矢量對(duì)偶形態(tài)學(xué)算子

雷　濤,張艷寧，樊養(yǎng)余,王小鵬,王履程

(1.西北工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，陜西西安 710129；2.西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院，陜西西安 710129；3.蘭州交通大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

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矢量對(duì)偶形態(tài)學(xué)算子

雷濤1,3,張艷寧1，樊養(yǎng)余2,王小鵬3,王履程3

(1.西北工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，陜西西安 710129；2.西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院，陜西西安 710129；3.蘭州交通大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

對(duì)偶性是形態(tài)學(xué)算子的重要性質(zhì)之一,且具有重要應(yīng)用.現(xiàn)有的矢量形態(tài)學(xué)算子均難以滿足對(duì)偶性,從而限制了矢量數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)理論的發(fā)展及應(yīng)用.為了解決該問(wèn)題,研究了現(xiàn)有矢量形態(tài)學(xué)算子的性質(zhì),發(fā)現(xiàn)彩色空間和矢量排序算法是導(dǎo)致矢量形態(tài)學(xué)算子難以滿足對(duì)偶性的兩個(gè)關(guān)鍵因素.通過(guò)選用對(duì)稱彩色空間,利用矢量對(duì)稱距離實(shí)現(xiàn)了具有對(duì)偶特性的矢量形態(tài)學(xué)算子.為了驗(yàn)證矢量對(duì)偶形態(tài)學(xué)算子的性能,給出了滿足對(duì)偶特性的矢量形態(tài)學(xué)濾波及梯度算子,并將其應(yīng)用到彩色圖像濾波及邊緣檢測(cè)中.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,矢量對(duì)偶形態(tài)學(xué)算子較傳統(tǒng)的矢量形態(tài)學(xué)算子具有更好的對(duì)稱性,對(duì)噪聲條件下的圖像進(jìn)行濾波及邊緣檢測(cè),均獲得了更好的處理效果.

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué);矢量形態(tài)學(xué)算子;彩色圖像處理;對(duì)偶性

1　引言

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)(MM(Mathematical Morphology))是一種利用非線性技術(shù)處理圖像的高效方法,其理論依據(jù)是數(shù)據(jù)處理必須基于完整的網(wǎng)格空間,即定義形態(tài)學(xué)算子之前必須對(duì)數(shù)據(jù)集合中的元素進(jìn)行排序.由于一維實(shí)數(shù)具有確定的完整網(wǎng)格空間,因此經(jīng)典的二值、灰度形態(tài)學(xué)算子具有統(tǒng)一的定義和性質(zhì).而高維數(shù)據(jù)(例如:彩色圖像,高光譜圖像)不具有確定的完備網(wǎng)格,導(dǎo)致在多種矢量排序規(guī)則下涌現(xiàn)出各種不同的矢量數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算子[1].因此,矢量排序算法成為當(dāng)前國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究熱點(diǎn).

主流的矢量排序算法主要有3類:

(1) 條件順序(Conditional ordering)

條件順序是通過(guò)選擇部分邊緣分量,然后對(duì)各個(gè)分量進(jìn)行等級(jí)排序,參與矢量排序的各分量根據(jù)等級(jí)位置不同而起不同的作用.條件順序中的典型例子就是詞典編纂順序,它是目前矢量排序算法中應(yīng)用最為廣泛的一種.在文獻(xiàn)[2]中,Vardavolia首先定義了具有兩層詞典編纂順序的矢量排序算法(VS,Value-Saturation).Louverdis在此基礎(chǔ)上增加了色調(diào)分量,定義了三層詞典編纂順序VSH(Value-Saturation-Hue),并將其應(yīng)用于彩色圖像處理中[3].然而,由于數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單且未對(duì)多通道圖像做任何預(yù)處理,基于VS和VSH構(gòu)建的矢量形態(tài)學(xué)算子在處理多通道圖像時(shí)具有較多缺陷,因此難以被廣泛應(yīng)用.針對(duì)該問(wèn)題,Angulo提出了基于超復(fù)數(shù)表達(dá)的矢量形態(tài)學(xué)算子,并給出了幾種基于超復(fù)數(shù)分解的詞典編纂順序,其中基于垂直分量、水平分量、R、G、B的五層順序具有最好的矢量排序效果[4,5].詞典編纂順序的優(yōu)勢(shì)在于矢量排序規(guī)則符合多變量數(shù)據(jù)特征,因此應(yīng)用最為廣泛.然而,由于詞典編纂順序中各分量的等級(jí)必須依賴于彩色分量的選擇,且等級(jí)較低的彩色分量難以參與到最終輸出的決策中,導(dǎo)致傳統(tǒng)的基于詞典編纂順序的多變量形態(tài)學(xué)算子性能較低.

