基于螺旋理論的2T2R完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合

陳　海，曹　毅, 1b, 2，秦友蕾，丁　銳，葛姝翌

(1. 江南大學(xué) a. 機(jī)械工程學(xué)院；b. 江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無(wú)錫 214122；2. 上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240)

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基于螺旋理論的2T2R完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合

陳海1a，曹毅1a, 1b, 2，秦友蕾1a，丁銳1a，葛姝翌1a

(1. 江南大學(xué) a. 機(jī)械工程學(xué)院；b. 江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無(wú)錫 214122；2. 上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240)

摘要：針對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)往往是非線性、強(qiáng)耦合的問(wèn)題，基于螺旋理論和支鏈獨(dú)立驅(qū)動(dòng)原則提出了兩移兩轉(zhuǎn)(2T2R)類(lèi)完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合方法.首先，根據(jù)2T2R完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特征和完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正、逆雅可比矩陣必為對(duì)角陣的要求，利用螺旋理論來(lái)構(gòu)造滿(mǎn)足期望形式的正、逆雅可比矩陣；其次，根據(jù)正、逆雅可比矩陣所要滿(mǎn)足的條件，確定支鏈驅(qū)動(dòng)副作用于動(dòng)平臺(tái)上的使動(dòng)螺旋，再得到該使動(dòng)螺旋對(duì)應(yīng)支鏈上的表示驅(qū)動(dòng)副的驅(qū)動(dòng)螺旋和除驅(qū)動(dòng)螺旋之外的其他運(yùn)動(dòng)螺旋系，據(jù)此可完成支鏈結(jié)構(gòu)螺旋系的配置；最后，根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)原理依次取出4條支鏈連接動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)得到并聯(lián)機(jī)構(gòu).綜合的完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸出運(yùn)動(dòng)是由支鏈上獨(dú)立的輸入驅(qū)動(dòng)提供的，且機(jī)構(gòu)的正、逆雅可比矩陣在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持為對(duì)角陣，所以屬于完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)，此類(lèi)機(jī)構(gòu)控制簡(jiǎn)單，具有一定的應(yīng)用前景.

關(guān)鍵詞：完全解耦； 并聯(lián)機(jī)構(gòu)； 構(gòu)型綜合； 螺旋理論

并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為一類(lèi)新型機(jī)構(gòu)，相對(duì)于串聯(lián)機(jī)構(gòu)而言，并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有一些獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)[1-2]，如承載能力高、剛度相對(duì)較強(qiáng)、慣性相對(duì)較小、動(dòng)態(tài)性較高等，其中Delta機(jī)構(gòu)[3]的廣泛應(yīng)用更是激發(fā)了廣大研究人員對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究興趣.并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型綜合，一直是機(jī)構(gòu)學(xué)研究的熱點(diǎn)，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者在這方面做了大量的工作，其中主要依據(jù)3大類(lèi)構(gòu)型方法，即基于位移群論的構(gòu)型方法[4]、基于螺旋理論的構(gòu)型方法[5]、基于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的構(gòu)型方法[6]，并得到了許多并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型.

最初，綜合的并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有6個(gè)自由度，但后來(lái)發(fā)現(xiàn)，在許多應(yīng)用場(chǎng)合并不需要這么多的自由度，由此少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)逐漸進(jìn)入人們視野.但由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜、耦合性強(qiáng)，控制起來(lái)相對(duì)較難，所以關(guān)于解耦的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，逐漸成為了新的研究熱點(diǎn)[7-8].國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者開(kāi)展了這方面的研究[9-18]，其中大部分學(xué)者的研究對(duì)象為具有三自由度移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)特征的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，但關(guān)于兩移兩轉(zhuǎn)(2T2R)完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型綜合卻少有文獻(xiàn)報(bào)道.

