間歇混沌合成1/f噪聲的相關特性分析

關　健,郜峰利,張　馳,曹軍勝,張振國,郭樹旭

(1.集成光電子學國家重點聯(lián)合實驗室吉林大學實驗區(qū),吉林大學電子科學與工程學院,吉林長春130012;2.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所,吉林長春 130033)

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間歇混沌合成1/f噪聲的相關特性分析

關健1,郜峰利1,張馳1,曹軍勝2,張振國1,郭樹旭1

(1.集成光電子學國家重點聯(lián)合實驗室吉林大學實驗區(qū),吉林大學電子科學與工程學院,吉林長春130012;2.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所,吉林長春 130033)

本文利用非線性隨機微分方程來合成間歇混沌信號,針對該信號表現(xiàn)出的1/f噪聲特征,在不同消失矩的小波基下進行相關特性分析.仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn),在功率譜的中間頻段內(nèi),該信號的功率譜密度表現(xiàn)出典型的1/f噪聲特性,其小波變換系數(shù)方差與相應的小波尺度呈對數(shù)線性關系;且在該頻段內(nèi),部分尺度下該間歇性信號的小波變換系數(shù)的相關性隨小波基的消失矩的增大而減小,在另一部分尺度下該相關性則隨著消失矩的增大而增大.實驗結(jié)果表明,隨小波消失矩的增大,并非在所有尺度下小波變換對該間歇性信號均具有去相關作用.論文討論了小波變換系數(shù)的方差和尺度的關系,詳細分析了小波變換系數(shù)的相關性隨小波消失矩的變化趨勢.

間歇性;1/f噪聲;小波變換;相關性;

1　引言

1/f噪聲,也稱為粉紅噪聲,是廣泛存在于自然界中的一種非平穩(wěn)隨機過程[1],功率譜密度(Power Spectral Density,PSD)S(f)呈現(xiàn)出S(f)～A/fβ(0<β<2,β一般接近1)的形式的隨機過程都可以認為是1/f噪聲.1925年J B Johnson首次在真空電子管中發(fā)現(xiàn)了1/f噪聲[2],隨后人們在半導體器件中也發(fā)現(xiàn)了1/f噪聲的存在,不僅如此,在很多系統(tǒng)中都能觀察到1/f噪聲,例如生物,物理,音樂,醫(yī)學,股票,自然災害等[2～8].雖然對1/f噪聲的研究至今已有60年左右,但是對于1/f噪聲的具體產(chǎn)生機制依舊沒有一個確切的定論,現(xiàn)存的一些關于1/f噪聲的模型往往也只能在某些系統(tǒng)中適用.然而對于1/f噪聲特性的研究依然是一個十分熱門的領域,特別是近年來人們發(fā)現(xiàn)半導體器件中產(chǎn)生的1/f噪聲的特性與器件的質(zhì)量和可靠性有著密切的關系,通過測量和研究半導體器件的1/f噪聲特性可以成為一種有效評估半導體器件性能及其可靠性的無損檢測手段[9,10].1/f噪聲的長程相關性作為其重要特性之一,其研究也具有十分重要的學術意義和應用價值.