(2) 退化順序(Reduced ordering)

退化順序也稱為降維順序,是利用降維算法將高維數(shù)據(jù)變?yōu)閷?shí)數(shù)值.降維后的實(shí)數(shù)集合具有完整的網(wǎng)格空間,可以使用經(jīng)典形態(tài)學(xué)理論進(jìn)行處理.退化順序的優(yōu)勢(shì)在于計(jì)算簡(jiǎn)單,可以將灰度數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法直接應(yīng)用于彩色圖像處理.Witte在RGB彩色空間中,利用歐式距離定義了矢量形態(tài)學(xué)腐蝕、膨脹算子以及形態(tài)學(xué)組合算子[6].Plaza等人利用兩類矢量濾波器定義了矢量形態(tài)學(xué)腐蝕和膨脹,然而,該算子并不滿足集合連通性,被稱為偽形態(tài)學(xué)算子[7].Angulo在此基礎(chǔ)上,總結(jié)并提出了基于距離的矢量排序規(guī)則,并定義了新的彩色形態(tài)學(xué)算子,將其應(yīng)用于彩色圖像濾波、增強(qiáng)和分析,取得了較好的效果[8,9].近來(lái),雷濤等人提出了基于混合距離的矢量排序方法,該方法直接將多通道數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為一維實(shí)數(shù)用于矢量排序,因此計(jì)算復(fù)雜度較低[10].由于矢量距離綜合考慮了彩色圖像的各個(gè)分量,一定程度上能對(duì)矢量進(jìn)行較為客觀的排序,因此基于距離的矢量形態(tài)學(xué)算子具有較高的魯棒性.然而,傳統(tǒng)的矢量距離需要定義一個(gè)參考色vref,根據(jù)矢量形態(tài)學(xué)濾波器中提出的平均距離雖然能解決該問(wèn)題,但計(jì)算量較大.

(3)模糊詞典編纂順序(Fuzzy lexicographical ordering)

模糊詞典編纂順序是在詞典編纂順序的基礎(chǔ)上,利用模糊數(shù)學(xué)對(duì)各層分量進(jìn)行模糊排序,使得詞典編纂順序中各分量等同參與到矢量排序決策中.模糊詞典編纂順序解決了傳統(tǒng)詞典編纂順序僅依賴等級(jí)較高分量的問(wèn)題.由于各分量等同參與到矢量排序決策中,因此該類矢量排序算法具有較高的魯棒性.針對(duì)條件順序和退化順序?qū)κ噶繑?shù)據(jù)排序結(jié)果較差的問(wèn)題,Louverdis 最早在HSV彩色空間中提出了模糊矢量形態(tài)學(xué)算子.該算子明顯改善了基于傳統(tǒng)詞典編纂順序構(gòu)建的矢量形態(tài)學(xué)濾波算子的性能,且提升了對(duì)多通道圖像的濾波效果[11].Aptoula等人在此基礎(chǔ)上提出了基于α修剪的詞典編纂順序,該順序利用參數(shù)α與矢量值相乘,然后取整的方法放寬詞典編纂順序的上一層條件,使得運(yùn)算可以進(jìn)行到最后一層,得到更為客觀的矢量排序結(jié)果,一定程度上提高了矢量形態(tài)學(xué)算子對(duì)多通道圖像的處理效果[12,13].雷濤等人提出了基于四元數(shù)分解的模糊矢量形態(tài)學(xué)算子,選擇了新的邊緣分量,結(jié)合模糊詞典編纂順序,從而得到新的矢量數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算子.該算子在彩色圖像濾波、分割中具有實(shí)用性,濾波結(jié)果接近經(jīng)典的矢量中值濾波器(VMF)[14].

