橋梁監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)線性建模與可靠性預(yù)測(cè)

樊學(xué)平， 劉月飛， 呂大剛

(1.蘭州大學(xué) 西部災(zāi)害與環(huán)境力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,甘肅 蘭州 730000；2.蘭州大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州 730000；3.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150090)

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橋梁監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)線性建模與可靠性預(yù)測(cè)

樊學(xué)平1,2， 劉月飛1,2， 呂大剛3

(1.蘭州大學(xué) 西部災(zāi)害與環(huán)境力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,甘肅 蘭州 730000；2.蘭州大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州 730000；3.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150090)

摘要：引入貝葉斯動(dòng)態(tài)線性模型(BDLM)，建立橋梁監(jiān)測(cè)應(yīng)力的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程，并利用貝葉斯因子監(jiān)控監(jiān)測(cè)應(yīng)力.通過(guò)監(jiān)測(cè)應(yīng)力和應(yīng)力狀態(tài)的先驗(yàn)信息，對(duì)監(jiān)測(cè)應(yīng)力的狀態(tài)參數(shù)進(jìn)行貝葉斯后驗(yàn)概率推斷，并不斷進(jìn)行“概率預(yù)測(cè)-修正”遞推運(yùn)算，獲得最優(yōu)監(jiān)測(cè)應(yīng)力的狀態(tài)概率估計(jì)來(lái)預(yù)測(cè)橋梁的應(yīng)力.基于貝葉斯動(dòng)態(tài)修正的應(yīng)力概率模型，建立橋梁結(jié)構(gòu)可靠性的預(yù)測(cè)公式.最后，通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了本文所建模型的合理性和適用性.

關(guān)鍵詞：橋梁監(jiān)測(cè)應(yīng)力； 貝葉斯方法； 動(dòng)態(tài)線性模型； 折扣因子

橋梁在長(zhǎng)期服役過(guò)程中，結(jié)構(gòu)性能是不斷發(fā)生變化的，而且是不可逆的，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)可靠性不斷變化，因此評(píng)估和預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)性能是結(jié)構(gòu)時(shí)變可靠性研究的關(guān)鍵問(wèn)題.

對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行健康監(jiān)測(cè)，可以了解橋梁結(jié)構(gòu)的基本信息(如應(yīng)力、撓度等).橋梁健康監(jiān)測(cè)大致經(jīng)歷了2個(gè)階段[1]：第1個(gè)階段為橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的研究與開(kāi)發(fā)，目前已處于成熟階段；第2個(gè)階段為結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)信息的合理應(yīng)用，大量研究主要集中在模態(tài)參數(shù)識(shí)別、損傷識(shí)別、模型修正等領(lǐng)域[2].利用橋梁結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)測(cè)信息來(lái)預(yù)測(cè)和評(píng)定結(jié)構(gòu)的可靠性，在國(guó)內(nèi)外還處于研究的起步階段.

傳統(tǒng)確定性預(yù)測(cè)方法雖已有很多研究成果，但都存在一定的局限性[3-8].由于橋梁結(jié)構(gòu)的荷載效應(yīng)具有明顯的隨機(jī)性，因而采用可靠度預(yù)測(cè)方法是比較合理的.Catbas等[9]對(duì)一座大跨桁架橋體系可靠度進(jìn)行了評(píng)估分析，在此分析中提到監(jiān)測(cè)信息的趨勢(shì)項(xiàng)數(shù)據(jù)可以作為監(jiān)測(cè)信息的狀態(tài)數(shù)據(jù).

基于上述問(wèn)題及研究成果，本文認(rèn)為橋梁的監(jiān)測(cè)應(yīng)力隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)測(cè)量是一個(gè)時(shí)間序列，而貝葉斯動(dòng)態(tài)線性模型(BDLM)能夠?qū)崿F(xiàn)結(jié)構(gòu)監(jiān)測(cè)應(yīng)力的實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)，并能通過(guò)貝葉斯因子監(jiān)控監(jiān)測(cè)應(yīng)力，因此本文引入BDLM[10].考慮到橋梁結(jié)構(gòu)監(jiān)測(cè)應(yīng)力的時(shí)變特性，基于橋梁結(jié)構(gòu)的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)信息，建立單一BDLM、組合BDLM對(duì)結(jié)構(gòu)的可靠性進(jìn)行監(jiān)控與預(yù)測(cè)，并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證本文所提方法和所建模型的合理性和適用性.

