徐沈慧
(江蘇省常州市金壇區(qū)第四中學)
高考數學中三角函數、立體幾何以及數列問題分析
徐沈慧
(江蘇省常州市金壇區(qū)第四中學)
為了更加有效地幫助學生提高高考成績,促進學生對三角函數、立體幾何、數列問題的學習效果,有必要針對高考數學中三角函數、立體幾何以及數列問題進行深入分析。
高中三角函數知識中的難點較多,很多學生都難以理解深刻,因此學生對三角函數知識的掌握效果普遍不佳,而三角函數又是高考中主要考查的知識點之一,教師必須幫助學生攻克難關。我認為,教師應該著重引導學生分散難點和轉化難點,當學生遇到陌生而復雜的三角函數式子時,首先要認真審題,弄清本道題考查的知識點是什么,之后要利用三角函數的性質,并充分運用倍角公式、降冪公式、化二為一公式來把該式將式子變形,分散和轉移難點,再利用所學知識進行解答。
例如,在求函數y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值時,假如學生對此式子感到陌生,此時教師就可以引導學生來分散和轉移難點,該題可以利用倍角公式降冪,再利用配方變?yōu)閺秃虾瘮?,通過教師一步步的引導,最終學生可以將y=7-4sinxcosx+ 4cos2x-4cos4x轉化為y=(1-sin2x)2+6,這樣一來此題就容易解答了,因為函數z=(u-1)2+6在[-1,1]中的最大值為Zmax=(-1-1)2+6= 10,最小值為Zmin=(1-1)2+6=6,因此該題最終答案即是“當sin2x=-1時y取得最大值10,當sin2x=1時y取得最小值6”。
很多高考學生在解答立體幾何問題時出現錯誤,都是因為對知識掌握不牢固,或者是因為學生頭腦中缺乏空間感和立體感,也有個別學生由于書寫不規(guī)范導致沒能取得理想的成績。教師應該帶領學生進行易錯題練習,教師在平時的日常教學過程中,一定要善于總結,歸納出學生容易產生錯誤的題型,進而針對性地進行訓練,并且在訓練過程中要帶領學生進行總結,分析每道題中容易出現錯誤的環(huán)節(jié),讓學生引以為鑒。
例如,在下面這個圖形中:
已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側棱長等于b,斜三棱柱的底面為正三角形,正三角形的邊長等于a,AB和AC是底面兩條鄰邊,AB、AC與側棱AA1都成45°角,求斜三棱柱的側面積。
在解答這道題時,一些學生沒有給出任何證明而直接計算結果,也有一部分學生在作直截面時出現了錯誤,過BC作平面AA1垂直于M,還有一些學生由∠A1AB=∠A1ACAA1在底面ABC上的射影是∠BAC的平分線,沒有給出結論,這些都是學生比較容易出現的錯誤,針對這些問題,教師應該先引導學生找到正確答案,引導學生過點B作BM⊥AA1于M,之后再啟發(fā)學生連結CM,最后一步步指引學生找出正確的解題思路:在ABM和ACM中,AB=AC,同時∠MAB=∠MAC=45°,并且MA為公用邊,所以可以證明ABMACM,進而又可以證明∠AMC=∠AMB=90°,因此AA1⊥面BHC,根據上述步驟就可以證明平面BMC為直截面,在此基礎上通過BM=CM=ABsin45°=a,又可以證明BMC的周長等于a+a=(1+)a,已知條件中給出了棱長等于b,所以最終S側=(1+)ab。
高中學生在解答立體幾何問題時,常常由于缺乏立體感和空間感而出現錯誤,因此教師還應該加強學生的立體感和空間感。
例如以下這道題:一個密封的正方體盒子中有一個小球,正方體盒子的棱長為6 cm,小球的半徑為1 cm,無論怎樣搖動這個正方體盒子,盒子中都有一部分空間是小球不能到達的,求小球在盒子中不能到達的空間的體積。
這道題的題目只有文字敘述,沒有圖形,因此需要學生在大腦中形成立體圖形,個別學生在解答過程中,誤以為小球就是正方體的內切球,直接用正方體的體積減去內切球的體積,這樣就出現了錯誤,而出現錯誤的一個主要原因就是學生想象力不足,缺乏立體感和空間感,教師應該多通過類似的練習題來提升學生的立體感和空間感。
另外,書寫是否規(guī)范也對學生的成績有一定影響,因此教師還要幫助學生鍛煉書寫能力,使學生能夠熟練做好“作”“證”“算”各個步驟,幫助學生正確地表述,糾正他們的邏輯錯誤,使他們可以將自己想表達的內容完整、有序地表達出來。
在解答數列問題時,教師應該幫助學生明確以下幾條思路:
(1)在處理數列的計算問題時,應充分、靈活地利用等比以及等差數列的通項公式、前n項和的公式,同時要妥善利用數列的性質;
(2)在處理等比以及等差數列的證明問題時,要充分運用定義;
(3)在遇到數列方面的難題時,應進行轉化,將數列問題轉化為數學問題,這樣就可以通過數學知識來解答問題;
(4)想要順利地處理數列問題,就要熟練掌握一些數學思想,包括分類討論思想、函數方程思想、整體解決問題思想等等,因此教師要幫助學生強化數學思想。
此外,教師應該帶領學生在平時的學習過程中多積累知識,首先應該讓學生勤看課本,課本中的范例難度適中,有助于幫助學生加深對立體幾何知識的印象。當學生熟練掌握課本內容之后,再帶領學生進行習題訓練,教師一定要注意,開展習題練習不能盲目采取題海戰(zhàn)術,習題練習不僅需要“量”,更需要“質”,一定要明確學生的學習難點,有針對性地進行訓練。
在高中數學知識中,三角函數、立體幾何、數列問題是三個重要的知識點,在多年的高考試題中,都要涉及這三個知識點,本文分別探討了解答這三種問題的策略,希望對教學工作有所借鑒。
·編輯薄躍華