城市化進(jìn)程中人口變化的動(dòng)力學(xué)分析

葉凱莉,王秋燕 ，宋 強(qiáng)

(1.信陽(yáng)師范學(xué)院 a.工商管理學(xué)院;b.數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河南 信陽(yáng) 464000;2.信陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系， 河南 信陽(yáng) 464000)

0 引言

伴隨著工業(yè)化進(jìn)程的推進(jìn)和社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,城市化現(xiàn)象越來(lái)越受到人們的關(guān)注.城市化在帶動(dòng)區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展的同時(shí)，也引起了城市和農(nóng)村人口結(jié)構(gòu)的變化.而城市外來(lái)人口的增加和農(nóng)村勞動(dòng)力的減少對(duì)社會(huì)也造成了一定的消極影響，因此，控制城市化進(jìn)程中的人口流動(dòng)是必要的.

(1)

其中：x,y分別代表城市和鄉(xiāng)村人口密度；a,b,c,d為正參數(shù).這里假設(shè)x(0)>0,y(0)>0.顯而易見(jiàn)，該模型有非平凡平衡點(diǎn).

本文對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行了全局性分析.利用類(lèi)似于文獻(xiàn)[5]的方法,首先給出了解的有界性，然后討論了平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性.特別地，對(duì)正平衡點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行了系統(tǒng)地研究，得到了其存在性和局部漸近穩(wěn)定性的條件.然后利用Bendixon-Dulac定理[6]得出了系統(tǒng)不存在非平凡正周期解，進(jìn)而得到正平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.最后對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行了討論和總結(jié).

1 解的有界性

根據(jù)解的存在唯一性定理和簡(jiǎn)單的討論可知，系統(tǒng)(1)的解總是存在且為正.事實(shí)上，由系統(tǒng)(1)，易得

這分別意味著

(2)

首先考慮系統(tǒng)(1)中x(t)的有界性.顯然，根據(jù)解的正性，下面假設(shè)c>d.于是，有以下結(jié)論：

定理1 對(duì)于系統(tǒng)(1)，如果c>d，那么

(3)

證明由以上的討論可知，存在一個(gè)T>0，使得當(dāng)t>T時(shí)，y(t)<1.由系統(tǒng)(1)的第二個(gè)方程可知，對(duì)于t>T，有

于是，得到

這說(shuō)明，對(duì)于c>d,有

通過(guò)以上討論，可以得到下面的結(jié)論.

定理2 如果c>d,那么系統(tǒng)(1)是持久的.

2 平衡點(diǎn)分析

2.1 平衡點(diǎn)的存在性

系統(tǒng)(1)有平衡點(diǎn)E0(0,0)和邊界平衡點(diǎn)E1(1,0)與E2(0,1).

假設(shè)存在正平衡點(diǎn)E*(x*,y*),則有

(4)

結(jié)合方程組(4),可得

-(abc+a2d)(x*)2+2ad(a+b)x*+

b2c+abc-a2d-b2d-2abd=0，

(5)

(6)

定義

F(x)=-(abc+a2d)x2+2ad(a+b)x+

b2c+abc-a2d-b2d-2abd,

(7)

(8)

那么(x*,y*)是系統(tǒng)(2)的正平衡點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)x*是F(x)=0的一個(gè)正解和y*是正的，其滿(mǎn)足方程(8).

注意到方程(5)是一個(gè)二次方程，通常來(lái)講，其最多有兩個(gè)正根.但是，下面將說(shuō)明多項(xiàng)式(7)僅有一個(gè)正根滿(mǎn)足式(6).

由式(7)可得，如果Δ=ab2c(a+b)(c-d)≥0,那么方程F(x)=0有正根.

當(dāng)Δ=0時(shí)，F(xiàn)(x)=0只有一個(gè)正根x=1，此時(shí)y=0，顯然這是一個(gè)邊界平衡點(diǎn).

當(dāng)Δ>0即c>d時(shí)，F(xiàn)(x)=0有兩個(gè)正根x1和x2，其中x1>x2>0.由式(8)可得y1>0，y2<0.因此，根據(jù)解的正性，僅有一根x*=x1滿(mǎn)足式(6)，也就是說(shuō)，E*(x*,y*)是系統(tǒng)(1)唯一的正平衡點(diǎn).

綜上所述，對(duì)于系統(tǒng)(1)正平衡點(diǎn)的存在性，有下面的定理.

定理3 如果c≤d,則系統(tǒng)(1)存在一個(gè)平衡點(diǎn)E0(0,0)和兩個(gè)邊界平衡點(diǎn)E1(1,0)，E2(0,1)；不存在正平衡點(diǎn).如果c>d，則系統(tǒng)(1)存在唯一的正平衡點(diǎn)E*(x*,y*).

2.2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

平衡點(diǎn)E0,E1,E2和E*的穩(wěn)定性分別是由系統(tǒng)在這些點(diǎn)處的雅克比矩陣J(E0),J(E1),J(E2)和J(E*)的特征值所決定的.易得，系統(tǒng)(2)的雅克比矩陣為

由系統(tǒng)(1)相應(yīng)的線(xiàn)性系統(tǒng)易得，原點(diǎn)(0,0)處的雅克比矩陣為

顯然，無(wú)論正平衡點(diǎn)E*是否存在，E0總是一個(gè)不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn).