1　BDLM

BDLM[10-16]是采用貝葉斯方法對(duì)動(dòng)態(tài)線性模型(DLM)進(jìn)行概率遞推而實(shí)現(xiàn)的.所謂動(dòng)態(tài)線性模型由2個(gè)方程構(gòu)成，即觀測(cè)方程與狀態(tài)方程.觀測(cè)方程表達(dá)了過(guò)程的觀測(cè)如何隨機(jī)地依賴于當(dāng)前的狀態(tài)參數(shù)；狀態(tài)方程反映了狀態(tài)參數(shù)如何隨時(shí)間變化，表示了系統(tǒng)內(nèi)部的動(dòng)態(tài)變化和隨機(jī)擾動(dòng).

1.1BDLM的基本假定

BDLM基于以下3點(diǎn)假設(shè)[10,16-18]：

(1) 狀態(tài)變量(θt,t=1,2,…,T)是一個(gè)馬爾科夫鏈，θt與θt-1成近似線性關(guān)系，T為監(jiān)測(cè)總時(shí)間.

(2) 觀測(cè)變量(yt,t=1,2,…,T)是相互獨(dú)立的，且yt只與狀態(tài)變量θt相關(guān)，yt與θt成線性關(guān)系.

(3) 狀態(tài)變量和觀測(cè)變量以及相對(duì)應(yīng)的誤差均服從正態(tài)分布.

狀態(tài)變量與監(jiān)測(cè)變量的遞推關(guān)系如圖1所示.

1.2廣義DLM

參考BDLM的定義[16]，本文定義t時(shí)刻的廣義DLM如下所示：

(1) 觀測(cè)方程

(1)

(2) 狀態(tài)方程

(2)

(3) 初始信息

(3)

廣義DLM包括觀測(cè)方程、狀態(tài)方程和初始狀態(tài)信息.為了構(gòu)造特定的DLM，必須構(gòu)造特定的狀態(tài)方程.

1.3狀態(tài)方程的建立

由于狀態(tài)方程的不可觀測(cè)性，結(jié)合Catbas等[9]提到的監(jiān)測(cè)信息的趨勢(shì)項(xiàng)數(shù)據(jù)可以作為監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的狀態(tài)數(shù)據(jù)，本文采用2種方法構(gòu)造狀態(tài)方程，即一階多項(xiàng)式回歸模型和AR(1)模型，它們都可以反映相鄰時(shí)刻信息之間的關(guān)系.

1.3.1基于一階多項(xiàng)式回歸模型的狀態(tài)方程

監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的一階多項(xiàng)式回歸模型為

(4)

式中：r、et為回歸系數(shù).

式(4)的一階差分方程

(5)

可認(rèn)為是離散的運(yùn)動(dòng)方程.其中，r為趨勢(shì)項(xiàng)數(shù)據(jù)的變化率，可以通過(guò)式(4)回歸得到；det為誤差項(xiàng).為了便于簡(jiǎn)化，將短時(shí)間區(qū)間(t-1,t)的離散運(yùn)動(dòng)方程表示為

(6)

即

(7)

為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化，假定短時(shí)間區(qū)間為1天，因而式(7)可以近似簡(jiǎn)化為

(8)

式(8)可以用來(lái)近似構(gòu)造BDLM的狀態(tài)方程.

1.3.2基于AR(1)模型的狀態(tài)方程

基于(t-1)時(shí)刻以及以前的監(jiān)測(cè)信息，自回歸AR(1)模型可以預(yù)測(cè)t時(shí)刻的監(jiān)測(cè)值.此模型只體現(xiàn)了相鄰時(shí)刻監(jiān)測(cè)信息之間的關(guān)系，因而采用AR(1)模型可以近似構(gòu)造狀態(tài)方程.

(1) AR(1)模型

(9)

式中:φ為回歸系數(shù).

(2) 基于AR(1)模型的狀態(tài)方程

基于式(9)，監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的狀態(tài)方程可以表示為

(10)

其中,φ可以通過(guò)式(9)得到，ωt主要考慮狀態(tài)轉(zhuǎn)移的不確定性.

