一種擴(kuò)張AKNS可積方程族的方法

馮莉莉, 于發(fā)軍

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034)

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理論與應(yīng)用研究

一種擴(kuò)張AKNS可積方程族的方法

馮莉莉, 于發(fā)軍

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034)

目前人們從反對(duì)稱(chēng)矩陣?yán)畲鷶?shù)的角度出發(fā),基本都是圍繞著2×2 Lax對(duì)進(jìn)行研究,而對(duì)4×4 Lax對(duì)的討論的還比較少?？煞e耦合系統(tǒng)是當(dāng)代非線(xiàn)性學(xué)科的一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容,可積Hamiltonian系統(tǒng)理論在各個(gè)學(xué)科都有著深遠(yuǎn)的意義,利用它能推導(dǎo)出許多有意義的非線(xiàn)性演化方程。巧妙利用6個(gè)基元獲得新的loop代數(shù),將2×2 AKNS方程族的Lax對(duì)擴(kuò)張成4×4 AKNS方程族的Lax對(duì),進(jìn)而獲得其可積耦合系統(tǒng)。首先,構(gòu)建一個(gè)4×4的反對(duì)稱(chēng)李代數(shù)。然后,利用伴隨零曲率方程獲得遞推算子L,選定合適的初始值帶入遞推方程中,得到一個(gè)新的可積耦合方程族和廣義的AKNS方程。最后,應(yīng)用跡恒等式和屠格式,成功地建立了相應(yīng)可積耦合方程族的Hamiltonian結(jié)構(gòu)。

AKNS方程族; 可積系統(tǒng); 李代數(shù); Hamiltonian結(jié)構(gòu)

孤立子在數(shù)學(xué)領(lǐng)域是一個(gè)嶄新的概念,它有許多獨(dú)特的性質(zhì),被廣泛應(yīng)用到非線(xiàn)性偏微分方程中[1-10]。但這種方程求解復(fù)雜,沒(méi)有通用的求解方法,因而孤立子概念被提出,發(fā)展了求解一類(lèi)非線(xiàn)性方程系統(tǒng)的方法。

本文主要思路如下:首先,構(gòu)建一個(gè)4×4的反對(duì)稱(chēng)李代數(shù),得到了一個(gè)新的可積耦合方程族和辛算子J;其次,得到了一系列標(biāo)量函數(shù)Hn和遞推算子L;最后,一些得到的結(jié)論將被給出。

1 擴(kuò)張AKNS方程族的可積耦合系統(tǒng)

本文從反對(duì)稱(chēng)矩陣?yán)畲鷶?shù)的角度出發(fā),構(gòu)造一個(gè)4×4的Lax對(duì)[11-15],利用屠格式,獲得擴(kuò)張的AKNS可積系統(tǒng)。令A(yù)1=span{e1,e2,e3,e4,e5,e6},

考慮下列的譜問(wèn)題

其中:λ是譜參數(shù);q(x,t),r(x,t),u1(x,t),u2(x,t),u3(x,t)是關(guān)于x和t的勢(shì)函數(shù)。 設(shè)

其中am,bm,cm,dm,fm,gm也是關(guān)于x和t的勢(shì)函數(shù)。

相應(yīng)的伴隨零曲率方程為

依據(jù)方程(5),得到的遞推關(guān)系為

選定如下的初值

將選定的初值代入遞推方程(6)得到

由方程(1)得到一系列的方程族

其中

將n=2代入方程(9)中,則方程(9)可以導(dǎo)出為如下的具體方程

當(dāng)u1=u2=u3=0,方程(11)將演化成NLS方程,因此方程(9)是廣義的AKNS方程族?？梢岳脭U(kuò)張基元的方法,令u1=u2=u3=0,這樣經(jīng)過(guò)一系列的計(jì)算就能推出該方程的Hamiltonian結(jié)構(gòu)。

2 Hamiltonian結(jié)構(gòu)

根據(jù)跡恒等式,通過(guò)計(jì)算可以得到

把以上的式子代入跡恒等式中得到

比較λ-n-1的階次,方程(13)有如下的形式

為了得到常數(shù)γ,在式子(14)中令n=0,通過(guò)計(jì)算得到γ=0。于是有

故相應(yīng)的AKNS可積耦合方程族的Hamiltonian的形式為

根據(jù)遞推關(guān)系(6),得到AKNS可積耦合方程族的遞推算子L

其中

L51=?-1u2?-?-1ru3

L52=-?-1u1?+?-1qu3

L53=-?-1r?-?-1u2u3

L54=?-1q?+?-1u1u3

L55=0

因此,從Lax對(duì)出發(fā),采用譜擴(kuò)張的方法,通過(guò)跡恒等式和屠格式就獲得了此方程的Hamiltonian 結(jié)構(gòu)。

3 結(jié) 論

本文利用4×4的Lax對(duì),得到一個(gè)廣義的AKNS可積耦合方程族,利用跡恒等式得到該方程的Hamiltonian形式,通過(guò)計(jì)算,進(jìn)一步得到辛算子J和一系列標(biāo)量函數(shù)Hn。

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An approach for enlarging integrable hierarchy of AKNS hierarchy

FENG Lili, YU Fajun

(College of Mathematics and Systematic Sciences, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

In this paper, we start from a antisymmetric matrix Lie algebra problem. Because most of works focus on the Lax pairs of 2×2 Lax pairs, there is less work to search for the Lax pairs of 4×4 Lax pairs. Integrable coupling system is an interesting content in nonlinear science. The Hamiltonian structure of integrable coupling hierarchy has an important meaning in other studies, which can derive many nonlinear soliton equations. We obtain a new loop algebra by using six elements of matrix Lie algebra and enlarge AKNS hierarchy with 2×2 Lax pairs to AKNS hierarchy with 4×4 Lax pairs, which can get its integrable coupling AKNS system. We construct a 4×4 Lax pairs with antisymmetric matrix Lie algebra. By zero-curvature representation, a recurrence operator L is presented, then we get a new integrable coupling equation hierarchy and find a generalized AKNS equation hierarchy. At last, its Hamiltonian structure is obtained through the trace identity and Tu scheme.

AKNS hierarchy; integrable system; Lie algebra; Hamiltonian structure

2016-01-07。

遼寧省科技廳自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015020029)。

馮莉莉(1992-),女,遼寧錦州人,沈陽(yáng)師范大學(xué)碩士研究生; 通信作者: 于發(fā)軍(1979-),男,遼寧大連人,沈陽(yáng)師范大學(xué)副教授,博士。

1673-5862(2016)03-0329-04

O175.2

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.03.016