基于最小二乘法的電力系統(tǒng)諧波與間諧波檢測方法

劉小林 扈羅全

摘 要：為能夠?qū)﹄娏ο到y(tǒng)中諧波與間諧波信號進行精確的檢測，提出一種基于最小二乘法的諧波與間諧波檢測方法。首先從數(shù)學理論和工程應用論證該方法在諧波與間諧波檢測中的可行性。該方法用最小二乘法對被測信號進行函數(shù)擬合，通過擬合函數(shù)的系數(shù)實現(xiàn)諧波與間諧波的檢測。通過對實際應用中典型信號的Matlab仿真表明，該方法能夠準確檢測諧波與間諧波分量的頻率、幅值和相位角，且計算量較小。通過對標準IEC 61000-4-7中兩種典型情況的分析表明，該方法能夠為需要精確測量諧波與間諧波分量的場合以及未來IEC 61000-4-7的修訂提供一種可選擇的方法。

關(guān)鍵詞：電力系統(tǒng)；諧波檢測；間諧波檢測；最小二乘法；條件數(shù)；曲線擬合

文獻標志碼：A 文章編號：1674-5124（2016）09-0031-05

0 引 言

近年來，隨著各種非線性電力電子設(shè)備在電力系統(tǒng)中的廣泛使用（如各種整流設(shè)備、交直流換流設(shè)備、電弧爐、可控硅整流設(shè)備、電子調(diào)速設(shè)備等），使大量的諧波間諧波電流注入電網(wǎng)，造成電網(wǎng)電壓畸變，供電質(zhì)量下降，嚴重危害供電設(shè)備、用電設(shè)備以及人的生命財產(chǎn)安全[1-2]。為使電網(wǎng)能夠安全運行，將諧波間諧波控制在安全的范圍內(nèi)，必須對電網(wǎng)中的諧波間諧波進行治理。

治理諧波間諧波的關(guān)鍵是對其進行準確有效的分析。從國內(nèi)外的現(xiàn)狀來看，目前主要的諧波間諧波的分析方法有：基于快速傅里葉變換（FFT）的方法[3-4]、基于小波的分析方法[5-6]、基于瞬時無功功率理論的檢測方法[7]與基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡的分析檢測方法[8]等。算法是一種全局的變換方法，能精確地檢測整數(shù)次諧波，但不能檢測非整數(shù)次諧波，而且伴有頻譜泄漏和柵欄現(xiàn)象，雖然出現(xiàn)了許多改進算法如插值、加窗等，但仍有許多不足；小波分析方法是時間窗和頻率窗都可改變的時頻局部化分析方法，其對信號分析具有自適應性，不僅適合于穩(wěn)態(tài)信號，也適合于時變信號的分析。但目前幾乎所有的小波函數(shù)在信號分析中都存在小波混疊和能量泄漏現(xiàn)象，使得其在諧波間諧波檢測中存在精度低、魯棒性差、分辨率低等問題；基于瞬時無功功率的檢測方法無法實現(xiàn)對間諧波的檢測且計算量大；基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡的檢測方法存在計算量大、實時性不強的缺點且應用于諧波間諧波問題的處理尚處在起步階段。結(jié)合上述討論與目前的研究現(xiàn)狀，提出基于最小二乘法的諧波與間諧波的檢測。

本文首先介紹最小二乘法原理；然后提出基于最小二乘法的諧波間諧波檢測算法，并通過結(jié)合數(shù)學理論與工程應用論證了該方法的可行性；最后通過對典型信號進行仿真，驗證該方法的有效性。

3 檢測算法的數(shù)學基礎(chǔ)

基于最小二乘法的曲線擬合進行諧波間諧波成分分析時，其系數(shù)矩陣G是必須考慮的重要因素。用最小二乘法擬合曲線時，系數(shù)矩陣通常是病態(tài)的。病態(tài)系數(shù)矩陣若有微小擾動，其解向量將產(chǎn)生巨大變化。病態(tài)系數(shù)矩陣對擬合曲線產(chǎn)生很大的誤差，使得基于最小二乘法的曲線擬合分析問題常不能得到正確的結(jié)果。在諧波間諧波的分析中，電磁環(huán)境中的擾動是不可避免的。在使用最小二乘法進行諧波間諧波分析時應確保其系數(shù)矩陣是非病態(tài)矩陣（即良態(tài)矩陣）。因此在用最小二乘擬合曲線對諧波間諧波分析時，對系數(shù)矩陣進行數(shù)學分析是必要的。