2　基于BDLM的橋梁健康監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)建模

本節(jié)主要基于BDLM對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析，分為以下2種情況：①對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的單個(gè)變量進(jìn)行健康監(jiān)測(cè)，通過(guò)單變量的BDLM來(lái)對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析；②考慮到單個(gè)變量的初始狀態(tài)信息服從的概率分布以及狀態(tài)方程的多樣性，本文建立了組合BDLM對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析.下面對(duì)BDLM的具體建模過(guò)程進(jìn)行詳細(xì)分析.

2.1單變量BDLM及其概率遞推算法

基于均勻采集數(shù)據(jù)對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的單變量進(jìn)行BDLM建模分析，采用貝葉斯方法對(duì)模型進(jìn)行修正遞推不需要考慮采集時(shí)間間隔的多樣性.詳細(xì)建模過(guò)程如下：

(1) 觀測(cè)方程

(11)

(2) 狀態(tài)方程

(12)

或

(13)

(3) 初始先驗(yàn)信息

(14)

BDLM適合于對(duì)未來(lái)狀態(tài)參數(shù)的預(yù)測(cè)和推斷，其狀態(tài)參數(shù)遞推步驟如下：

(1) (t-1)時(shí)刻狀態(tài)變量的后驗(yàn)分布

對(duì)于均值mt-1和方差矩陣Ct-1，有

(15)

(2)t時(shí)刻狀態(tài)變量的先驗(yàn)分布

(16)

(3)t時(shí)刻觀測(cè)變量的一步預(yù)測(cè)分布

(17)

其中，ft=E(yt|Dt-1)=at，Qt=var(yt|Dt-1)=Rt+Vt，1/Qt為模型預(yù)測(cè)精度.

(4)t時(shí)刻狀態(tài)變量的后驗(yàn)分布

(18)

觀測(cè)值的預(yù)測(cè)區(qū)間(95%的保證率)為

(19)

2.2組合BDLM及其概率遞推過(guò)程

2.2.1組合BDLM

考慮到初始狀態(tài)信息服從的概率分布以及狀態(tài)方程的多樣性，本節(jié)建立了組合BDLM對(duì)結(jié)構(gòu)的監(jiān)測(cè)信息參數(shù)進(jìn)行遞推預(yù)測(cè).假設(shè)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)有n(n=2,3,…)個(gè)動(dòng)態(tài)線性模型，第i(i=1,2,…,n)個(gè)動(dòng)態(tài)線性模型如下所示：

圖2　貝葉斯動(dòng)態(tài)建模和修正過(guò)程

(1) 觀測(cè)方程

(20)

(2) 狀態(tài)方程

t=1,2,…,T

(21)

或

(22)

(3) 初始先驗(yàn)信息

(23)

2.2.2概率遞推過(guò)程

組合BDLM的概率遞推修正過(guò)程如下所示：

(1) (t-1)時(shí)刻狀態(tài)變量的后驗(yàn)分布

(24)

(2)t時(shí)刻狀態(tài)變量的先驗(yàn)分布

(25)

(3)t時(shí)刻的一步預(yù)測(cè)分布

(26)

其中，fi,t=E(yi,t|yi,1∶t-1)=ai,t，Qi,t=var(yi,t|yi,1∶t-1)=Ri,t+Vi,t.

t時(shí)刻具有95%保證率的監(jiān)測(cè)值預(yù)測(cè)區(qū)間為

(27)

(4)t時(shí)刻狀態(tài)變量的后驗(yàn)分布

(28)

(5)t時(shí)刻基于算術(shù)平均值的一步預(yù)測(cè)分布

(29)

(6)t時(shí)刻的組合一步預(yù)測(cè)分布

(30)

(7) 組合預(yù)測(cè)的精度與取算術(shù)平均值的預(yù)測(cè)精度的比較

(31)

3　BDLM的參數(shù)估計(jì)與模型監(jiān)控

3.1BDLM的參數(shù)估計(jì)

BDLM中存在的主要概率參數(shù)有Vt、Wt、mt-1和Ct-1，確定這些參數(shù)的方法如下:

本文中模型修正的時(shí)間區(qū)間為1 d；Vt可以通過(guò)對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)采用五點(diǎn)三次平滑法[19]進(jìn)行平滑處理獲得趨勢(shì)項(xiàng)隨機(jī)數(shù)據(jù)或直接擬合的趨勢(shì)項(xiàng)數(shù)據(jù)與監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)之間的差來(lái)進(jìn)行方差估計(jì)；由于狀態(tài)變量的不可觀測(cè)性，狀態(tài)誤差的方差可以由初始狀態(tài)信息的方差結(jié)合折扣因子來(lái)近似確定.根據(jù)筆者的健康監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理經(jīng)驗(yàn)，Wt可以通過(guò)下式確定：

(32)

或

(33)

式中：δ為折扣因子.根據(jù)筆者的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于AR(1)模型而言，折扣因子取為0.87～1.00；對(duì)于一階多項(xiàng)式回歸模型而言，折扣因子取為0.95～0.98.