隨著非線性科學中混沌理論的建立和應用[11,12],人們發(fā)現(xiàn)混沌理論中存在一種間歇混沌(intermittency)也可以產(chǎn)生1/f噪聲[13].相比傳統(tǒng)的合成法,利用間歇混沌來合成1/f噪聲的頻率指數(shù)可調(diào)性更強,同時能在很寬的頻域內(nèi)表現(xiàn)出1/f噪聲特性.間歇混沌,是系統(tǒng)從規(guī)則有序轉(zhuǎn)變到混沌狀態(tài)的一種中間態(tài),即系統(tǒng)時而表現(xiàn)出有序時而表現(xiàn)出隨機混沌的一種狀態(tài).通常當系統(tǒng)的某些參數(shù)的變化突破某一臨界值時,間歇混沌就出現(xiàn)了.最早Pomeau和Manneville提出了三種混沌間歇模型[14],后來相繼出現(xiàn)了誘發(fā)激變型間歇混沌(crisis-induced intermittency)[15],含有不變子空間的非線性動力學系統(tǒng)中的on-off型間歇混沌[16,17]等.最近,又提出了用非線性隨機微分方程(Stochastic Differential Equations,SDEs)產(chǎn)生間歇混沌以獲取1/f噪聲信號的方法[18～21].文獻[21]中Ruseckas將SDEs結(jié)合非線性動力學系統(tǒng),發(fā)現(xiàn)當橫截L(Lyapunov)指數(shù)為零時,偏離不變子空間的偏移量的PSD能在較寬的頻帶內(nèi)表現(xiàn)出1/fβ的特征.本文利用Ruseckas提出的方法合成間歇混沌信號,并利用小波變換對該合成信號進行分析,發(fā)現(xiàn)在表現(xiàn)出1/f噪聲特性的頻段內(nèi)所對應的尺度與小波變換系數(shù)的方差呈對數(shù)線性關系;同時,并非所有尺度下小波變換對其均具有去相關性,僅在一部分尺度下,該合成信號的小波變換系數(shù)的相關性隨小波基的消失矩的增大而減小,而在另一部分尺度下該相關性則隨著消失矩的增大而增大.此外,當小波基消失矩一定時,小波變換系數(shù)的相關性均隨尺度的增大而增大.論文針對這種方法合成的1/f噪聲信號的上述特征進行了詳盡的分析.

2　理論方法

2.11/f噪聲信號的間歇混沌合成

對于一個有如下結(jié)構(gòu)的二維映射[16]

xn+1=F(xn),yn+1=G(xn,yn)

(1)

對?xn都有G(xn,0)≡0,因此y=0代表一個不定子空間.yn代表偏移不定子空間的偏移量.一般驅(qū)動變量xn是混沌的,橫截L指數(shù)為

(2)

(3)

yn+1=wnyn，η>1

(4)

將式(4)兩邊取對數(shù)得到

sn+1=sn+zn

(5)

其中sn=lnyn,zn=lnwn,產(chǎn)生間歇性的臨界條件為〈z〉=0.考慮到y(tǒng)n和sn之間的高度非線性關系能夠產(chǎn)生間歇性,因此引入q指數(shù),定義如下

(6)

(7)

(8)

式(7)可轉(zhuǎn)化為

(9)

其中,變量zn的計算由下式給出

(10)

理論上當〈z〉=0時,就能產(chǎn)生間歇性,這里取〈z〉=9×10-4,略大于0同時遠遠小于變量zn的標準差,這樣就確保了一定能產(chǎn)生間歇性,方差〈(z-〈z〉)2〉=1,迭代驅(qū)動變量xn采用帳篷映射如下

(11)

其中〈x〉=0.5,〈(x-〈x〉)2〉=1/12,通過式(9)～(11)迭代n-1次后,就能產(chǎn)生長度為n的間歇性信號,由SDEs產(chǎn)生的信號的PSD具有1/fβ特性的部分的頻率指數(shù)β可由下式得到[18,21,22]

(12)

這里ν=η=3,計算得β=1.

2.21/f噪聲信號的小波系數(shù)相關性

1/f噪聲在空間上具有分形特征,即自相似性,在時間上又具有長程相關性,信號中的每一點都蘊含著豐富的信息.對于常用分析信號譜的方法,比如傅里葉變換,在積分的過程中,可能丟失信號畸變點、突變點的大量信息,這將影響分析結(jié)果并得到不準確的結(jié)論.在以往分析信號的諸多方法中,應用比較廣泛的小波分析,是一種十分有效地時頻分析方法,且小波變換的多尺度特性,能準確的捕捉突變點的信息,其次小波也具有自相似性,這些特點使得小波比較適合用于分析1/f噪聲的特性.因此合成間歇混沌信號之后,我們用不同消失矩的小波基對該信號進行小波分析.小波變換采用最常見的二進制小波變換,設1/f噪聲信號y(t),y(t)∈L2(R),其小波變換系數(shù)的方差和尺度的關系為[23]