近年來(lái),隨著機(jī)器學(xué)習(xí)、流形計(jì)算等新的數(shù)學(xué)理論在圖像處理中的廣泛應(yīng)用,各種新的矢量排序算法不斷涌現(xiàn).針對(duì)矢量排序問(wèn)題,學(xué)者們提出了基于隨機(jī)投影深度函數(shù)、監(jiān)督和半監(jiān)督學(xué)習(xí)、等級(jí)變換、流形學(xué)習(xí)、不變組幀等各種新的矢量排序算法.新的算法對(duì)傳統(tǒng)矢量排序算法做了不同程度的改進(jìn).然而,一個(gè)通用性問(wèn)題目前仍未見(jiàn)到有關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道,即矢量形態(tài)學(xué)算子的對(duì)偶性.通過(guò)分析現(xiàn)有的各種矢量形態(tài)學(xué)算子,我們發(fā)現(xiàn):矢量形態(tài)學(xué)濾波算子中,只有以腐蝕起始的算子具有濾波作用,而以膨脹運(yùn)算起始的矢量形態(tài)學(xué)濾波算子難以有效降低圖像中的噪聲,甚至放大了圖像中的噪聲,這一結(jié)果與經(jīng)典的形態(tài)學(xué)理論相矛盾.

針對(duì)上述問(wèn)題,論文通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有的矢量形態(tài)學(xué)算子均不滿足對(duì)偶特性,通過(guò)理論分析揭示了現(xiàn)有的矢量形態(tài)學(xué)算子不滿足對(duì)偶性的原因,最后根據(jù)灰度形態(tài)學(xué)算子滿足對(duì)偶性的基本條件(網(wǎng)格中極值的對(duì)稱性)選用了嚴(yán)格對(duì)稱的RGB彩色空間,并構(gòu)建了一對(duì)具有對(duì)稱特性的矢量距離作為矢量形態(tài)學(xué)算子的極值輸出規(guī)則,從而得到滿足對(duì)偶性的多變量形態(tài)學(xué)算子.實(shí)驗(yàn)表明,本文提出的多變量對(duì)偶形態(tài)學(xué)算子繼承了經(jīng)典形態(tài)學(xué)算子的對(duì)偶特性,并拓展了其應(yīng)用范圍.

2　多變量對(duì)偶形態(tài)學(xué)算子

由于矢量形態(tài)學(xué)算子的性能主要依賴于彩色空間和矢量排序算法.我們首先分析彩色空間對(duì)矢量形態(tài)學(xué)算子性能的影響.

2.1彩色空間

在現(xiàn)有的多變量形態(tài)學(xué)算子中,選用的彩色空間主要有RGB、HSV/HIS、HSL、CIELAB四種,由于計(jì)算機(jī)基于RGB彩色空間顯示彩色圖像,因此其余彩色空間都需要通過(guò)彩色空間轉(zhuǎn)換,才可以進(jìn)行矢量排序.然而,RGB彩色空間三個(gè)分量具有較強(qiáng)的相關(guān)性,不利于人眼視覺(jué)感知,因此大部分矢量形態(tài)學(xué)算子是在更符合人眼視覺(jué)感知的彩色空間下定義的,例如:DLSH,TLO和HVSD.盡管符合人眼視覺(jué)感知的彩色空間有利于矢量排序,但這樣的彩色空間能否滿足形態(tài)學(xué)算子要求的對(duì)偶性是一個(gè)問(wèn)題.下面我們給出理論分析.

(1)

證明:在HSV彩色空間中

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

根據(jù)上述分析,可以確定矢量對(duì)偶形態(tài)學(xué)算子所選的彩色空間一定是RGB彩色空間或RGB彩色空間的線性變換空間,例如YUV/YIQ彩色空間.

2.2矢量排序算法

在2.1節(jié)中,分析了RGB的非線性變換彩色空間是導(dǎo)致矢量形態(tài)學(xué)算子難以滿足對(duì)偶性的一個(gè)重要原因.下面研究在RGB彩色空間下,矢量排序方法對(duì)矢量形態(tài)學(xué)算子是否滿足對(duì)偶性的影響,以退化順序中的歐式距離為例.首先我們回顧基于矢量排序算法的矢量形態(tài)學(xué)腐蝕和膨脹的定義.

矢量極小、極大值定義:

(11)

(12)

由此可以得到RGB彩色空間下基于歐式距離的矢量腐蝕、膨脹算子為:

εED(f)(x)={f(y):f(y)=∧ED[f(t)],t∈Bx}

(13)

δED(f)(x)={f(y):f(y)=∨ED[f(t)],t∈Bx}

(14)

根據(jù)式(13)、(14),可以證明(εED,δED)不滿足對(duì)偶性.

