時(shí)頻分析基本理論

杜廣正

一、時(shí)頻分析的基本概念

分析和處理平穩(wěn)信號(hào)的最常用也是最主要的方法是Fourier分析，F(xiàn)ourier變換是傳統(tǒng)信號(hào)分析中最重要的數(shù)學(xué)工具。Fourier變換建立了信號(hào)時(shí)域與頻域之間變換的關(guān)系，而Fourier反變換則建立了一種能使信號(hào)從頻域變到時(shí)域的路徑，而且頻域時(shí)域變換是一一對(duì)應(yīng)的。

我們可以從頻域和時(shí)域來(lái)分析一個(gè)信號(hào)?；?Fourier變換解釋了信號(hào)在頻域的特征，F(xiàn)ourier變換是一種全局變換。在整體上，將信號(hào)分解為不同的頻率分量，即對(duì)信號(hào)的表征完全在頻域，這種表征同信號(hào)的時(shí)域形式是相對(duì)獨(dú)立的，即兩者不能同時(shí)聯(lián)合描述信號(hào)。為了分析和處理非平穩(wěn)信號(hào)，我們使用時(shí)間和頻率的的聯(lián)合函數(shù)來(lái)表示信號(hào)，這種方法稱為信號(hào)的時(shí)頻表示或者聯(lián)合時(shí)頻分析，其基本思想是設(shè)計(jì)時(shí)間和頻率的聯(lián)臺(tái)函數(shù)，用它同時(shí)描述信號(hào)在不同時(shí)間和頻率的能量密度和強(qiáng)度。假設(shè)存在這樣一個(gè)分布Wx（t，ω），就可以計(jì)算在某一特定時(shí)間的頻率的密度，求在某一確定的頻率和時(shí)間范圍內(nèi)的能量百分比，計(jì)算該分布的整體和局部的各階矩等等。在信號(hào)處理中，信號(hào)一般可以分為兩類：確定性信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)。而隨機(jī)信號(hào)又分為平穩(wěn)和非平穩(wěn)信號(hào)。平穩(wěn)信號(hào)常用的處理方法是頻域分析法，這種方法通常采用建立信號(hào)x（t）與其頻譜X（f）之間的一一映射關(guān)系，調(diào)整傅立葉變換與傅立葉反變換之間存在的整體和全局的變化，即頻譜只能是從整體信號(hào)的時(shí)域表示得到的，其時(shí)域表示只能從整體信號(hào)的頻譜獲得的，信號(hào)的平穩(wěn)或非平穩(wěn)主要是根據(jù)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)量特征來(lái)衡量的。因此，傳統(tǒng)的傅立葉變換無(wú)法反映非平穩(wěn)信號(hào)統(tǒng)計(jì)量的時(shí)間變化特征。

二、短時(shí)傅里葉變換

短時(shí)傅立葉變換（窗口傅立葉變換）是用一個(gè)很窄的窗函數(shù)取出信號(hào)， 對(duì)其求傅立葉變換，假定信號(hào)在這個(gè)時(shí)窗內(nèi)是平穩(wěn)的，得到該時(shí)窗內(nèi)的頻率，并過(guò)濾掉了窗函數(shù)以外的信號(hào)頻譜，確定頻率在特定的時(shí)間內(nèi)是存在的，然后沿著信號(hào)移動(dòng)窗函數(shù)，得到信號(hào)頻率隨時(shí)間的變化關(guān)系，這樣就得到了時(shí)頻分布?？芍虝r(shí)傅立葉變換的定義為：

這種變換是線性的，而且滿足疊加原理。換言之，如果s（t）是幾個(gè)信號(hào)分量的線性組合，那么各個(gè)信號(hào)分量的時(shí)頻線性組合可以得到s（t）的時(shí)頻表示：