在選擇非病態(tài)矩陣時，相關(guān)資料中用條件數(shù)去刻畫。當A的條件數(shù)cond（A）ν相對地大時，矩陣是病態(tài)的；當A的條件數(shù)cond（A）ν相對地小時，矩陣是良態(tài)的。且對于任何非奇異矩陣A都有cond（A）ν≥1[9]。

由以上被測信號模型以及函數(shù)族{1，cosx，sinx，…，cosnx，sinnx}在區(qū)間[0，2π]上正交。由文獻[9]可知，在滿足采樣定理的條件下選擇數(shù)據(jù)區(qū)間的長度為2π的整數(shù)倍時，在一定精度下，經(jīng)計算可得其系數(shù)矩陣是對角陣，且其條件數(shù)cond（G）ν為1，可判斷其系數(shù)矩陣為良態(tài)矩陣。因此用最小二乘曲線擬合可對諧波間諧波進行有效分析。同時，在滿足采樣定理的條件下選擇數(shù)據(jù)區(qū)間的長度為2π的整數(shù)倍時，所得到的對角陣形式的系數(shù)矩陣，滿足工程應用。在工程應用中，逆矩陣的求解是一個很復雜的過程。特別是當矩陣的階數(shù)比較大時，在許多實時處理的場合，逆矩陣的求解已成為工程應用中急需解決的棘手難題。對角形式的系數(shù)矩陣的求逆是一個很簡單的過程，只需將對角線上的元素求逆即可，這大大簡化了逆矩陣的求解過程。通過理論和工程應用分析，最小二乘法曲線擬合可應用于電力系統(tǒng)諧波間諧波成分分析。

提高最小二乘法擬合函數(shù)中的頻率分辨率可以滿足一定精度電力系統(tǒng)諧波間諧波成分的測量。

4 檢測方法的仿真與分析

本文仿真基于Matlab平臺。通常在諧波發(fā)射測量過程中，3次諧波值對于評估諧波電流發(fā)射特性具有很好的代表性[12]?；诖耍隍炞C方法有效性的基礎(chǔ)上，本文選用含有3次、5次諧波及間諧波的典型信號進行仿真，即選用諧波間諧波頻率檢測范圍為1～300 Hz，在實際應用中可根據(jù)需要提高采樣頻率與擴大頻率檢測范圍來擴大諧波間諧波分量頻率測量范圍。為說明方法在實際應用中的價值，在對大量信號進行測試的基礎(chǔ)上，選用信號部分來源于IEC 61000-4-7[4]（在不影響驗證方法有效性的基礎(chǔ)上，對選用信號的頻率、幅值或相角進行了修改），部分來源于相關(guān)文獻。

4.1 標準IEC 61000-4-7中不含突變典型信號諧波間諧波的檢測

仿真信號實例y（t）來源于國際標準IEC 61000-4-7[4]，該信號為一個均方根值保持為23 V、頻率f3為178 Hz的通信信號疊加在系統(tǒng)中已存在頻率f1、 f2分別為150，250 Hz的3次和5次諧波（幅值均為11.5 V）之上的疊加信號，它們的初相角均為0°，如圖1所示。其表達式為

y（t）=11.5×■（sin（2πf1t）+sin（2πf2t））+

23■sin（2πf3t）（11）

其中，150 Hz與250 Hz分別為3次、5次高倍諧波分量；187 Hz為非線性元件產(chǎn)生的非整數(shù)次諧波分量即間諧波分量。

設(shè)置采樣頻率為1 000 Hz，采樣點數(shù)為1 000，時間窗口的寬度為1 s。檢測諧波間諧波分量的頻率范圍設(shè)置為1～300 Hz，頻率分辨率為1 Hz（即式（7）中的ω=2π）。滿足采樣定理以及數(shù)據(jù)區(qū)間的長度為2π的整數(shù)倍。應用最小二乘法擬合曲線對信號進行分析，得到其幅值相位表見表1。

