基于維納過程的維修決策和備件庫存聯(lián)合優(yōu)化

蔡　景, 肖羅椿, 李　鑫

(南京航空航天大學民航學院, 南京 211106)

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基于維納過程的維修決策和備件庫存聯(lián)合優(yōu)化

蔡景, 肖羅椿, 李鑫

(南京航空航天大學民航學院, 南京 211106)

為了降低設備運營總成本,充分發(fā)揮視情維修的優(yōu)勢,開展了設備的視情維修決策與備件庫存量的聯(lián)合優(yōu)化研究。首先,采用Wiener過程建立了退化模型,估計了設備退化參數(shù)和剩余壽命;以此為基礎,為充分利用剩余壽命的信息價值,引入預約備件的概念,選用遺傳算法和蒙特卡羅相結合的方法,建立了以庫存參數(shù)、預防性檢測閾值和預約備件剩余壽命閾值為變量,以部件平均費用率最小為目標的維修與備件的聯(lián)合優(yōu)化仿真模型;最后,通過實例比較分析,表明聯(lián)合優(yōu)化方法大大地降低了維修和備件總成本,驗證了方法的可行性和有效性。

維修決策; 備件管理; 聯(lián)合優(yōu)化; 維納過程

0　引　言

大多數(shù)復雜系統(tǒng)中都存在對系統(tǒng)利用率、總運營成本等起重要影響的關鍵設備,文獻[1]給出了評判是否為關鍵設備的流程和標準。以民機為例,譬如發(fā)動機、輔助動力裝置件等都屬于關鍵設備,其相關的維修及備件成本占到了整機運營成本的20%～30%,因此,在保證飛行安全的情況下,降低關鍵設備的維修和備件的成本一直是民用飛機追求的目標[2],而合理的維修決策和科學的備件庫存是實現(xiàn)這一目標的關鍵。

視情維修通過監(jiān)測部件狀態(tài),分析狀態(tài)發(fā)展趨勢,可以比較準確地預測其剩余壽命,從而合理、有效地安排維修,避免了過度維修和維修不足的問題,不僅提高了安全性,而且提升了維修效率,降低了維修成本,因此,視情維修已被越來越多地應用于維修決策與管理中,取得了大量的研究成果[3-5]。視情維修的優(yōu)勢不止于體現(xiàn)在維修決策與管理中,視情維修通過預測剩余壽命,還可以預測備件需求時間和需求量,為備件的訂貨、庫存量管理等備件支援問題提供了進一步優(yōu)化的空間。

目前,在視情維修決策時都假設備件是供過于求的,即執(zhí)行維修時不需要考慮是否存在備件短缺的問題;同時,在開展備件支援工作時假設備件需求服從某種分布,或假定備件平均需求量為平均非計劃拆換間隔時間(mean time between unscheduled repair,MTBUR)或平均故障間隔(mean time between failure,MTBF)的倒數(shù)等,忽略了維修策略與維修決策對備件需求量的重要影響。針對這一問題,已有學者進行了多種維修策略和備件策略的聯(lián)合優(yōu)化問題的探索研究。文獻[6]詳細總結了預定維修策略與備件管理聯(lián)合優(yōu)化的問題,指出目前學術界在視情維修與備件相結合的研究剛剛起步,不夠深入。文獻[7]在研究了僅有一個備件以及交付時間隨機情況下的單部件剩余壽命確定方法。文獻[8]研究了多部件系統(tǒng),利用馬爾可夫退化機制仿真部件劣化的情況,通過分別采用周期性和連續(xù)性庫存檢查策略,得出了維修與備件聯(lián)合優(yōu)化的有效性和合理性。從目前的視情維修決策與備件庫存量聯(lián)合優(yōu)化的文獻中可以看出,相關研究還處于起步階段,主要存在以下3個方面的問題:①備件策略過于簡單,不符合實際情況,且備件管理未充分利用部件的狀態(tài)信息;②備件訂貨時間的隨機性沒有考慮;③維修策略過于簡化,不符合實際情況。本論文對第一個問題開展研究。