式(32)主要針對(duì)基于一階多項(xiàng)式回歸模型所建立的BDLM以及概率遞推；式(33)主要針對(duì)基于AR(1)模型所建立的BDLM以及概率遞推.

對(duì)(t-1)時(shí)刻以及之前的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理，濾去高頻隨機(jī)信號(hào)，得到低頻趨勢(shì)項(xiàng)隨機(jī)數(shù)據(jù)，即(t-1)時(shí)刻的狀態(tài)變量信息，基于這些狀態(tài)變量值可以采用如下方法對(duì)mt-1和Ct-1進(jìn)行估計(jì).

若狀態(tài)變量值服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，則通過(guò)式(34)和(35)轉(zhuǎn)化成擬正態(tài)分布，且分布參數(shù)μ′與σ′(初始狀態(tài)信息的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差)分別為

(34)

(35)

式中:φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率密度函數(shù);g(·)為樣本的實(shí)際概率密度函數(shù)，樣本的實(shí)際概率分布函數(shù)為G(·)，且G(x0)=0.05；x0為滿足概率保證率5%的分位值.

若狀態(tài)變量值服從其他的概率分布，則初始狀態(tài)變量值可經(jīng)過(guò)下面的處理得到近似的n個(gè)正態(tài)分布的加權(quán)組合：

(1) 由核密度估計(jì)方法可得樣本的實(shí)際概率密度函數(shù)F(θt-1)近似為g(θt-1)，即

(36)

(2) 由于任何一組數(shù)據(jù)都可以由有限個(gè)正態(tài)分布來(lái)擬合，即

(37)

(3) 擬合的有限個(gè)正態(tài)分布的分布參數(shù)可以根據(jù)最小離差平方和方法得到， 即

(38)

式中：有限個(gè)正態(tài)分布的分布參數(shù)可以通過(guò)S的優(yōu)化計(jì)算方法得到，即當(dāng)S→min，正態(tài)分布的優(yōu)化分布參數(shù)就可以得到.

3.2BDLM的模型監(jiān)控

本文處理模型監(jiān)控問(wèn)題的主要思想是通過(guò)使用一個(gè)備擇模型進(jìn)行比較來(lái)評(píng)價(jià)模型性能.在文獻(xiàn)[17-18]中，正態(tài)假定下模型的監(jiān)控是通過(guò)貝葉斯因子值的變化來(lái)實(shí)現(xiàn)的，其主要思想是：建立備擇模型，與現(xiàn)有模型對(duì)照來(lái)構(gòu)造貝葉斯因子.

本文采用的一步預(yù)測(cè)模型和備擇模型的概率密度函數(shù)為

(39)

(40)

基于檢測(cè)值yt、P0(·)和P1(·)的貝葉斯因子公式為

(41)

進(jìn)一步利用式(39)～(41)可得貝葉斯因子為

(42)

式中：P0(·|·)為現(xiàn)有模型的一步預(yù)測(cè)概率模型.

由式(42)，可得貝葉斯因子隨備擇模型標(biāo)準(zhǔn)差K的變化曲線如圖3所示.

圖3貝葉斯因子、一步預(yù)測(cè)誤差以及備擇模型標(biāo)準(zhǔn)差的影響變化曲線

Fig.3Curves of Bayesian factors vs. one-step predicted errors and standard deviation of the alternative model

基于N個(gè)連續(xù)的觀測(cè)值yt,yt-1,…,yt-N+1，利用式(39)～(42)，累計(jì)貝葉斯因子的表達(dá)式為

(43)

式中：Bt(N)為累計(jì)貝葉斯因子，它是用來(lái)測(cè)量N個(gè)連續(xù)觀測(cè)值對(duì)BDLM的修正程度.