由表可以看出在不含突變信號諧波間諧波的檢測中，該方法可以精確地檢測出諧波間諧波的頻率、幅值、相位角。

4.2 標準IEC 61000-4-7中含突變典型信號諧波間諧波的檢測

仿真信號來源于國際標準IEC 61000-4-7[4]，為說明方法的有效性，對其進行了適當?shù)男薷?。該信號為初相角?0°，有效值為3.54 V，頻率為150 Hz的3次諧波信號與在20個基波周期后出現(xiàn)的脈沖寬度為0.01 s的單位矩形脈沖信號的疊加信號。其時域波形如圖2所示。

設(shè)置采樣頻率為1 000 Hz，采樣點數(shù)為1 000，時間窗口的寬度為1 s。檢測諧波間諧波分量的頻率范圍設(shè)置為1～200 Hz，頻率分辨率為1 Hz（即式（7）中的ω=2π）。滿足采樣定理以及數(shù)據(jù)區(qū)間的長度為2π的整數(shù)倍。應用最小二乘法擬合曲線法對信號進行分析，得到其幅值相位表見表2。

由表可以看出，在含突變信號的諧波間諧波的檢測中，該方法可以準確檢測出頻率，對于幅值和相位角的檢測存在很小的誤差。由傅里葉變換理論可知，對于單位沖激信號其頻譜等于常數(shù)，也就是說，在整個頻率范圍內(nèi)頻譜函數(shù)是均勻分布的。對于矩形脈沖信號、其頻譜以Sa（■）的規(guī)律變化（其中τ為脈沖寬度），分布在無限的頻率范圍上。結(jié)合最小二乘法原理可知，在諧波間諧波的檢測中會存在較小的誤差。

4.3 實際應用中典型信號的檢測

仿真信號實例x（t）來源于文獻[13]，其表達式為

x（t）=15×■sin（2πf1t+θ1）+9.8×■sin（2πf2t+θ2）+

12×■sin（2πf3t+θ3）（12）

其中f1、 f2、 f3的頻率依次為250、287、300 Hz，初相角θ1、θ2、θ3依次為0°、90°、0°。

在該文獻中，利用國標GB/T 17626.7——2008[3]與標準IEC 61000-4-7[4]介紹的方法，測量誤差會超出國家標準要求的不大于5%的允許范圍，不能得到準確的測量結(jié)果，方法失效。

利用本文介紹的方法，設(shè)置采樣頻率為1 000 Hz，采樣點數(shù)為1 000，時間窗口的寬度為1 s。檢測諧波間諧波分量的頻率范圍設(shè)置為1～400 Hz，頻率分辨率為1 Hz（即式（7）中的ω=2π）。滿足采樣定理以及數(shù)據(jù)區(qū)間的長度為2π的整數(shù)倍。應用最小二乘法擬合曲線法對信號進行分析，得到其幅值相位表見表3。

由表可以看出該方法可以精確地檢測出諧波與間諧波的頻率、幅值、相位角。

通過對該方法的數(shù)學理論和工程應用的論證，以及由上述典型信號的仿真可以看出，在滿足采樣定理以及數(shù)據(jù)區(qū)間的長度為2π的整數(shù)倍時，對于需要較精確測量諧波間諧波頻率、幅值、相位角的場合，該方法具有明顯的實用價值。需要說明的是：在應用該方法時，對數(shù)據(jù)區(qū)間的長度提出了一定的限制要求，要求的數(shù)據(jù)窗口的長度較長，這是該方法在處理高精度要求的工程問題時一個瑕疵。關(guān)于在較短的時間窗進行處理將是今后的研究方向之一。

5 結(jié)束語

本文提出了一種諧波間諧波的檢測方法：用最小平方三角逼近多項式逼近被測信號進行諧波間諧波的檢測。在滿足采樣定理以及數(shù)據(jù)區(qū)間的長度為2π的整數(shù)倍時，通過利用函數(shù)族{1，cosx，sinx，…，cosnx，sinnx}在區(qū)間[0，2π]上的正交性，理論上論證了該方法的有效性。仿真實驗表明，在滿足理論要求的條件下，實際應用中該方法可以準確地檢測出諧波間諧波的頻率、幅值、相位角。與其他文獻介紹的方法相比，該方法在求解精度上具有明顯的優(yōu)勢。

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（編輯：劉楊）