只有將維修決策與備件支援進行聯(lián)合優(yōu)化才能更有效降低維修和備件總成本,充分發(fā)揮視情維修的優(yōu)勢;同時選取準確的退化模型是視情維修研究的關鍵問題之一,作為線性漂移的Wiener過程已被證實可用于描述多種典型設備的性能退化過程,并已在多個領域中得到應用,如設備腐蝕、機械振動[9]等。因此本文針對價格昂貴、訂貨周期長、且采用視情維修策略的多部件系統(tǒng),采用Wiener過程建立退化模型,利用遺傳算法和蒙特卡羅建立視情維修決策與備件庫存量的聯(lián)合優(yōu)化問題的隨機事件仿真模型;并引入預約備件的概念,在備件管理中充分利用剩余壽命的信息價值,以有效地降低備件的庫存費用。最后,通過實例比較分析,驗證方法的有效性和合理性。

1　基于Wiener過程的退化模型

1.1維納過程的基本模型

設系統(tǒng)由N個獨立的部件組成,各部件在其生命周期內(nèi)連續(xù)劣化,假設Xi(t)(i=1,2,…,N)表示部件i在t時刻的退化量,基于Wiener過程的隨機退化過程,{Xi(t),t≥0}可描述為

(1)

式中,B(t)是標準布朗運動,且有B(t)～N(0,t);λi和σi分別是部件i的漂移系數(shù)和擴散系數(shù),由于隨著使用時間的無限增加,部件將會失效,因此λi>0。對于同一類部件,如果不考慮個體差異,可認為這兩個系數(shù)是相等的。假定預先設定的失效閾值為w,因此部件i的壽命可定義為部件的退化量首次達到失效閾值w的時間Ti:

(2)

由式(2)可推導得到壽命T服從如下的逆高斯分布:

(3)

由此可得壽命T的期望和方差分別為

1.2基于維納過程的剩余壽命預測

基于維納過程的基本模型可知,如果已知部件的失效率λ值,就能求解出壽命的期望值。對于采用視情維修的部件而言,可以采用如下的方法[10]。假設在離散的時刻t1,…,tk檢測到部件的退化量分別為x1,…,xk,那么退化模型中的參數(shù)λ就可以通過極大似然估計的方法得到,如tk時刻的極大似然估計為

(4)

式中,t0=x0=0。

從當前時間tk到部件失效的剩余壽命(remainingusefullife,RUL)可定義為

(5)

可以得到剩余壽命Lk也是符合逆高斯分布,其剩余壽命期望值為

(6)

由此可知,通過檢測離散間隔時部件的退化量,進而估計出退化模型中漂移參數(shù)λ的值,最后可計算出剩余壽命的期望值。

2　維修決策與備件庫存量聯(lián)合策略

2.1維修策略

2.2維修策略

(S,s)策略是目前比較通用的備件策略,即倉庫內(nèi)能存放的最大備件數(shù)是S,當備件數(shù)下降到s時,發(fā)出訂購S-s個新備件的指令。假設備件單位時間的庫存持有成本為Ck,備件存放在倉庫里不會劣化。每個備件購買的成本為Cpart,備件從發(fā)出訂購訂單到到達倉庫的時間間隔為交付時間tl。目前的(S,s)備件策略較為被動,只在備件被消耗到一定程度后才會發(fā)起訂購,由于購買的備件需要tl的時間才能到達,一些復雜關鍵部件的交付時間甚至長達數(shù)周,如果交付時間內(nèi),多個同類型部件需要進行預防性或修復性維修,較低的安全庫存量很可能就無法應對。而維持較高的庫存則需要長期支付高昂的庫存費用。為此,本文在維修決策與備件庫存量優(yōu)化的基礎上,還采用了備件預約的概念,即當部件的剩余壽命下降到一個閾值時,該部件可向庫房預約一個備件,此時該備件就被該部件鎖定。除非有部件出現(xiàn)故障且無備件使用時,否則該備件僅供被預約的部件使用。相應的備件策略可優(yōu)化為:若cs-bs≤s則發(fā)出訂購備件訂單,其中cs為當前備件庫存量,bs為被預約的庫存量。圖1為維修決策與備件庫存量聯(lián)合策略的示意圖,反映了剩余壽命預測、預防性維修閥值、預約備件剩余壽命、備件庫存參數(shù)之間關系。

圖1　維修決策與備件庫存量聯(lián)合策略示意圖

3　仿真模型的建立

根據(jù)維修決策與備件庫存量聯(lián)合策略的分析可知,聯(lián)合優(yōu)化的目標是在保證安全(Δt

式中,fEC∞(Δt,tpr,tb,S,s)為平均費用率函數(shù)。由于模型非常復雜,通過建立目標函數(shù)與參數(shù)之間的關系式,得到優(yōu)化是結果是十分困難的。因此采用蒙特卡羅方法,對系統(tǒng)中的n個部件在m個單位時間內(nèi)的退化過程進行仿真,并建立如下的最小費用率與模型參數(shù)之間的仿真模型:

其中

式中,Npr,Nf,Nloss,Nk,Nor,Npa分別為仿真周期內(nèi)總的預防性更換次數(shù)、修復性更換次數(shù)、缺少備件的累積時間、備件累積的庫存時間、訂購備件的次數(shù)、備件積累購買數(shù)量。

由于需要優(yōu)化的參數(shù)多,而且參數(shù)間相互影響,僅用蒙特卡羅方法難以得到優(yōu)化結果并進行比較分析。為此,選用遺傳算法和蒙特卡羅仿真相結合的方法,以快速求解模型的近似最優(yōu)解,論文給出的聯(lián)合優(yōu)化模型的求解流程如圖2所示。

圖2　仿真流程圖

4　實例分析

4.1基于維納過程的剩余壽命預測

陀螺儀是慣性導航平臺的重要組成部分。在實際中,陀螺儀轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)勢必造成轉(zhuǎn)軸的磨損,隨著工作時間的累積,引氣漂移系數(shù)的增大和性能的退化,最終導致失效。因此,通過對陀螺儀退化數(shù)據(jù)的監(jiān)測,建立退化模型,評估陀螺儀的壽命,并預測其備件的需求,對提高系統(tǒng)的運行可靠性和降低綜合保障成本具有重要的意義。

首先,通過一組收集的3個陀螺儀漂移檢測數(shù)據(jù)來驗證本文提出的方法,該數(shù)據(jù)包括陀螺儀在實際使用過程中記錄的在72個不同狀態(tài)檢測時間點上的漂移系數(shù)數(shù)據(jù)。按照該陀螺儀的技術指標,選擇失效閾值為w=9度/天。按照通電時間來記,每隔一天檢測一次(即Δt=1天),具體的陀螺漂移檢測數(shù)據(jù)部分如表1所示。

表1　部分陀螺儀漂移檢測數(shù)據(jù)

根據(jù)表1中測得的數(shù)據(jù),可以對λ和σ進行參數(shù)估計,由于各個陀螺儀在制造時存在差異,因而在實際使用過程中的退化強度不同,根據(jù)式(4),各陀螺儀的漂移系數(shù)分別為:λi=[0.121,0.116,0.125],擴散系數(shù)相同,均為σ=0.05。由式(5)和式(6)可以預測陀螺儀的剩余壽命,其中陀螺儀1的漂移退化軌跡如圖3中的實線所示,圖3中的虛線則顯示了每個時間點上的部件剩余壽命的預測值。3個陀螺儀的實際失效時間和預測失效時間相差分別為4%、10%、9%,在可接受的范圍內(nèi)。

圖3　陀螺儀1的退化軌跡和期望壽命曲線

4.2系統(tǒng)參數(shù)

假定預防性更換費用Cpr=400元,陀螺儀失效后更換費用為Cf=2 000元,每個陀螺儀每單位時間的停機損失為Closs=3 000元,每個陀螺儀的購買成本為Cpa=800元,每次進行訂購的費用Cor=200元,每個陀螺儀每天的庫存費用為Ck=2元,每次檢查的費用為Cc=50元。

由于有3個陀螺儀需要維護,因此可初步設定最大庫存量S=5個,同時初步設定安全庫存s=1個。備件從下訂單到備件入庫的交付時間tl=30天,并假設整個仿真周期t為365天。

4.3遺傳算法優(yōu)化參數(shù)

設定種群大小為80,演化100代,染色體交叉的概率為0.8,染色體變異概率為0.05。在不考慮備件預約的情況下,聯(lián)合優(yōu)化的目標是得到最優(yōu)的最大庫存S,安全庫存s和剩余壽命閾值tpr,使得維修和備件的總費用率最低。通過對這些參數(shù)進行編碼后進行系統(tǒng)仿真,得到的結果如圖4所示。

圖4　未引入預約概念時的一次優(yōu)化結果

由于蒙特卡羅和遺傳算法的結果都帶有隨機性,因此本文采用了最小方差控制條件,即計算每次蒙特卡羅隨機仿真結果后的方差值,當方差值小于10-2時,認為結果是有效的。圖4中演化后期是一條水平直線,即表明演化結果已收斂,表明該值是最低平均費用率。后續(xù)的仿真也采用同樣的標準。