(13)

(14)

如果小波基具有N階消失矩[23],即

Ψr(ω)=0,r=0,1,2,…,N-1

(15)

此時ω是Ψ(ω)的N階零點,記為Ψ(ω)=ωNΨ0(ω)

代入式(14)可進一步得到

(16)

N為小波消失矩,從式(16)可以看出當頻率因子β,k-k′和尺度m一定,且滿足2N+1>β時,E和消失矩N的關系主要由(k-k′)2N-β+1和|ω|2N-β兩項決定,隨著消失矩的增大,(k-k′)2N-β+1項使得相關性E減小,然而|ω|2N-β項則會使相關性E增大,即E的變化趨勢主要受(k-k′)2N-β+1和|ω|2N-β兩項權(quán)重的影響.

3　仿真實驗結(jié)果

利用迭代公式(9)產(chǎn)生長度n=223的間歇信號yn如圖1所示,其中圖1(a)為時域波形,圖1(b)為信號yn1000個PSD進行平均的結(jié)果.從圖1(a)可以看出生成的信號是穩(wěn)定和爆發(fā)態(tài)交替出現(xiàn)的,說明生成的信號具有間歇混沌信號的典型特征.從圖1(b)中可以看出平均PSD在中間很寬的一段頻率范圍內(nèi)表現(xiàn)出1/f噪聲的特性,其大概頻率范圍為10-5f10-1.5,圖中的虛線部分則為該頻段范圍的線性擬合曲線,斜率k=-0.977,這與之前理論部分計算的β=1相當接近,說明生成的間歇性信號是正確的,且在中間頻段內(nèi)表現(xiàn)出了我們所需要的1/f噪聲特性.

為了分析小波變換對間歇性信號產(chǎn)生的1/f噪聲的相關性的影響,在具有不同消失矩的db小波基下對該間歇性信號yn做二進小波變換得到相應的小波變換系數(shù),然后對所得小波變換系數(shù)做自相關運算,由于計算機內(nèi)存的限制,消失矩N取1～9.為了表征相關函數(shù)序列整體相關性的大小,計算相關性函數(shù)序列的最大值E,通過式(16)即可獲得不同尺度下E與所選小波基的消失矩N的關系.從所有尺度中選取部分尺度下的結(jié)果如圖3所示,其中圖3(a)為m=12,17的結(jié)果,圖3(b)為m=6,7的結(jié)果,內(nèi)嵌圖分別為所對應曲線的放大圖.從圖3(a)中可以看出,相關性E隨著消失矩N的增大而呈緩慢下降的趨勢,且下降的趨勢越來越小.說明在尺度m=12,17下小波變換具有去相關性的作用.而從圖3(b)中可以看出,當m=6時,相關性E先隨著消失矩N的增大而迅速下降隨后有略微增大的趨勢,但增大的程度十分微弱,整體仍然呈現(xiàn)相關性減小的趨勢;而當m=7時,相關性E隨著消失矩N的增大而逐漸增大,此時小波變換具有增強相關性的作用.計算結(jié)果顯示,在尺度:1、3、4、5、6、8、10、12、17、18、21下,相關性隨消失矩的增大而減小;而在尺度:2、7、9、11、13、14、15、16、19、20、22、23下,相關性隨消失矩的增大而增大.圖3現(xiàn)象可由式(16)進行解釋,尺度m=6,12,17下的積分項系數(shù)對相關性的影響起主要作用,而在尺度m=7下的積分項對相關性的影響起主要作用.上述現(xiàn)象表明,在部分尺度下小波變化系數(shù)的相關性E隨消失矩N的增大而減小,即小波變化對1/f噪聲具有去相關性的作用,而在另一些尺度下小波變化系數(shù)的相關性E又隨著N的增大有增大的趨勢,所以并非在所有尺度下小波變換對該間歇性信號產(chǎn)生的1/f噪聲均具有去相關性的作用.此外,當消失矩N固定時小波變換的尺度m越大,對應的小波系數(shù)之間的相關性E越大,這是由于在小波空間分解1/f類分形信號,大尺度對應其低頻部分的小波變換系數(shù),而根據(jù)1/f類分形信號的頻譜定義式(1),頻率越低1/f類分形信號的強度越大,故大尺度下的小波變換系數(shù)之間的相關性就越大.