證明:

(δED(fc))c=(∨ED(fc))c

εED(f)=∧ED(f)

={vi∈f|vi≤EDvj,?vj∈f}

={vi∈f|ED(vi)≤ED(vj),?vj∈f}

由此我們得到

(δED(fc))c≠εED(f)

(15)

2.3基于對(duì)稱距離的對(duì)偶形態(tài)學(xué)算子

根據(jù)2.1節(jié)和2.2節(jié)的結(jié)論,彩色空間和矢量排序算法是決定矢量形態(tài)學(xué)算子能否滿足對(duì)偶性的主要因素.符合人眼視覺(jué)感知的彩色空間導(dǎo)致多變量極值輸出不對(duì)稱,為了計(jì)算方便,我們選用RGB彩色空間.對(duì)于矢量排序算法而言,由于詞典編纂順序的計(jì)算量較大且難以保證每個(gè)邊緣分量的輸出滿足對(duì)偶性,因此我們選用基于退化順序的距離矢量排序算法.由于常用的歐氏距離、馬氏距離都會(huì)導(dǎo)致矢量形態(tài)學(xué)算子不對(duì)偶,下面我們給出一種新的對(duì)稱矢量距離.

定義矢量集合v=(vr,vg,vb),bref=(0,0,0)表示黑色像素點(diǎn),wref=(255,255,255)表示白色像素點(diǎn).BED(vi,bref)表示當(dāng)前像素點(diǎn)vi與黑色像素點(diǎn)bref的歐氏距離,WED(vi,wref)表示當(dāng)前像素點(diǎn)vi與白色像素點(diǎn)wref的歐式距離.

(16)

(17)

則可以定義:

vi?BEDvj?BED(vi,bref)≤BED(vj,bref)

(18)

vj?WEDvi?WED(vi,wref)≤WED(vj,wref)

(19)

根據(jù)式(18)、(19),得到新的矢量極小、極大值定義為:

(20)

由式(12)～(14)得到RGB彩色空間下基于對(duì)稱距離的矢量腐蝕、膨脹算子為:

εBED(f)(x)={f(y):f(y)=∧BED[f(t)],t∈bx}

(21)

δWED(f)(x)={f(y):f(y)=∨WED[f(t)],t∈bx}

(22)

根據(jù)形態(tài)學(xué)算子的對(duì)偶性,可以證明(εBED,δWED)是一對(duì)對(duì)偶算子.

證明:

(δWED(fc))c=(∨WED(fc))c

εBED(f)=∧BED(f)

={vi∈f|vi≤BEDvj,?vj∈f}

={vi∈f|BED(vi)≤BED(vj),?vj∈f}

顯然存在:

(δWED(fc))c=εBED(f)

(23)

由式(23)可以看出,基于對(duì)稱距離的矢量形態(tài)學(xué)腐蝕、膨脹運(yùn)算(εBED,δWED)滿足對(duì)偶性.將矢量對(duì)偶形態(tài)學(xué)算子(εBED,δWED)應(yīng)用到實(shí)際的彩色圖像濾波中,結(jié)果如圖1所示.

由圖1可以看出,VMO-SD滿足經(jīng)典形態(tài)學(xué)算子的特性,腐蝕后的圖像整體變暗,而膨脹后的圖像整體變亮.為了更清楚地表明矢量腐蝕、膨脹運(yùn)算后圖像的變化,給出了HSV空間下三個(gè)分量的直方圖變化,如圖1(d)～(f)所示.直方圖表明,腐蝕和膨脹后的圖像色調(diào)基本沒(méi)有發(fā)生變化(由于色調(diào)本身不存在大小關(guān)系,因此這一點(diǎn)滿足我們的視覺(jué)要求);腐蝕后的圖像飽和度變大,膨脹后的飽和度變小(由于飽和度越小就越靠近白色點(diǎn),因此這一點(diǎn)也是符合人眼的視覺(jué)感知的);腐蝕后的圖像亮度變小,膨脹后的圖像亮度變大,即腐蝕后的圖像整體向黑色點(diǎn)靠攏,而膨脹后的圖像向白色點(diǎn)靠攏,這一結(jié)論與經(jīng)典的灰度形態(tài)學(xué)理論是一致的,即灰度形態(tài)學(xué)理論中的對(duì)偶性是矢量形態(tài)學(xué)理論對(duì)偶性的一類特殊情況.