本文通過(guò)分析解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸入輸出特點(diǎn)，基于支鏈獨(dú)立驅(qū)動(dòng)原理和螺旋理論提出了2T2R完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合方法.給定期望2T2R完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特征(沿x軸、y軸方向的移動(dòng)和繞x軸、y軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng))，根據(jù)完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正、逆雅可比矩陣必為對(duì)角陣的結(jié)構(gòu)特性.首先，利用螺旋理論來(lái)構(gòu)造出符合完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)特點(diǎn)的正、逆雅可比矩陣；其次，根據(jù)所構(gòu)造出的正雅可比矩陣得到驅(qū)動(dòng)副作用于動(dòng)平臺(tái)上的使動(dòng)螺旋，再得到該使動(dòng)螺旋對(duì)應(yīng)支鏈上的表示驅(qū)動(dòng)副的驅(qū)動(dòng)螺旋和除驅(qū)動(dòng)螺旋之外的其他運(yùn)動(dòng)螺旋系，根據(jù)支鏈的連接度的不同，可推導(dǎo)配置出所有的支鏈類(lèi)型；最后，根據(jù)完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)條件依次將4條支鏈連接到動(dòng)定平臺(tái)上，即可得到2T2R完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu).這種并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸出運(yùn)動(dòng)是由支鏈上獨(dú)立的輸入驅(qū)動(dòng)提供的，所以屬于完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)，此類(lèi)機(jī)構(gòu)完全解耦.

1理論基礎(chǔ)

(1) 螺旋理論.文獻(xiàn)[19]研究表明，螺旋的組成形式為(S; S0)，S稱(chēng)為原部，表示方向矢量，S0稱(chēng)為對(duì)偶部，且有：

S0=r×S+hS

(1)

式中：r為坐標(biāo)原點(diǎn)到S上任一點(diǎn)的位置矢量；h為螺旋的節(jié)距.螺旋也可以用Plüker坐標(biāo)(lmn；pqr)，其中l(wèi)、m、z、p、q、r僅表示坐標(biāo)中的6個(gè)元素，其值可以是0，也可以是其他值.螺旋的特殊形式分為線矢量和偶量?jī)煞N，這兩種螺旋既能表示力線矢/力偶，也能表示轉(zhuǎn)動(dòng)自由度/移動(dòng)自由度.

$1

(2)

則螺旋$1和$2互為反螺旋，其中“”表示兩螺旋的互易積.

(3) 使動(dòng)螺旋.使動(dòng)螺旋表示驅(qū)動(dòng)副作用于動(dòng)平臺(tái)上的力或力偶.當(dāng)其形式為$i=(lmn;pqr)時(shí)，表示作用力；當(dāng)其形式為$i=(000;lmn)時(shí)，則表示一個(gè)作用力偶.且使動(dòng)螺旋與對(duì)應(yīng)支鏈中除驅(qū)動(dòng)螺旋之外的其他運(yùn)動(dòng)螺旋互易積為0[20].

(4) 約束螺旋.當(dāng)螺旋表示約束力線矢和約束力偶時(shí)，通過(guò)建立坐標(biāo)系，得到機(jī)構(gòu)分支運(yùn)動(dòng)螺旋系，再求取反螺旋，可以得到機(jī)構(gòu)的約束螺旋系.

22T2R完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸入輸出分析

(3)

(4)

式(4)也可以被寫(xiě)作矩陣的形式

(5)

分支約束螺旋系限制了動(dòng)平臺(tái)沿平行于z軸方向的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，即v和w中沿z軸方向的任何分量都恒為0.對(duì)應(yīng)的使動(dòng)螺旋$ai(i=1, 2, 3, 4)，在式(5)中將使動(dòng)螺旋的形式改變但并不改變式(5)的意義，可以得到如下形式

(6)

式中：

(7)

(8)

(9)

如果Jv是可逆陣，則有

(10)

取

(11)

式中：J為機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣.