4　結(jié)束語

本文對非線性隨機微分方程產(chǎn)生的間歇性信號的1/f特性進行了分析,仿真實驗首先利用隨機微分方程合成間歇性信號,其功率譜密度在中間較寬的頻段范圍內(nèi)表現(xiàn)出了1/f噪聲的典型特性.然后采用不同消失矩的小波基對該間歇性信號進行小波變換,分別計算了不同尺度下小波變換系數(shù)的相關性和方差,結(jié)果顯示,間歇性信號的PSD表現(xiàn)出1/f噪聲特性的頻段內(nèi)所對應的尺度與小波變換系數(shù)方差的呈對數(shù)線性關系;此外在一部分尺度下該間歇性信號的小波變換系數(shù)的相關性隨小波基的消失矩的增大而衰減,在另一部分尺度下該相關性則隨著消失矩的增大而增大,證明了小波變換并非在所有尺度下對該間歇性信號產(chǎn)生的1/f噪聲均起到去相關性的作用.此外,當小波基消失矩一定時,小波變換系數(shù)的相關性均隨尺度的增大而增大.

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關健男,1990年7月生,吉林長春人,現(xiàn)為吉林大學電子科學與工程學院研究生,目前主要從事半導體激光器1/f噪聲特性研究.

E-mail:guanjian14@jlu.edu.cn

郜峰利(通信作者)男,1977年11月生,河南沁陽人,現(xiàn)為吉林大學電子科學與工程學院副教授.主要從事半導體激光器噪聲特性及其應用方面的研究.

E-mail:gaofl@jlu.edu.cn

Analysis of Correlation Characteristics of 1/f Noise Generated by Intermittency

GUAN Jian1,GAO Feng-li1,ZHANG Chi1,CAO Jun-sheng2,ZHANG Zhen-guo1,GUO Shu-xu1

(1.StateKeyLaboratoryonIntegratedOptoelectronics,CollegeofElectronicScienceandEngineering,JilinUniversity,Changchun,Jilin130012,China;2.ChangchunInstituteofOptics,FineMechanicsandPhysics,ChineseAcademyofSciences,Changchun,Jilin130033,China)

In this paper the nonlinear stochastic differential equation is used to generalize an intermittency signal,and the correlation of its 1/fnoise characteristics under the wavelet bases with different vanishing moments are analyzed.The simulation results show that in the middle band of the frequency spectrum,its power spectrum density (PSD) shows typical 1/fnoise characteristics,and the relationship of the signal’s wavelet transformation coefficient variance and the corresponding wavelet scale is linear under logarithm coordinate.In this frequency band,under some scales the signal’s wavelet transformation coefficient correlations decrease with the vanishing moments growing,while in other scales,the correlations increase with the vanishing moment increasement.These results indicate that wavelet transformation does not always bring decorrelation to the intermittency signal.The relationship of the wavelet transformation coefficients’ variances and the scale,and the tendency of coefficients’ correlations with wavelet vanishing moments changing are analyzed.

intermittency;1/fnoise;wavelet transformation;correlation;

2014-12-09;修回日期:2015-01-22;責任編輯:梅志強

國家自然科學基金青年科學基金(No.61204055);吉林省科技發(fā)展計劃青年科研基金(No.20130522188JH);吉林省科技發(fā)展計劃自然科學基金(No.20140101175JC)

TN911.6

A

0372-2112 (2016)06-1389-05