實(shí)際上,除歐式對(duì)稱距離外,城市對(duì)稱距離、權(quán)重的歐式對(duì)稱距離以及權(quán)重的城市對(duì)稱距離均能使矢量形態(tài)學(xué)算子滿足對(duì)偶性.為了方便表示,我們統(tǒng)一歐式對(duì)稱距離和城市對(duì)稱距離為對(duì)稱距離SD,對(duì)應(yīng)的矢量形態(tài)學(xué)算子為(εSD,δSD).根據(jù)(εSD,δSD),結(jié)合經(jīng)典的形態(tài)學(xué)理論給出組合形態(tài)學(xué)算子,由此給出矢量開(kāi)、閉定義如下:

γSD(f)=δSD[εSD(f)]

(24)

φSD(f)=εSD[δSD(f)]

(25)

利用開(kāi)、閉濾波器可以定義各種組合濾波算子[15],如矢量開(kāi)閉φSDγSD、矢量閉開(kāi)γSDφSD.圖2給出了組合形態(tài)學(xué)濾波算子對(duì)彩色圖像的濾波結(jié)果(本文中SD選用歐式距離).

圖2表明,基于本文方法構(gòu)建的矢量形態(tài)學(xué)濾波算子能去除圖像中的小結(jié)構(gòu)元素.以矢量腐蝕起始的濾波算子導(dǎo)致濾波后的圖像變暗,而以矢量碰撞起始的濾波算子導(dǎo)致濾波后的圖像變亮,矢量對(duì)偶形態(tài)學(xué)濾波算子滿足對(duì)偶性,處理后的圖像具有對(duì)稱性.

3　應(yīng)用

經(jīng)典的灰度形態(tài)學(xué)算子已廣泛應(yīng)用于圖像濾波、邊緣檢測(cè)、圖像增強(qiáng)以及圖像分割等領(lǐng)域,然而,形態(tài)學(xué)理論在多通道圖像的處理領(lǐng)域的應(yīng)用尚處于探索階段,為了拓展矢量形態(tài)學(xué)理論在多通道圖像處理中的應(yīng)用,下面給出兩個(gè)應(yīng)用實(shí)例.

3.1彩色圖像濾波

傳統(tǒng)的形態(tài)學(xué)濾波算子性能較低,而柔性形態(tài)學(xué)濾波算子由于具有較強(qiáng)的噪聲抑制功能而得到了廣泛應(yīng)用[16].由于本文提出的VMO-SD可以將經(jīng)典的形態(tài)學(xué)理論直接拓展到多通道圖像處理中,因此我們可以構(gòu)建滿足對(duì)偶性的多變量柔性形態(tài)學(xué)濾波算子,以提高形態(tài)學(xué)濾波算子的性能.

基于柔性形態(tài)學(xué)腐蝕運(yùn)算的定義,可以定義彩色圖像f∈Γ(R,ΩRGB),B為結(jié)構(gòu)元素,A為內(nèi)核.利用結(jié)構(gòu)元素B對(duì)圖像f在x處的矢量柔性腐蝕可定義為(矢量排序方法為SD):

εSD(f)(x)(B,A,r)=

(26)

其中,◇表示重復(fù)運(yùn)算.同樣的,柔性矢量膨脹運(yùn)算的定義為:

δSD(f)(x)(B,A,r)=

(27)

根據(jù)式(26)、(27),也可以證明(εSD(B,A,r),δSD(B,A,r))是一對(duì)對(duì)偶算子,即矢量柔性形態(tài)學(xué)算子亦滿足對(duì)偶性.由此,經(jīng)典的柔性形態(tài)學(xué)濾波算法可直接拓展到本文提出的矢量形態(tài)學(xué)算子中,構(gòu)建基于SD的柔性形態(tài)學(xué)濾波算子為:

γSD(f)(B,A,r)=δSD[εSD(f)(B,A,r)](B,A,r)

(28)

φSD(f)(B,A,r)=εSD[δSD(f)(B,A,r)](B,A,r)

(29)

為了驗(yàn)證VMO-SD的性能,仿真實(shí)驗(yàn)選用了標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像“Parrots”,噪聲選用椒鹽噪聲模型.圖3(a)為原圖,圖3(b)為加入椒鹽噪聲的圖像(噪聲強(qiáng)度為10%).為了表明本文方法的優(yōu)越性,給出了5種主流的矢量形態(tài)學(xué)濾波算子作為對(duì)比(矢量排序方法見(jiàn)表1),構(gòu)建的矢量形態(tài)學(xué)濾波算子分別為OC/CO-DLSH,OC/CO-TLO,OC/CO-QPEPA,OC/CO-HVSD、OC/CO-FEEA,OC/CO-SD和SOC/SCO-SD(OC/CO表示開(kāi)閉/閉開(kāi)濾波算子(φ)B2(γ)B1和(γ)B2(φ)B1,SOC/SCO表示柔性開(kāi)閉/柔性閉開(kāi)濾波算子φSD(B2,A,3)γSD(B1,A,2)和γSD(B2,A,3)φSD(B1,A,2),B1為3×3圓盤,B2為方形結(jié)構(gòu)元素,柔性等級(jí)r為2和3),濾波結(jié)果如圖3(c)～圖3(i)所示.