若期望機(jī)構(gòu)為完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)，則當(dāng)機(jī)構(gòu)雅可比矩陣為非零對(duì)角陣時(shí)，滿(mǎn)足完全解耦條件.根據(jù)式(9)可知，逆雅可比矩陣已經(jīng)滿(mǎn)足對(duì)角陣要求，所以根據(jù)式(11)可知，當(dāng)Jr和Jv滿(mǎn)足非零對(duì)角陣要求時(shí)，則J必為對(duì)角陣.因此，如果能保證機(jī)構(gòu)的正、逆雅可比矩陣均為對(duì)角陣，則此機(jī)構(gòu)一定是完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu).

32T2R完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合原理

基于第2節(jié)得到的結(jié)論，提出了一種利用螺旋理論來(lái)構(gòu)造正、逆雅可比矩陣均為對(duì)角陣的方法.機(jī)構(gòu)的正、逆雅可比矩陣與對(duì)應(yīng)支鏈上的使動(dòng)螺旋和驅(qū)動(dòng)螺旋有關(guān)，所以可以通過(guò)給定使動(dòng)螺旋和驅(qū)動(dòng)螺旋的形式，來(lái)得到對(duì)角的正、逆雅可比矩陣，進(jìn)而可以得到滿(mǎn)足條件的支鏈結(jié)構(gòu)形式.又因?yàn)轵?qū)動(dòng)螺旋是根據(jù)驅(qū)動(dòng)副得到的，在支鏈中隨著機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)及支鏈的運(yùn)動(dòng)，驅(qū)動(dòng)螺旋的表達(dá)式可能會(huì)發(fā)生改變，所以本文中驅(qū)動(dòng)副均和固定平臺(tái)直接相連，以保證驅(qū)動(dòng)螺旋的形式不會(huì)隨著支鏈的運(yùn)動(dòng)而改變.

同時(shí)根據(jù)文獻(xiàn)[21]可知，對(duì)于移動(dòng)解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其驅(qū)動(dòng)副既可為移動(dòng)副，也可為轉(zhuǎn)動(dòng)副.當(dāng)驅(qū)動(dòng)副為轉(zhuǎn)動(dòng)副時(shí)，該分支同時(shí)需具有一個(gè)與驅(qū)動(dòng)副構(gòu)成2R平行子鏈的轉(zhuǎn)動(dòng)副(下文中簡(jiǎn)稱(chēng)2R平行子鏈轉(zhuǎn)動(dòng)副)，相當(dāng)于一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副和一個(gè)移動(dòng)副的線性組合，其作用效果和用移動(dòng)副作為驅(qū)動(dòng)副是相同的.但為了不破壞機(jī)構(gòu)的解耦特性，需要注意的是，由2R平行子鏈作為驅(qū)動(dòng)副，會(huì)帶來(lái)另一方向的驅(qū)動(dòng)作用(稱(chēng)為消極驅(qū)動(dòng)，即機(jī)構(gòu)中在某一方向不希望出現(xiàn)的驅(qū)動(dòng))，所以在該支鏈的結(jié)構(gòu)中需存在一個(gè)與該支鏈中存在的消極驅(qū)動(dòng)方向共線的移動(dòng)副，以消除該消極驅(qū)動(dòng)對(duì)機(jī)構(gòu)解耦特性的影響.結(jié)合以上分析，依據(jù)獨(dú)立驅(qū)動(dòng)原則，利用螺旋理論完成2T2R完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型，其具體過(guò)程如下所述.

(1) 根據(jù)支鏈獨(dú)立驅(qū)動(dòng)原則和機(jī)構(gòu)正、逆雅可比矩陣為對(duì)角陣的要求，確定支鏈驅(qū)動(dòng)控制的動(dòng)平臺(tái)輸出自由度，然后給出該支鏈驅(qū)動(dòng)副作用于動(dòng)平臺(tái)的使動(dòng)螺旋形式.