本文采用的監(jiān)控準(zhǔn)則：K=3時(shí)，H(t)小于0.15，則此檢測(cè)值為異常值，需去除，反之正常.

異常值去掉之后，根據(jù)累計(jì)貝葉斯因子的變化曲線，可以得知BDLM的預(yù)測(cè)精度.如果累計(jì)貝葉斯因子越來(lái)越大，則BDLM的預(yù)測(cè)精度越來(lái)越好，模型的不確定性越來(lái)越小.同樣根據(jù)一步預(yù)測(cè)值的預(yù)測(cè)方差也可以得到BDLM的預(yù)測(cè)精度.

4　基于BDLM的橋梁結(jié)構(gòu)可靠性預(yù)測(cè)

假定結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)為

(44)

式中:隨機(jī)變量b表示廣義的抗力;隨機(jī)變量d表示廣義的荷載效應(yīng)，它包括恒載效應(yīng)和活載效應(yīng).b與d各自獨(dú)立，相互獨(dú)立，且它們的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別為：μb、σb；μd、σd.

利用一次二階矩(FOSM)方法[20]，可得可靠指標(biāo)的計(jì)算公式為

(45)

本文采用一座五跨連續(xù)鋼板組合梁橋(I-39北橋[10,21-23])作為工程實(shí)例進(jìn)行可靠度預(yù)測(cè)分析，此橋的總長(zhǎng)度為188.81 m.橋梁監(jiān)測(cè)項(xiàng)目包括結(jié)構(gòu)特定構(gòu)件的應(yīng)力和應(yīng)變?cè)u(píng)估，以及整個(gè)橋梁結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)期安全性評(píng)估.檢測(cè)項(xiàng)目的詳細(xì)內(nèi)容見(jiàn)文獻(xiàn)[21-23].對(duì)橫向第二跨鋼板的跨中梁底極值應(yīng)力進(jìn)行了83 d的監(jiān)測(cè)，監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如表1所示.就實(shí)際工程而言，本文采用的FOSM方法計(jì)算精度足夠，只考慮了日常監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力的平均值與方差.

第二橫跨梁的極限狀態(tài)方程為

(46)

式中：Y為鋼板的屈服強(qiáng)度；h為鋼板恒載引起的應(yīng)力；l為混凝土恒載引起的應(yīng)力；γM是傳感器的修正系數(shù)；M為BDLM預(yù)測(cè)得到的應(yīng)力.

基于式(44)～(46)可得梁的可靠度預(yù)測(cè)公式為

(47)

式中：μM和VM分別為BDLM預(yù)測(cè)得到的監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力平均值和方差；μY和VY分別為按照規(guī)范計(jì)算的抗力平均值和方差；μh和Vh分別為由鋼板恒載引起的應(yīng)力平均值和方差；μl和Vl分別由混凝土恒載引起的應(yīng)力平均值和方差.

對(duì)于監(jiān)測(cè)的數(shù)據(jù)[21]，則VM=0；而本文考慮到數(shù)據(jù)的隨機(jī)性或不確定性，因而VM≠0.

5　實(shí)例分析

5.1實(shí)橋簡(jiǎn)介

I-39北橋[21-23]建于1961年，部分內(nèi)容已在第4節(jié)介紹，監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如表1和圖4所示.監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)只考慮了由車輛荷載、溫度荷載、收縮徐變和結(jié)構(gòu)變化引起的應(yīng)力的變異性，由鋼板和混凝土恒載引起的應(yīng)力信息不包括在監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)里面.

算例中的狀態(tài)方程由式(4)～(8)得到，采用此狀態(tài)方程建立結(jié)構(gòu)的BDLM.根據(jù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)回歸分析可得監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的一階多項(xiàng)式函數(shù)為

(48)

為了得到初始信息的分布函數(shù)，首先必須得到初始信息.本文對(duì)83 d的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)采用五點(diǎn)三次平滑法進(jìn)行平滑處理，近似得到了BDLM的初始狀態(tài)隨機(jī)信息，如圖5所示.

表1　實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)[21]

圖4　監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力信息

對(duì)初始狀態(tài)信息進(jìn)行Kolmogorov-Smirnov(K-S)檢驗(yàn)，可知初始狀態(tài)信息服從正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布，如式(51)所示.