圖3表明,傳統(tǒng)的矢量形態(tài)學(xué)濾波算子均存在一個(gè)問(wèn)題,即經(jīng)過(guò)閉開(kāi)濾波算子濾波后的圖像較開(kāi)閉濾波算子濾波后的圖像質(zhì)量差,圖3(j)～圖3(n)的殘余噪聲較圖3(c)～圖3(g)嚴(yán)重.基于DLSH、TLO、QPEPA、HVSD和FEEA排序算法定義的矢量形態(tài)學(xué)開(kāi)閉、閉開(kāi)算子性能差異較大,這與經(jīng)典的形態(tài)學(xué)理論相矛盾.理論上我們已經(jīng)證明了已有的矢量形態(tài)學(xué)濾波算子均不滿足對(duì)偶性,而圖3的濾波結(jié)果也進(jìn)一步驗(yàn)證了理論的正確性.基于本文方法構(gòu)建的矢量形態(tài)學(xué)濾波算子(OC/CO-SD)和柔性矢量形態(tài)學(xué)濾波算子(SOC/SCO-SD)滿足對(duì)偶性,即開(kāi)閉、閉開(kāi)濾波后的結(jié)果近似,見(jiàn)圖3(g),(h),(o),(p).尤其是SOC-SD和SCO-SD,濾波后的圖像不僅有效去除了噪聲,而且保留了傳統(tǒng)形態(tài)學(xué)濾波算子的對(duì)偶特性.

表1　矢量排序算法

對(duì)于彩色圖像濾波而言,常常用恢復(fù)圖像偏移原始圖像的誤差來(lái)衡量圖像濾波的質(zhì)量.常用的衡量標(biāo)準(zhǔn)有圖像的峰值信噪比和歸一化色差.f(x,y)是原圖像,g(x,y)是濾波后的圖像,圖像尺寸為M×N.由此得到彩色圖像的峰值信噪比為:

(30)

歸一化色差為:

(31)

根據(jù)式(30)、(31),對(duì)圖3(a)加入不同等級(jí)的椒鹽噪聲后,利用不同矢量形態(tài)學(xué)濾波算子對(duì)噪聲圖像濾波,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖4所示.

由圖4可以看出,在不同等級(jí)噪聲下,本文提出的OC/CO-SD,SOC/SCO-SD均具有較高的PSNR和較小的NCD,在OC算子中,OC-FEEA的PSNR略高于本文方法,但NCD大于本文方法.這是由于FEEA采用了模糊極值估計(jì)算法,在去除噪聲方面具有優(yōu)勢(shì),然而該算子計(jì)算量較大,且不滿足對(duì)偶性,無(wú)法構(gòu)建柔性形態(tài)學(xué)算子.在CO算子中,本文方法具有明顯的優(yōu)勢(shì),具有最高的PSNR和較低的NCD數(shù)據(jù)，從而表明基于本文方法構(gòu)建的矢量對(duì)偶形態(tài)學(xué)濾波算子具有近似的濾波性能,繼承了傳統(tǒng)形態(tài)學(xué)對(duì)偶算子的性質(zhì).綜合各項(xiàng)性能指標(biāo)可以看出,本文方法在彩色圖像濾波中具有明顯的優(yōu)越性.

結(jié)合圖3和圖4可以看出,VMO-SD具有較高的濾波性能,且繼承了經(jīng)典形態(tài)學(xué)理論的對(duì)偶性.該類算子可以將經(jīng)典的形態(tài)學(xué)濾波算子直接拓展到多通道圖像處理中,從而解決了現(xiàn)有矢量形態(tài)學(xué)濾波算子性能較低、算法難以拓展的問(wèn)題.