(2) 根據(jù)使動(dòng)螺旋確定支鏈中的驅(qū)動(dòng)螺旋，當(dāng)使動(dòng)螺旋為力線矢類(lèi)螺旋時(shí)，驅(qū)動(dòng)副可以是移動(dòng)副或者是2R平行子鏈轉(zhuǎn)動(dòng)副，對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)螺旋為偶量螺旋或力線矢螺旋；當(dāng)使動(dòng)螺旋為偶量類(lèi)螺旋時(shí)，驅(qū)動(dòng)副只能為轉(zhuǎn)動(dòng)副，對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)螺旋為力線矢螺旋.

(3) 根據(jù)支鏈上除驅(qū)動(dòng)螺旋之外的其他運(yùn)動(dòng)螺旋和使動(dòng)螺旋的互易積為0的特點(diǎn)，依據(jù)反螺旋準(zhǔn)則，可以推導(dǎo)出該支鏈上可以存在的除驅(qū)動(dòng)螺旋之外的其他運(yùn)動(dòng)螺旋系，據(jù)此根據(jù)支鏈連接度的不同，即可推導(dǎo)出支鏈所有的結(jié)構(gòu)類(lèi)型.

(4) 根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)約束螺旋理論，依次選擇4條支鏈連接動(dòng)定平臺(tái)，即可獲得期望的2T2R完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu).

完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型流程圖如圖1所示.本文構(gòu)造的2T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正、逆雅可比矩陣均為對(duì)角陣，即機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣為對(duì)角陣，所以屬于完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)；同時(shí)機(jī)構(gòu)的輸出運(yùn)動(dòng)是由獨(dú)立的輸入驅(qū)動(dòng)提供的，即每條支鏈只含有一個(gè)驅(qū)動(dòng)副，控制動(dòng)平臺(tái)的一個(gè)輸出自由度，也滿(mǎn)足完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸入輸出線性映射條件.

圖1　完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型流程圖Fig.1　Structural synthesis of fully-decoupled parallel mechanisms

4機(jī)構(gòu)支鏈型綜合過(guò)程

本文綜合的2T2R完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一條支鏈只含有一個(gè)驅(qū)動(dòng)副，且控制動(dòng)平臺(tái)的一個(gè)對(duì)應(yīng)的輸出自由度.在下述的構(gòu)型綜合過(guò)程中，假設(shè)第一、二條支鏈提供動(dòng)平臺(tái)沿x軸、y軸方向的移動(dòng)驅(qū)動(dòng)，第三、四條支鏈提供動(dòng)平臺(tái)繞x軸、y軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)驅(qū)動(dòng).由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)分支必具有動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)特征，所以綜合的每條支鏈的連接度至少為4，因此，根據(jù)構(gòu)型原理分別給出4條支鏈的構(gòu)型過(guò)程.

4.1第一條支鏈的構(gòu)型綜合過(guò)程

假設(shè)第一條支鏈只提供對(duì)x軸的移動(dòng)驅(qū)動(dòng)，正雅可比矩陣中第一排只有一個(gè)非零元素[Jr]11.第一條支鏈只提供沿x軸方向的移動(dòng)驅(qū)動(dòng)，則可知驅(qū)動(dòng)副作用于動(dòng)平臺(tái)上的使動(dòng)螺旋為線矢量螺旋，由于期望使動(dòng)螺旋只對(duì)動(dòng)平臺(tái)沿x軸方向有驅(qū)動(dòng)力，所以使動(dòng)螺旋的形式只能為

(12)

即使動(dòng)螺旋與定平臺(tái)坐標(biāo)系x軸方向平行.根據(jù)第3節(jié)分析可知，支鏈的驅(qū)動(dòng)螺旋有3種類(lèi)型：

(13)

將式(13)代入式(9)可得

(14)

由于d12和d13+r1是與坐標(biāo)系原點(diǎn)選擇有關(guān)的變量，所以只要調(diào)整驅(qū)動(dòng)副的位置使d12和d13+r1不為0，則式(14)中3種情況下[Jv]11均不為0.根據(jù)以上分析配置支鏈中除驅(qū)動(dòng)螺旋之外的其他運(yùn)動(dòng)螺旋所組成的螺旋系，根據(jù)式(2)和反螺旋定理可知支鏈中可能存在的螺旋系有以下幾種：