5.2基于BDLM的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)建模

利用監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，并結(jié)合式(4)～(8)和式(11)～(14)，建立的BDLM如下所示:

(1) 觀測(cè)方程

(49)

(2) 狀態(tài)方程

圖5　監(jiān)測(cè)信息與平滑處理得到的初始信息

Fig.5Initial information and the monitored extreme stress data

mt=mt-1-0.032 1+ωt,ωt～N[0,Wt]

(50)

(3) 初始信息

mt-1|Dt-1～N[24.505 2,4.663 52],

LN[3.181 1,0.188 62]

(51)

式中：yt為t時(shí)刻的監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力；mt為t時(shí)刻的狀態(tài)值；V=21.75可以利用監(jiān)測(cè)極值數(shù)據(jù)與平滑之后的趨勢(shì)項(xiàng)隨機(jī)信息近似估計(jì)得到；根據(jù)實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)可得δ=0.98,Wt=-Ct-1+Ct-1/δ，Ct-1可以利用式(51)近似得到;N[·]為正態(tài)概率分布，LN[·]為對(duì)數(shù)正態(tài)概率分布.

由式(51)可知,初始信息服從正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布，于是下面的4種情況可以用來(lái)預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的極值應(yīng)力:

情況1初始狀態(tài)信息服從正態(tài)分布，直接建立BDLM來(lái)預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的極值應(yīng)力數(shù)據(jù).

情況2初始狀態(tài)信息服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，首先基于式(46)和(47)轉(zhuǎn)化為擬正態(tài)分布，然后建立BDLM來(lái)預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的極值應(yīng)力數(shù)據(jù).

情況3將情況1和情況2分別得到的一步預(yù)測(cè)平均值的算數(shù)平均值作為第3種情況的預(yù)測(cè)值.

情況4基于情況1和情況2所建立的BDLM，建立組合BDLM對(duì)結(jié)構(gòu)的極值應(yīng)力數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，組合BDLM的建模過(guò)程已在第2.2.1節(jié)和第2.2.2節(jié)詳細(xì)介紹.

算例中，采用貝葉斯因子來(lái)監(jiān)控BDLM并尋找異常值，監(jiān)控的結(jié)果如圖6和7所示.從圖中可以得知：第9天的數(shù)據(jù)為異常值.從表1可以看出第9天的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)值最大，所以可能為異常值.異常值去掉之后，由圖8可知，累計(jì)貝葉斯因子越來(lái)越大，它反映了組合BDLM的預(yù)測(cè)精度越來(lái)越好.

上面介紹的4種情況所預(yù)測(cè)得到的極值應(yīng)力和預(yù)測(cè)精度分別如圖9和10所示.

從圖9可以得知，4種情況下預(yù)測(cè)得到的極值應(yīng)力值全部符合監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì).但就4種情況的預(yù)測(cè)精度而言，如圖10所示，組合BDLM的預(yù)測(cè)精度最高，所以本文采用組合BDLM來(lái)對(duì)結(jié)構(gòu)的可靠度進(jìn)行預(yù)測(cè).

圖6　時(shí)變貝葉斯因子

圖7　去掉異常值后時(shí)變貝葉斯因子

圖8　累計(jì)貝葉斯因子

圖9　4種情況預(yù)測(cè)的極值數(shù)據(jù)比較

圖10　4種情況下模型的預(yù)測(cè)精度

5.3橋梁結(jié)構(gòu)的可靠性預(yù)測(cè)

結(jié)合文獻(xiàn)[21]和式(47)可得結(jié)構(gòu)特定構(gòu)件的可靠度預(yù)測(cè)公式為

(52)

式中:μM和σM分別為由組合BDLM預(yù)測(cè)得到的極值應(yīng)力的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差.

圖10顯示組合BDLM的預(yù)測(cè)精度最高，所以采用組合BDLM，并結(jié)合式(52)來(lái)預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)，結(jié)果如圖11所示.

預(yù)測(cè)的結(jié)果能合理地近似表示監(jiān)測(cè)可靠指標(biāo)的變化趨勢(shì)和變化范圍.

6　結(jié)論

(1)構(gòu)造貝葉斯因子對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行監(jiān)控，可以大致識(shí)別異常值，從而提高預(yù)測(cè)精度.