3.2彩色圖像梯度

在4.1節(jié)中,我們利用形態(tài)學(xué)濾波算子驗(yàn)證了本文提出的矢量對(duì)偶形態(tài)學(xué)算子的優(yōu)越性.下面我們驗(yàn)證矢量形態(tài)學(xué)算子在多通道圖像梯度計(jì)算方面的性能.已知形態(tài)學(xué)梯度算子是各向異性的,因此傳統(tǒng)的形態(tài)學(xué)梯度算子對(duì)噪聲非常敏感[17],數(shù)學(xué)模型如式(32) 所示.針對(duì)該問(wèn)題,Evans提出了一種有效的抗噪聲形態(tài)學(xué)梯度算子,該方法首先計(jì)算矢量集合中具有最大矢量距離的像素點(diǎn),然后通過(guò)移除具有最大距離的像素點(diǎn),得到優(yōu)化后的矢量集合,最后重新計(jì)算矢量梯度,數(shù)學(xué)模型如式(33)所示[18].

(32)

(33)

RCMG一定程度上改善了梯度算子的抗噪聲性能.然而,由于形態(tài)學(xué)梯度算子是膨脹算子與腐蝕算子差,而RCMG算子不依賴膨脹和腐蝕的輸出,僅通過(guò)計(jì)算矢量距離作為矢量梯度輸出,不符合傳統(tǒng)形態(tài)學(xué)梯度算子的定義,因此難以將其統(tǒng)一到形態(tài)學(xué)理論中,且該方法難以被拓展.基于RCMG的思想,為了改善形態(tài)學(xué)梯度算子的性能,將該理論統(tǒng)一到形態(tài)學(xué)理論框架下,結(jié)合4.1節(jié)提出的柔性形態(tài)學(xué)算子,本文給出了基于對(duì)稱距離的矢量柔性形態(tài)學(xué)梯度算子(SGO-SD):

GSD(f)(B,A,r)=

|δWED(f)(B,A,r)-εBED(f)(B,A,r)|

(34)

柔性形態(tài)學(xué)梯度算子具有較好的抗噪聲性能,且符合形態(tài)學(xué)梯度算子的定義.而且由于VMO-SD滿足對(duì)偶性,因此可以將它的矢量形態(tài)算子統(tǒng)一到形態(tài)學(xué)理論框架下.為了驗(yàn)證SGO-SD的優(yōu)越性,仿真實(shí)驗(yàn)中,選用標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像“Caps”,噪聲選用椒鹽噪聲模型.圖5(a)為原圖,圖5(b)為圖5(a)的形態(tài)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)梯度圖像,圖5(c)為加入椒鹽噪聲的圖像(強(qiáng)度為1%),圖5(d)～(k)分別為經(jīng)過(guò)GO-DLSH、GO-TLO、GO-QPEPA、GO-HVSD、GO-FEEA以及SGO-SD處理后的梯度圖像(梯度算子均選用形態(tài)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)梯度算子,結(jié)構(gòu)元素選用3×3方形結(jié)構(gòu)元素).

圖5表明,已有的矢量形態(tài)學(xué)梯度算子盡管不滿足對(duì)偶性,其理論也難以統(tǒng)一到數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)理論框架中,但是它們具有梯度檢測(cè)的功能,然而抗噪聲性能較差.本文提出的對(duì)偶形態(tài)學(xué)算子滿足對(duì)偶性,因此可以根據(jù)經(jīng)典的灰度形態(tài)學(xué)理論進(jìn)行拓展,得到矢量柔性梯度算子.新的梯度算子在有效檢測(cè)梯度的同時(shí)對(duì)噪聲具有較強(qiáng)的抑制作用.為了進(jìn)一步驗(yàn)證SGO-SD的優(yōu)越性,圖6給出了不同噪聲等級(jí)下各種不同矢量形態(tài)學(xué)梯度算子檢測(cè)梯度的性能.

圖6表明,在不同等級(jí)噪聲環(huán)境下,SGO-SD均具有較高的PSNR和較低的NCD,尤其當(dāng)柔性算子的參數(shù)變大(r=3)時(shí),算子對(duì)噪聲的變化不敏感,其濾波性能沒(méi)有發(fā)生較大改變.如圖6中的SGO-SD(r=3)幾乎為水平直線,顯然魯棒性較高.而其余算子隨著噪聲強(qiáng)度的增大性能迅速降低.因此,SGO-SD魯棒性較高,不易受噪聲參數(shù)的影響.