(1) 與x軸平行的線矢量螺旋系，此類(lèi)螺旋系的維數(shù)最多為3，至少為1;

(2) 與x軸垂直的偶量螺旋系，這類(lèi)螺旋系的維數(shù)最多為2，且在支鏈中的方向互不平行;

(3) 與使動(dòng)螺旋軸線相交的線矢量螺旋系，其維數(shù)至少為1，其軸線方向平行于y軸方向.

第一條支鏈的可能結(jié)構(gòu)類(lèi)型如表1所示. 表1中支鏈的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)副為驅(qū)動(dòng)副.其中出現(xiàn)的4R1T類(lèi)型為根據(jù)3R2T類(lèi)型經(jīng)過(guò)線性組合變換所得，變換過(guò)程中需注意的是一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副和一個(gè)移動(dòng)副的線性組合成一個(gè)2R平行子鏈需具有一定條件，即原支鏈中存在垂直于該轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線方向的二維移動(dòng)自由度.具體的螺旋線性變換方法參照文獻(xiàn)[19]，對(duì)于下文中其他類(lèi)型變換同理.

需要說(shuō)明的是，由于本文綜合的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特征為2T2R，支鏈的連接度至少為4，又由于機(jī)構(gòu)采用獨(dú)立支鏈驅(qū)動(dòng)，所以會(huì)有4條支鏈，為簡(jiǎn)化機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)，所以本文中構(gòu)造的支鏈均不考慮支鏈中存在冗余運(yùn)動(dòng)副的情況.限于篇幅，一類(lèi)支鏈只給出一種排列情形，對(duì)于改變支鏈中運(yùn)動(dòng)副的排列順序的情況也不予列出，下文中其余支鏈均按此處理.

表1　第一條支鏈結(jié)構(gòu)

4.1.1驅(qū)動(dòng)副為沿x軸方向的移動(dòng)副

當(dāng)驅(qū)動(dòng)副為軸線平行于x軸方向的移動(dòng)副時(shí)

(15)

根據(jù)文獻(xiàn)[17]可知，并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈必含動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)特征，所以該支鏈的結(jié)構(gòu)類(lèi)型至少為2T2R型，即其支鏈連接度最少為4，所以當(dāng)用一個(gè)2R轉(zhuǎn)動(dòng)副來(lái)替代一個(gè)移動(dòng)副時(shí)，其連接度會(huì)增加到5，根據(jù)不同的連接度，可以推導(dǎo)出更多的支鏈結(jié)構(gòu)類(lèi)型.具體的支鏈結(jié)構(gòu)如表1中第一類(lèi)所示，表1中帶有下劃線的運(yùn)動(dòng)副表示驅(qū)動(dòng)副，下標(biāo)x、y、z表示運(yùn)動(dòng)副的軸線方向，T表示移動(dòng)副，R表示轉(zhuǎn)動(dòng)副，均為簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)，假設(shè)相鄰運(yùn)動(dòng)副軸線相互垂直或平行.

4.1.2驅(qū)動(dòng)副為沿y軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)副

當(dāng)驅(qū)動(dòng)副為軸線平行于y軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)副時(shí)

(16)

當(dāng)輸入副為轉(zhuǎn)動(dòng)副時(shí)，相當(dāng)于用一個(gè)2R平行子鏈替代沿x軸的移動(dòng)驅(qū)動(dòng).由第3節(jié)分析可知，2R平行子鏈驅(qū)動(dòng)會(huì)帶來(lái)另一方向的消極驅(qū)動(dòng)，所以支鏈中需存在一個(gè)與消極驅(qū)動(dòng)方向平行的移動(dòng)自由度，所以可知此類(lèi)分支的運(yùn)動(dòng)連接度至少可以為5個(gè)，其具體支鏈配置類(lèi)型如表1中第二類(lèi)所示.