(2)預(yù)測(cè)精度隨時(shí)間增加變得越來(lái)越大，結(jié)合結(jié)構(gòu)的監(jiān)測(cè)信息，貝葉斯動(dòng)態(tài)模型預(yù)測(cè)的主觀不確定性降低.

(3)所得的一步預(yù)測(cè)極值應(yīng)力信息考慮了數(shù)據(jù)的隨機(jī)性或不確定性，但預(yù)測(cè)所得的可靠指標(biāo)以及可靠指標(biāo)區(qū)間均能滿足監(jiān)測(cè)可靠指標(biāo)的變化趨勢(shì)和變化范圍.

參考文獻(xiàn):

[1]樊學(xué)平, 呂大剛. 基于BDNM的橋梁結(jié)構(gòu)可靠度預(yù)測(cè)[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2014, 46(2): 1.

FAN Xueping, Lü Dagang. Reliability prediction of bridge structures based on BDNM[J]. Journal of Harbin Institute of Technology, 2014, 46(2): 1.

[2]宗周紅, 鐘儒勉, 鄭沛娟, 等. 基于健康監(jiān)測(cè)的橋梁結(jié)構(gòu)損傷預(yù)后和安全預(yù)后研究進(jìn)展及挑戰(zhàn)[J]. 中國(guó)公路學(xué)報(bào), 2014, 27(12): 46.

ZONG Zhouhong, ZHONG Rumian, ZHENG Peijuan,etal. Damage and safety prognosis of bridge structures based on structural health monitoring: progress and challenges[J]. China Journal of Highway and Transport, 2014, 27(12): 46.

[3]樊學(xué)平, 呂大剛. 基于貝葉斯DLM的橋梁結(jié)構(gòu)可靠度預(yù)測(cè)[J]. 鐵道學(xué)報(bào), 2014, 36(6): 93.

FAN Xueping, Lü Dagang. Reliability prediction of aging bridges based on Bayesian dynamic linear model[J]. Journal of the China Railway Society, 2014, 36(6): 93.

[4]鐘才根, 丁文其, 王茂和．神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在高速公路軟基沉降預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].中國(guó)公路學(xué)報(bào), 2003, 16(2): 31．

ZHONG Caigen, DING Wenqi, WANG Maohe. Application of neural network model to the settlement projection of sofe-soil foundation for expressway[J]. China Journal of Highway and Transport, 2003,16(2):31.

[5]蘭孝奇, 楊永平, 黃慶, 等．建筑物沉降的時(shí)間序列分析與預(yù)報(bào)[J]．河海大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2006, 34(4): 426．

LAN Xiaoqi, YANG Yongping, HUANG Qing,etal. Analysis and prediction of time series for building settlement[J]. Journal of Hohai University: Natural Sciences, 2006,34(4): 426.

[6]張儀萍, 俞亞南, 張土喬, 等. 沉降預(yù)測(cè)中的灰色模型理論與Asaoka法[J]．系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐, 2002, 22(9):141．

ZHANG Yiping, YU Ya’nan, ZHANG Tuqiao,etal. Grey theory and Asaoka method in settlement prediction[J]. System Engineering: Theory & Practice, 2002, 22(9): 141.

[7]楊叔子, 吳雅, 軒建平. 時(shí)間序列分析的工程應(yīng)用[M]. 2版.武漢:華中科技大學(xué)出版社, 2007.

YANG Shuzi, WU Ya, XUAN Jianping. Engineering application of time-series analysis [M]. 2nd ed. Wuhan: Press of Huazhong University of Science and Technology, 2007.

[8]孫永福, 王良曦, 龐磊. GM(1,1)模型與指數(shù)回歸模型的比較與研究[J]. 裝甲兵工程學(xué)院學(xué)報(bào), 2000, 14(1): 76.

SUN Yongfu, WANG Liangxi, PANG Lei. Comparison between and research of gray model GM(1,1) and exponential

regressing model[J]. Journal of Armored Force Engineering Institute, 2000, 14(1): 76.

[9]Catbas F N, Susoy M, Frangopol D M. Structure health monitoring and reliability estimation: long span truss bridge application with environmental monitoring data [J]. Engineering Structure, 2008, 30:2347.

[10]王劍, 劉西拉. 結(jié)構(gòu)生命周期的可靠性管理[J]．巖石力學(xué)和工程學(xué)報(bào), 2005, 24(17): 3125．

WANG Jian, LIU Xila. Life-cycle reliability management of structures[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2005, 24(17): 3125.

