線較吻合。

圖5　結(jié)構(gòu)頂點位移需求的概率IDA曲線Fig. 5　Probabilistic IDA curves of roof displacement demands for structures

采用建議方法III計算50 a設(shè)計基準(zhǔn)期內(nèi)，2個框架結(jié)構(gòu)算例頂點位移需求的概率分布函數(shù)。為驗證本文方法的準(zhǔn)確性，采用Monte Carlo數(shù)值方法對建議方法III的計算結(jié)果進行驗證。具體實施步驟如下：1）首先根據(jù)50 a設(shè)計基準(zhǔn)期內(nèi)APG的概率分布函數(shù)（極值II型），由反函數(shù)法生成一組APG抽樣數(shù)據(jù)（1 000個）；2） 將文獻(xiàn)［1］表2中Ⅱ類場地第2組52條地面運動記錄縮放至每個APG抽樣值；3） 采用縮放后的每條地面運動記錄對結(jié)構(gòu)Ⅰ和結(jié)構(gòu)Ⅱ進行動力時程分析，并對時程分析所得結(jié)構(gòu)頂點位移需求進行統(tǒng)計分析獲得其經(jīng)驗概率分布函數(shù)。研究結(jié)果表明：本文建議方法與Monte Carlo數(shù)值方法的分析結(jié)果較吻合，但計算工作量遠(yuǎn)比Monte Carlo數(shù)值模擬的工作量小。

5　結(jié)論

1） 常規(guī)POA方法對結(jié)構(gòu)樓層和層間位移的估計誤差偏大，但對于規(guī)則框架結(jié)構(gòu)頂點位移的估計精度仍在工程許可的范圍內(nèi)。改進 MPA方法以結(jié)構(gòu)屈服作為分界，考慮結(jié)構(gòu)屈服后動力特性的改變，分2階段對結(jié)構(gòu)進行推覆分析，對結(jié)構(gòu)樓層及層間位移需求的估計精度大大提高，且計算工作量遠(yuǎn)比ASPA方法的小，是一種準(zhǔn)確、高效的POA方法。

2） 基于SDOFS地震需求的概率分布函數(shù)和概率位移譜，結(jié)合POA方法和隨機振動理論，建議2種用于估計MODFS結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)的實用方法，該方法效率較高，精度滿足工程運用的要求。

3） 建議一種估計非彈性MODFS結(jié)構(gòu)概率位移需求的實用方法。該方法無需進行復(fù)雜的MODFS結(jié)構(gòu)動力時程分析，完全采用解析方法基于理論模型估計非彈性MODFS結(jié)構(gòu)的概率位移需求，估計結(jié)果和概率IDA法的分析結(jié)果較吻合，但復(fù)雜程度以及運算成本遠(yuǎn)比概率IDA方法的小。

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（編輯 陳燦華）

Practical method for random seismic response and probabilistic displacement demand analysis of inelastic structures

YIN Jiang1， ZHOU Xianyan1， YI Weijian2， CHEN Bowang1， DUAN Shaowei1

（1. College of Civil Engineering and Mechanics，Central South University of Forestry and Technology， Changsha 410004， China；2. College of Civil Engineering， Hunan University， Changsha 410000， China）

The benefits and limitations of conventional Pushover analysis（POA） method was studied， and the basic procedure of an improved modal pushover analysis （MPA） method was proposed. Based on probability statistical theory and the baisic principle of Pushover analysis method， two kinds of practical methods were proposed for analyzing random seismic response and probabilistic displacement demand of multi-degree-of-freedom inelastic systems. For the proposed methodⅠ， the multi-degree-freedom structure is equivalent to a single-degree-freedom system by using the conventional POA method. For the proposed method Ⅱ， the improved MPA method was used. The results show that the probabilistic demands of roof displacement obtained from proposed method Ⅰare very close to that from Monte Carlo method， and the probabilistic demands of inter-story drift derived from the proposed method II are basically close to those from the probabilistic IDA （incremental dynamic analysis） method. The recommended practical methods are accurate， efficient and easy to operate， and its complexity and calculation work are far less than those of numerical methods based on a large number of non-linear time-history analysis.

inelastic structures； random seismic response； probabilistic seismic demand； displacement demand

TU311.3；TU375.4

A

1672-7207（2016）04-1338-08

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.04.033

2015-04-10；

2015-06-12

國家林業(yè)公益性行業(yè)科研專項基金資助項目（201304504）；國家自然科學(xué)基金資助項目（51178175，51204215）；湖南省自然科學(xué)基金資助項目（13JJ5027）；教育部高等學(xué)校博士學(xué)科專項科研基金資助項目（20124321120006）（Project （201304504） supported by the National Forestry Science Research； Projects （51178175， 51204215） supported by the National Natural Science Foundation of China； Project （13JJ5027） supported by the Natural Science Foundation of Hunan Province； Project （20124321120006） supported by Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education of China）

周先雁，教授，從事工程抗震研究；E-mail：yinjiang2013@outlook.com