4.1.3驅(qū)動(dòng)副為沿z軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)副

當(dāng)驅(qū)動(dòng)副為軸線平行于z軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)副時(shí)

(17)

分析原理同4.1.2節(jié)，其具體支鏈配置類(lèi)型如表1中第三類(lèi)所示.

4.2第二條支鏈的構(gòu)型綜合過(guò)程

第二條支鏈只提供對(duì)y軸的移動(dòng)驅(qū)動(dòng)，正雅可比矩陣中第二排只有一個(gè)非零元素[Jr]22.第二條支鏈只提供沿y軸方向的移動(dòng)驅(qū)動(dòng)，則可知驅(qū)動(dòng)副作用于動(dòng)平臺(tái)上的使動(dòng)螺旋為線矢量螺旋，由于期望使動(dòng)螺旋只對(duì)動(dòng)平臺(tái)沿y軸方向有驅(qū)動(dòng)力，所以使動(dòng)螺旋的形式只能為

(18)

使動(dòng)螺旋與定平臺(tái)坐標(biāo)系y軸方向平行.由第3節(jié)分析可知，支鏈的驅(qū)動(dòng)螺旋有3種類(lèi)型

(19)

將式(19)代入式(9)可得

(20)

由于e22和e23+r2是與坐標(biāo)系原點(diǎn)選擇有關(guān)的變量，所以只要調(diào)整驅(qū)動(dòng)副的位置使e22和e23+r2不為0，則式(20)中3種情況下[Jv]22均不為0.第二條支鏈的構(gòu)型綜合過(guò)程類(lèi)似于第一條支鏈，在此不再贅述，其結(jié)構(gòu)類(lèi)型如表2所示，原理同上.

表2　第二條支鏈結(jié)構(gòu)

4.3第三條支鏈的構(gòu)型綜合過(guò)程

第三條支鏈只提供對(duì)x軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)，支鏈驅(qū)動(dòng)作用于動(dòng)平臺(tái)上的使動(dòng)螺旋為力矩螺旋.由于本文綜合的機(jī)構(gòu)具有2T2R運(yùn)動(dòng)特征，基于支鏈獨(dú)立驅(qū)動(dòng)原則，所以支鏈上使動(dòng)螺旋的形式只考慮為

(21)

設(shè)第三條支鏈上表示驅(qū)動(dòng)副的驅(qū)動(dòng)螺旋為$q3=[a3b3c3;d3e3f3].由于綜合的每條分支都至少具有2T2R運(yùn)動(dòng)特征，所以當(dāng)驅(qū)動(dòng)螺旋沿z軸方向具有轉(zhuǎn)動(dòng)分量時(shí)，可能會(huì)導(dǎo)致動(dòng)平臺(tái)具有沿z軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，破壞了機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)解耦特性，驅(qū)動(dòng)螺旋只考慮

(22)

將式(21)和(22)代入式(9)可得

[Jv]33=$a3$q3=1

(23)

由式(23)可知，[Jv]33滿(mǎn)足非零條件，所以有

(24)

確定了支鏈作用于動(dòng)平臺(tái)上的使動(dòng)螺旋和驅(qū)動(dòng)螺旋之后，可以根據(jù)反螺旋定理得到支鏈中可以存在的除驅(qū)動(dòng)螺旋之外的其他運(yùn)動(dòng)螺旋系，再根據(jù)不同的連接度，可以推導(dǎo)出更多的支鏈結(jié)構(gòu)類(lèi)型.根據(jù)反螺旋定理可知滿(mǎn)足條件的螺旋系如下：

(1) 方向任意的偶量螺旋系，任意兩個(gè)偶量的軸線不平行，此類(lèi)螺旋在支鏈中最多有3個(gè)，至少為2個(gè)，且其軸線方向分別沿x軸、y軸方向.