線性由于不會(huì)產(chǎn)生交叉項(xiàng)干擾，所以是區(qū)分多分量信號(hào)的希望的性質(zhì)，而且小波變換也是線性時(shí)頻變換。傅立葉變換可以分別從信號(hào)的時(shí)域和頻域觀察信號(hào) ，但卻不能把二者聯(lián)合起來(lái)描述信號(hào)。因?yàn)樾盘?hào)的時(shí)域中不包含任何頻域信息；而頻域中不包含時(shí)域信息。同時(shí)短時(shí)傅立葉變換概念直接，算法簡(jiǎn)單，已經(jīng)成為研究非平穩(wěn)信號(hào)十分有力的工具，在信號(hào)瞬時(shí)頻率的估計(jì)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，并且是其它時(shí)頻分析的基礎(chǔ)。但是它存在兩個(gè)問(wèn)題：對(duì)窗函數(shù)的長(zhǎng)度選擇與窗函數(shù)的選擇問(wèn)題。為了得到更好的頻域效果，因?yàn)榇昂瘮?shù)的長(zhǎng)度與頻譜圖的頻率分辨率密切相關(guān)，因此信號(hào)的觀察時(shí)間必須比較長(zhǎng)。當(dāng)信號(hào)變化很快時(shí)，反應(yīng)頻率與時(shí)間變化的關(guān)系將會(huì)受到影響；然而，當(dāng)窗函數(shù)很短時(shí)，對(duì)于特定的窗函數(shù)來(lái)說(shuō)，將會(huì)得到更好的效果。對(duì)比其他方法來(lái)說(shuō)，短時(shí)傅立葉變換（STFT）雖然有著分辨率不高等明顯缺陷，但由于其算法簡(jiǎn)單，實(shí)現(xiàn)容易，所以在很長(zhǎng)一段時(shí)間里成為非平穩(wěn)信號(hào)分析標(biāo)準(zhǔn)和有力的工具，而且不會(huì)產(chǎn)生多信號(hào)交叉干擾項(xiàng)，同時(shí)我們采用短時(shí)傅里葉變換算法估計(jì)瞬時(shí)頻率對(duì)于頻率分集和頻率編碼脈沖信號(hào)來(lái)說(shuō)會(huì)更加方便。

三、Wigner-Ville分布

從本質(zhì)上說(shuō)，短時(shí)傅里葉變換和小波變換都是線性時(shí)頻表示，它不能描述信號(hào)的瞬時(shí)功率譜密度，進(jìn)行時(shí)頻分析的基本目的就是確定一種時(shí)頻分析函數(shù)，使其能夠確定在時(shí)間 t及頻率f處信號(hào)的那部分能量。Cohen類雙線性表示的本質(zhì)就是在時(shí)頻平面中分布信號(hào)的能量，其中WignerVille（WVD）就是常用的一種時(shí)頻分布。WVD 是一種二次型變換，具有許多優(yōu)良的性質(zhì)，但當(dāng)分析多頻率成分的信時(shí)，由于是二次型變換，不可避免地出現(xiàn)交叉項(xiàng)干擾，這是它的缺點(diǎn)。最初，Wigner利用量子力學(xué)提出了這種分布：

由于Wigner-Ville分布在時(shí)域與頻域的定義形式基本相同，因此，對(duì)于在時(shí)頻討論的問(wèn)題在頻域也同樣適用。此外，Wigner-Ville分布對(duì)于不同時(shí)間采用同樣的加權(quán)，因此它是完全非局部化。為了在特定時(shí)間得到Wigner-Ville分布，我們要把幾段信號(hào)加起來(lái)，這幾段信號(hào)是由過(guò)去某一時(shí)間的信號(hào)乘上未來(lái)某一時(shí)間的信號(hào)的乘積組成，所取時(shí)間的過(guò)去時(shí)間與未來(lái)時(shí)間相等。Wigner-Ville分布相等的權(quán)衡遠(yuǎn)處時(shí)間與近處時(shí)間。

將其稱為互Wigner分布（cross Wigner Distribution）。WVD有許多優(yōu)良的性質(zhì)，時(shí)頻聚焦好，比線形時(shí)頻有較高分辨率。

由于Wigner變換的雙線性特性，在分布中引入交叉項(xiàng)，使得從分布中提起有用信息的過(guò)程變得復(fù)雜。自項(xiàng)和交叉項(xiàng)會(huì)有多種組合形式，交叉項(xiàng)不僅能對(duì)自項(xiàng)進(jìn)行干擾，還能出現(xiàn)在自項(xiàng)的地方。然而WVD雖存在交叉項(xiàng)，但不存在窗函數(shù)或母小波的選取問(wèn)題，而且其時(shí)頻聚焦性好，因而受到人們的重視。

四、總結(jié)

通過(guò)對(duì)時(shí)頻分析理論的研究，介紹了線性時(shí)頻表示、雙線性時(shí)頻表示等時(shí)頻分析方法，論述了各種時(shí)頻方法的優(yōu)缺點(diǎn)，使得我們更加準(zhǔn)確而且形象的了解了信號(hào)的變化。