優(yōu)化結果表明最低平均費用率AveC=100.61元/天,優(yōu)化得到的參數(shù)組合為S=3個,s=2個,tpr=3天。即庫存最大值為3個,安全庫存量為2個,并在陀螺儀的漂移量超過閾值的前三天就進行預防性更換。

當引入備件預約的概念后,多了一個需優(yōu)化的參數(shù)tb。當陀螺儀的剩余壽命下降到tb時,且?guī)齑媪恳约耙呀?jīng)購買的備件數(shù)量不能滿足未來需求時,再次發(fā)出訂單購買備件。如圖5所示,為一次仿真優(yōu)化的結果,平均費用率為98.63元/天,最優(yōu)解為S=3個,s=1個,tpr=3天,tb=25天。相比未采用預約備件的策略節(jié)約了1.78元/天。

圖5　引入預約備件時有安全庫存的優(yōu)化結果

從是否考慮預約備件的不同優(yōu)化參數(shù)結果可見,采用了預約備件的策略后,安全庫存量減少了一個,由于提前預約備件,即使安全庫存降低了也同樣可以保障系統(tǒng)不出現(xiàn)故障停機的情況。同時,根據(jù)優(yōu)化結果可知,最低平均費用率與最大庫存量、安全庫存量成正相關關系,符合實際情況。表2給出了最大庫存量、安全庫存量與平均費用率之間的關系。

表2　不同庫存值下的平均費用率

引入預約概念后的優(yōu)化結果表明,當合理設置了剩余壽命閾值和預約備件時間點時,甚至可以舍棄安全庫存這個概念,即將安全庫存量設置為0,以S,tpr,tb為優(yōu)化對象,重新用遺傳算法進行優(yōu)化,結果如圖6所示。

圖6　引入預約備件時無安全庫存的優(yōu)化結果

引入預約備件時無安全庫存的優(yōu)化結果為:最低平均費用率AveC=97.7元/天,S=1個,tpr=4個,tb=37天。從表2中可以看出,低安全庫存量對應了低的平均費用率,這是因為低的安全庫存量意味著低的庫存量,即低的庫存費用。圖6給出了安全庫存量分別為0和2下的庫存量變化情況,其中實線為安全庫存量為0的情況,虛線為安全庫存量為2的情況。

從圖7可以看出,采用“0”安全庫存的策略時,全年庫存?zhèn)浼?shù)量基本為1個,而安全庫存量為2時,全年庫存?zhèn)浼臄?shù)量則基本維持在2個以上。

圖7　不同安全庫存下的庫存量變化比較

如果采用傳統(tǒng)的部件維修與備件供應分別優(yōu)化的方案,即部件的預防性維修剩余壽命閾值的最優(yōu)值是按照備件無限、且無需考慮備件的庫存費用的情況進行計算。即假定要求的缺貨概率小于0.01%,由式(3)～式(5)可得tpr=2天;另外按照陀螺儀往年數(shù)據(jù)可知,陀螺儀年均失效個數(shù)為15個,服從泊松分布,采用傳統(tǒng)的經(jīng)濟訂貨量模型,即

式中,EOQ為每次最佳訂貨量；D為年需求量；S為備件的訂貨成本；H為每件備件的年度平均存儲費用。

由于D=15,S=Cor=200,H=Ck×365=730,可得

所以,陀螺儀每次訂貨量為3個,每年訂貨15/3=5次。將以上單獨優(yōu)化的參數(shù),采用蒙特卡羅方法進行仿真,得到最低平均費用率為1 073元/天,大大高于聯(lián)合優(yōu)化的結果。可見,聯(lián)合優(yōu)化極大地降低了費用率,尤其在采用預約備件策略后,可進一步節(jié)約維修和備件的總費用。

5　結　論

本文提出了針對同類型多部件系統(tǒng)下周期檢測的視情維修決策和備件庫存量聯(lián)合優(yōu)化策略。首先采用Wiener過程描述部件的退化軌跡,由此進行壽命預測,在此基礎上考慮庫存策略和交付時間等備件策略因素,提出了備件預約概念,將備件管理更加緊密地與部件的狀態(tài)關聯(lián)在一起,以此建立了維修和備件平均費用率與部件檢測間隔、剩余壽命閾值、庫存大小參數(shù)等之間的仿真模型,數(shù)值仿真結果表明聯(lián)合優(yōu)化方法大大地降低了維修和備件總成本。因此,將視情維修決策與備件庫存量聯(lián)合管理、聯(lián)合優(yōu)化是降低設備運營總成本的有效方法。

[1]GodoyDR,PascualR,KnightsP.Criticalsparepartsorderingdecisionsusingconditionalreliabilityandstochasticleadtime[J].Reliability Engineering & System Safety, 2013, 119(1): 199-206.