(2) 與使動(dòng)螺旋的軸線垂直的線矢量螺旋系，此類(lèi)螺旋系的維數(shù)至少為1，其軸線沿y軸方向.

由以上分析可得到第三條支鏈結(jié)構(gòu)如表3所示.

表3　第三條支鏈結(jié)構(gòu)

4.4第四條支鏈的構(gòu)型綜合過(guò)程

假設(shè)第四條支鏈只提供對(duì)y軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)驅(qū)動(dòng).第四條支鏈的型綜合過(guò)程類(lèi)似于第三條支鏈的構(gòu)型綜合過(guò)程，同理可得第四條支鏈上的使動(dòng)螺旋和驅(qū)動(dòng)螺旋分別為

(25)

根據(jù)以上方法給出第四條支鏈具體結(jié)構(gòu)類(lèi)型如表4所示.

表4　第四條支鏈結(jié)構(gòu)

5完全解耦2T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合

用上述方法綜合出機(jī)構(gòu)的4條支鏈后，將4條支鏈按驅(qū)動(dòng)方向安裝后連接動(dòng)定平臺(tái)，即可得到具有預(yù)期運(yùn)動(dòng)特征的完全解耦2T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)[22].由于本文綜合的并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有二維轉(zhuǎn)動(dòng)特征，所以根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)條件，即任意2分支需能提供垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)方向的平面移動(dòng)自由度.所以在選擇組合4條支鏈時(shí)，需注意以下準(zhǔn)則：

(1) 有且只能有一條支鏈的連接度為4，其余3條支鏈的連接度必須選擇具有三維移動(dòng)特征的支鏈類(lèi)型；

(2) 第一、二條支鏈中第三類(lèi)中的支鏈為連接度為5的支鏈，其具有沿x軸、y軸方向的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)特征和一個(gè)繞z軸方向轉(zhuǎn)動(dòng)的特征，所以此類(lèi)可看做連接度為4的支鏈類(lèi)型，即TxTyRxRy類(lèi)支鏈.

圖2　2T2R完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.2　A 2T2R fully-decoupled parallel mechanism

根據(jù)以上方法得到的一種完全解耦2T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖2所示.圖2中所示并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支鏈結(jié)構(gòu)分別為T(mén)xTyRxRy、Rz1Rz2TxRy1Ry2Rx、Rx1Rx2TzRy1Ry2、Ry1Ry2Ry3Rx1Rx2，帶有下劃線的運(yùn)動(dòng)副表示驅(qū)動(dòng)副，驅(qū)動(dòng)副直接與固定基座相連，4條支鏈分別提供了動(dòng)平臺(tái)沿x軸、y軸方向的移動(dòng)自由度和繞x軸、y軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度.

由圖2可知，選取4條支鏈的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)副為輸入副，且直接與固定基座相連.定義符號(hào)：l1為第一條支鏈上沿x軸方向表示驅(qū)動(dòng)輸入的移動(dòng)距離；θ1為第二條支鏈上沿z軸方向轉(zhuǎn)動(dòng)輸入的角度；θ2為第三條支鏈沿x軸方向轉(zhuǎn)動(dòng)輸入的角度；θ3為第四條支鏈沿y軸方向轉(zhuǎn)動(dòng)輸入的角度.

由圖2中坐標(biāo)系所示，假設(shè)第二條支鏈中與驅(qū)動(dòng)副相連的連桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，初始角度為γ.用沿z軸方向的2R子鏈替代沿y軸方向的移動(dòng)輸入，輸入分析如圖3所示.