4　結(jié)論

論文從現(xiàn)有的矢量形態(tài)學(xué)對(duì)偶濾波算子性能偏差較大這一發(fā)現(xiàn)出發(fā),分析了影響矢量形態(tài)學(xué)濾波算子的彩色空間選擇和矢量排序算法,通過(guò)理論證明驗(yàn)證了彩色空間和矢量排序算法是導(dǎo)致現(xiàn)有的矢量形態(tài)學(xué)算子難以滿足對(duì)偶性的兩個(gè)重要因素.針對(duì)這一問(wèn)題展開(kāi)研究,提出并實(shí)現(xiàn)了基于對(duì)稱距離的矢量形態(tài)學(xué)算子.新的形態(tài)學(xué)算子滿足對(duì)偶性,從而將矢量形態(tài)學(xué)理論與經(jīng)典的形態(tài)學(xué)理論相統(tǒng)一,并將經(jīng)典的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算子直接拓展到矢量形態(tài)學(xué)運(yùn)算中,構(gòu)建了矢量形態(tài)學(xué)柔性濾波算子和矢量形態(tài)學(xué)柔性梯度算子.將這些新的算子應(yīng)用到多通道圖像濾波和梯度計(jì)算中,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了本文提出算子具有較高的性能,應(yīng)用前景明朗.

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雷濤男,1981年11月出生,陜西大荔人.2011年獲西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院信息與通信工程專業(yè)博士學(xué)位.現(xiàn)為西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院電子科學(xué)與技術(shù)專業(yè)博士后,蘭州交通大學(xué)電子與信息工程學(xué)院副教授,主要從事圖像處理、模式識(shí)別、計(jì)算機(jī)視覺(jué)等方面的研究工作.

E-mail:leitao@mail.lzjtu.cn

樊養(yǎng)余男,1960年出生,陜西藍(lán)田人.1999年獲西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院水下聲學(xué)信號(hào)處理專業(yè)博士學(xué)位,現(xiàn)為西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院教授,博士生導(dǎo)師,主要從事圖像處理、模式識(shí)別、虛擬現(xiàn)實(shí)等方面的研究工作.

E-mail:fan_yangyu@sina.com

王小鵬男,1969年出生,甘肅正寧人.2005年獲西北工業(yè)大學(xué)信號(hào)與信息處理專業(yè)博士學(xué)位.現(xiàn)為蘭州交通大學(xué)電子與信息工程學(xué)院教授,主要從事圖像處理、模式識(shí)別方面的研究工作.

E-mail:wangxiaopeng@mail.lzjtu.cn

王履程男,1978年12月出生,甘肅皋蘭人.2005年獲蘭州交通大學(xué)通信與信息系統(tǒng)碩士學(xué)位.現(xiàn)為西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院模式識(shí)別與智能系統(tǒng)專業(yè)博士生,蘭州交通大學(xué)講師,主要從事數(shù)字圖像處理、模式識(shí)別、機(jī)器視覺(jué)等方面的研究工作.

E-mail:wanglc@mail.lzjtu.cn

Vector Dual Morphological Operators

LEI Tao1,3,ZHANG Yan-ning1,FAN Yang-yu2,WANG Xiao-peng3,WANG Lü-cheng3

(1.SchoolofComputerScience,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi′an,Shaanxi710072,China;2.SchoolofElectronicsandInformation,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi′an,Shaanxi710072,China;3.SchoolofElectronicandInformationEngineering,LanzhouJiaotongUnivesity,Lanzhou,Gansu730070,China)

Duality is one of the most important properties of morphological operators,and it has important applications in image processing.Since the existing vector morphological operators are unable to meet the duality,it is difficult to develop vector morphological theory and applications.In order to address the issue,we studied the properties of the existing vector morphological operators,and then found color spaces and vector ordering algorithms are two important factors which directly determine whether vector morphological operators are dual or not.In this paper,the symmetric color space and the symmetric vector distance are chosen and used to define the novel vector morphological operators with duality.Moreover,the novel vector morphological filters,gradient operators are also proposed and applied to color image corrupted by noise.Experimental results show that the proposed vector morphological operators can provide better results than the existing approaches for color image filtering and edge detection.

mathematical morphology;vector morphological operators;color image processing duality

2013-12-30;修回日期:2014-03-19；責(zé)任編輯：梅志強(qiáng)

國(guó)家自然科學(xué)基金(No.61461025,No.61202314,No.61261209,No.61402371);中國(guó)博士后科學(xué)基金(No.2012M521801);中國(guó)博士后特別資助(No.2014T70937)

TP391.41

A

0372-2112 (2016)06-1285-09