下面分別將雅克比矩陣J(x,y)的跡和行列式記為A和B.

平衡點(diǎn)(1,0)處的雅克比矩陣J1=J(E1)為

容易看出，它的特征根為λ1=-a和λ2=c-d.當(dāng)c>d時(shí)，即正平衡點(diǎn)存在時(shí)，E1是不穩(wěn)定的，同時(shí)，J(E1)的行列式為負(fù)，因此，E1是一個(gè)鞍點(diǎn).當(dāng)c≤d時(shí)，正平衡點(diǎn)不存在，此時(shí)，A2-4B=(a+c-d)2≥0,且J(E1)的行列式B是非負(fù)的，因此E1是一個(gè)結(jié)點(diǎn).如果c0，此時(shí)E1是一個(gè)局部漸近穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn).如果c=d，那么B=0,A<0，此時(shí)，E1是一個(gè)不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn).

平衡點(diǎn)(0,1)處的雅克比矩陣J2=J(E2)為

很明顯，它的特征根為λ1=a+b和λ2=-c.因此，E2是一個(gè)鞍點(diǎn).

平衡點(diǎn)(x*,y*)處的雅克比矩陣J*=J(E*)為

J(E*)=

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算，可得A<0，B>0，這表明E*是局部漸近穩(wěn)定的.

綜上所述，我們得到下面的定理：

定理4 對(duì)于系統(tǒng)(1)，無(wú)論正平衡點(diǎn)是否存在，總有一個(gè)不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)E0和一個(gè)鞍點(diǎn)E2.如果正平衡點(diǎn)存在，即c>d，那么E1是一個(gè)鞍點(diǎn)，E*是局部漸近穩(wěn)定的.如果正平衡點(diǎn)不存在，即c

3 非平凡正周期解的不存在性

下面將證明系統(tǒng)不存在非平凡正周期解.顯然，要在正平衡點(diǎn)存在的情況下討論.

若正平衡點(diǎn)外圍存在極限環(huán)Γ，則Γ必全部位于xOy坐標(biāo)平面的第一象限內(nèi)部.下面用Dulac函數(shù)法證明這種極限環(huán)不可能存在.事實(shí)上，在第一象限內(nèi)取

B(x,y)=xα-1yβ-1,

其中α，β為待定常數(shù).容易算得

xα-1yβ-1((-aα-a)x+(-βc-c)y+

由于x和y定號(hào)，欲使D不變號(hào),只需令

從而可確定α=-1,β=-1.于是，

(9)

其中

f(s)=(b-d)s2+2ds-a-b-c,

(10)

以上的討論表明，D不變號(hào)等價(jià)于f(s)在區(qū)間[0,1]上不變號(hào).下面將證明，只要正平衡點(diǎn)存在，就有f(s)≤0，s∈[0,1].

由式(10)可得，f(0)=-a-b-c<0,f(1)=-a-c+d<0.當(dāng)b-d≠0時(shí),f(s)曲線(xiàn)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

如果b-d>0，那么x0<0，這表明在區(qū)間[0,1]上f(s)≤0；如果b-d<0，那么x0>1，這也表明在區(qū)間[0,1]上f(s)≤0.

當(dāng)b-d=0時(shí)，以上結(jié)論仍然成立.

因此，在正平衡點(diǎn)存在的情況下，式(9)滿(mǎn)足f(s)≤0，即總存在一個(gè)Dulac函數(shù)

因此，根據(jù)Bendixson-Dulac定理，可得到以下非平凡正周期解不存在的結(jié)論.

定理5 如果系統(tǒng)存在正平衡點(diǎn)，那么它沒(méi)有非平凡的正周期解.

通過(guò)前面的平衡點(diǎn)分析可知，當(dāng)E*局部漸近穩(wěn)定時(shí)，E0、E1和E2都是不穩(wěn)定的，同時(shí)，系統(tǒng)不存在非平凡正周期解.因此，由定理5可知，所有的正解都趨近于E*，于是，E*是全局漸近穩(wěn)定的.

定理6 如果c>d，那么E*是全局漸近穩(wěn)定的.

4 討論

從上面討論可以看到，相對(duì)于原模型，改進(jìn)的模型(1)能夠表現(xiàn)出更豐富、更合理的動(dòng)力學(xué)行為.原因在于該模型將環(huán)境資源因素考慮進(jìn)來(lái)，因而能更準(zhǔn)確地體現(xiàn)人口變化規(guī)律.

當(dāng)然，本文并沒(méi)有進(jìn)行數(shù)值模擬.動(dòng)力學(xué)分析結(jié)果表明，該模型在參數(shù)的合理范圍內(nèi)并沒(méi)有表現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.要表現(xiàn)出復(fù)雜的行為，它的參數(shù)必須突破合理的界限.因此，我們將會(huì)在今后的工作中對(duì)該模型進(jìn)行模擬，確定出合理的參數(shù).