[2]ChenJH.Researchonplanningandinventorymanagementofrepairablesparespartsinchineseairline[D].Beijing:BeijingJiaotongUniversity, 2010. (陳建華. 我國航空公司航材周轉(zhuǎn)件計劃與庫存管理研究[D]. 北京：北京交通大學, 2010.)

[3]GebraeelNZ,LawleyMA,LiR,etal.Residual-lifedistributionsfromcomponentdegradationsignals:aBayesianapproach[J].IIE Transactions, 2005, 37(6): 543-557.

[4]SiX,WangW,HuC,etal.Remainingusefullifeestimation-areviewonthestatisticaldatadrivenapproaches[J].European Journal of Operational Research, 2011, 213(1): 1-14.

[5]ChenD,TrivediKS.Optimizationforcondition-basedmaintenancewithsemi-Markovdecisionprocess[J].Reliability Engineering & System Safety, 2005, 90(1): 25-29.

[6]VanHorenbeekA,BuréJ,CattrysseD,etal.Jointmaintenanceandinventoryoptimizationsystems:areview[J].International Journal of Production Economics, 2013, 143(2): 499-508.

[7]LouitD,PascualR,BanjevicD,etal.Condition-basedsparesorderingforcriticalcomponents[J].Mechanical Systems and Signal Processing, 2011, 25(5): 1837-1848.

[8]PanagiotidouS.Jointoptimizationofsparepartsorderingandmaintenancepoliciesformultipleidenticalitemssubjecttosilentfailures[J].European Journal of Operational Research, 2014, 235(1):300-314.

[9]LiuWN,SunX,StephensE,etal.Lifepredictionofcoatedanduncoatedmetallicinterconnectforsolidoxidefuelcellapplications[J].Journal of Power Sources, 2009, 189(2): 1044-1050.

[10] Peng B H. Research on reliability modeling methods based on Wiener process[D]. Changsha: National University of Defense Technology, 2010. (彭寶華. 基于Wiener過程的可靠性建模方法研究[D]. 長沙: 國防科學技術大學, 2010.)

Joint optimization of maintenance decision and spare parts inventory based on Wiener process

CAI Jing, XIAO Luo-chun, LI Xin

(College of Civil Aviation, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 211106, China)

In order to reduce the operational cost and take full advantage of condition-based maintenance (CBM), the joint optimization of spare parts inventory and CBM decision is carried out. Firstly, the degradation model of the equipment is established with the Wiener process, and the degradation parameters and residual life are estimated. Secondly, the concept of appointment of spare parts is adopted to make full use of residual life information,and inventory parameters, inspection interval and appointment threshold are used as variables, the genetic algorithm and the Monte Carlo method are combined to set up a joint optimization simulation model of maintenance and spare parts to minimize the total cost rate. Finally, an example is analyzed, and the result shows that the joint optimization method greatly reduces the total cost of maintenance and spares part, which indicates the feasibility and effectiveness of the proposed method.

maintenance decision; spare part management; joint optimization; Wiener process

2015-09-06；

2016-01-19；網(wǎng)絡優(yōu)先出版日期：2016-03-04。

國家自然科學基金(61079013)；中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金(NS2015072)資助課題

TP 391

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.08.21

蔡景(1976-),男,副教授,博士,主要研究方向為可靠性維修性保障性工程、系統(tǒng)工程。

E-mail:caijing@nuaa.edu.cn

肖羅椿(1991-),男,碩士研究生,主要研究方向為可靠性維修性保障性工程。

E-mail:myqq381907223@qq.com

李鑫(1990-),男,博士研究生,主要研究方向為可靠性維修性保障性工程。

E-mail:lixin1990@nuaa.edu.cn

網(wǎng)絡優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160304.1650.012.html