[11]王劍．基于信息更新的混凝土結(jié)構(gòu)性能預(yù)測(cè)和可靠性管理[D]. 北京: 清華大學(xué), 2006．

WANG Jian. Performance prediction and reliability management of concrete structures based on information updating[D]. Beijing: Tsinghua University, 2006.

[12]張孝令, 劉福升, 張承進(jìn), 等. 貝葉斯動(dòng)態(tài)模型及其預(yù)測(cè)[M]. 濟(jì)南: 山東科技技出版社, 1992.

ZHANG Xiaoling, LIU Fusheng, ZHANG Chengjin,etal. Bayesian dynamic model and Forecasting[M]. Ji’nan: Shandong Science & Technolyge Press, 1992.

[13]Koch K R. Bayesian inference with geodetic appliances[M]. Berlin: Springer-Verlag, 1990．

[14]Sankaran M, Smith N. Bayesian networks for system reliability reassessment [J]. Structural Safety, 2001, 23(3): 231．

[15]Petris G, Petrone S，Campagnoli P． Dynamic linear models with R[M]． New York: Springer-Verlag, 2009．

[16]West M, Harrison J. Bayesian forecasting and dynamic models [M]. 2nd ed. New York: Springer, 1997.

[17]West M, Harrison J. Bayesian forecasting and dynamic models [M]. New York: Springer-Verlag, 1989.

[18]趙卓. 基于ARMA模型的伊通河橋監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)建模與可靠度分析[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2012.

ZHAO Zhuo. Health monitoring data modeling and reliability analysis for Yitong River Bridge based on ARMA model[D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2012.

[19]Melchers R E. Structural reliability, analysis and prediction[M]. Chichester: Ellis Horwood, 1987.

[20]Frangopol D M, Strauss A, Kim S Y. Use of monitoring extreme data for the performance prediction of structures: general approach [J]. Engineering Structures, 2008, 30: 3644.

[21]Strauss A, Frangopol D M, Kim S Y. Use of monitoring extreme data for the performance predicttion of structures: Bayesian updating [J]. Engineering Structures, 2008, 30: 3654.

[22]Mahmoud H N, Connor R J, Bowman C A. Results of the fatigue evaluation and field monitoring of the I-39 Northbound Bridge over the Wisconsin River[R]. Bethlehem: Lehigh University, 2005.

[23]樊學(xué)平, 呂大剛. 基于監(jiān)測(cè)信息和BDLM的橋梁結(jié)構(gòu)可靠度預(yù)測(cè)[J]. 重慶交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2013, 32(6): 40.

FAN Xueping, Lü Dagang. Reliability prediction of bridge structures based on monitoring information and BDLM[J]. Journal of Chongqing Jiaotong University, 2013, 32(6): 40.

收稿日期：2015-08-31

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(51378162)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(lzujbky-2015-28，lzujbky-2015-31)

中圖分類號(hào)：TU391; TU392.5

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Dynamic Linear Modeling of Bridge Monitored Data and Reliability Prediction

FAN Xueping1,2, LIU Yuefei1,2, Lü Dagang3

(1. Key Laboratory of Mechanics on Disaster and Environment in Western China of the Ministry of Education, Lanzhou University, Lanzhou 730000, China; 2. School of Civil Engineering and Mechanics, Lanzhou University, Lanzhou 730000, China; 3. School of Civil Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150090, China)

Abstract：A Bayesian dynamic linear model (BDLM) is introduced, which includes state equation and observation equation of bridge monitoring stress, and the stress is monitored with Bayesian factors. Combining parameters prior information with the early stress monitored data containing noise, the monitored stress state parameters are deduced with Bayesian posterior probability. Optimal stress state estimation uses continuous probability forecast-fixed recursion operator to predict the bridge stress. The prediction formula of bridge reliability is given based on BDLM of bridge stress. Finally, an actual example is provided to demonstrate the applicability and feasibility of the proposed model.

Key words：bridge monitored stress; Bayesian method; dynamic linear model; discount factor

第一作者： 樊學(xué)平(1983—)，男，講師，工學(xué)博士，主要研究方向?yàn)闃蛄航Y(jié)構(gòu)與可靠性預(yù)測(cè). E-mail:fxp_2004@163.com