圖3　機(jī)構(gòu)沿y軸方向輸入分析Fig.3　The analysis of mechanism input along the y-axis direction

由圖3可知，驅(qū)動(dòng)副沿y軸方向的移動(dòng)距離y為

y=L(sin(180-γ)-sin(180-γ-θ1))

(26)

根據(jù)以上分析，可知機(jī)構(gòu)輸入分別為(l1，θ1，θ2，θ3)，設(shè)動(dòng)平臺(tái)的對(duì)應(yīng)輸出量分別為(x，y，α，β)，則根據(jù)上述解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)組成特點(diǎn)，可以得到

(27)

對(duì)式(27)兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得

(28)

式(28)也可以寫(xiě)作

(29)

從式(29)可以得到機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣為

(30)

由式(30)可以看到，在該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間內(nèi)，機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣為非零對(duì)角陣.當(dāng)cos(γ+θ1)=0時(shí)，機(jī)構(gòu)會(huì)出現(xiàn)奇異，這是由于采用2R平行轉(zhuǎn)動(dòng)副作為驅(qū)動(dòng)導(dǎo)致的.當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度方向與移動(dòng)方向垂直時(shí)，會(huì)出現(xiàn)奇異位置，這種奇異不屬于機(jī)構(gòu)的奇異位形，僅是由轉(zhuǎn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)造成，如果用移動(dòng)副直接驅(qū)動(dòng)，則不會(huì)出現(xiàn)奇異.

6結(jié)論

(1) 基于螺旋理論，提出了完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合的一種系統(tǒng)方法，通過(guò)分析完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)雅可比矩陣所要滿(mǎn)足的條件，給出了構(gòu)型原理的具體步驟.

(2) 運(yùn)用該構(gòu)型綜合方法，完成了2T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型綜合問(wèn)題.首先綜合2T2R4自由度完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)各條支鏈，再根據(jù)支鏈組合原理連接動(dòng)定平臺(tái)得到2T2R完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu).

(3) 基于螺旋理論分析綜合得到一種機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特征，同時(shí)求得機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣，驗(yàn)證了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的完全解耦，證明了構(gòu)型理論的正確性.

(4) 綜合的并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有完全解耦特點(diǎn)，機(jī)構(gòu)控制簡(jiǎn)單，具有一定的應(yīng)用前景.

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文章編號(hào)：1671-0444(2016)03-0406-08

收稿日期：2015-05-27

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50905075)；江蘇省普通高校學(xué)術(shù)學(xué)位研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目(KYLX-1115)；機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放課題資助項(xiàng)目(MSV201407)

作者簡(jiǎn)介：陳海(1991—)，男，安徽六安人，碩士研究生，研究方向并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué). E-mail:chenhai1991@sina.com 曹毅(聯(lián)系人)，男，副教授，E-mail: caoyi@jiangnan.edu.cn

中圖分類(lèi)號(hào)：TH 112

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Structural Synthesis of Fully-Decoupled 2T2R Parallel Mechanisms Based on Screw Theory

CHENHai1a,CAOYi1a,1b,2,QINYou-lei1a,DINGRui1a,GEShu-yi1a

(a. School of Mechanical Engineering；b. Jiangsu Key Laboratory of Advanced Food Manufacturing Equipment and Technology, 1． Jiangnan University, Wuxi 214122, China;2. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

Abstract:To avoid the existence of nonlinear and strong coupling in parallel mechanisms, based on the screw theory and the driven-chain principle, a methodology of structural synthesis for fully-decoupled two-translational and two-rotational (2T2R) parallel mechanisms is proposed. Firstly, according to the desired kinematic characteristics of fully-decoupled parallel mechanisms, a method is proposed by virtue of screw theory to synthesize the desired forms for both the direct and the inverse Jacobian matrices. Secondly, according to the feature of the direct and the inverse Jacobian matrices, the effective screws, the actuated screws and the mobile un-actuated screws of each limb are established based on the reciprocal screw theory and all possible topology structures fulfilling the requirements are obtained. Finally, the desired fully-decoupled parallel mechanisms can be synthesized using the structural synthesis rule and structural synthesis of fully-decoupled 2T2R parallel mechanisms can be obtained exploiting the above mentioned methodology. In particular, the direct Jacobian matrix of each synthesized fully-decoupled 2T2R parallel mechanism is a non-zero diagonal matrix throughout the entire workspace. Motors are mounted one per leg and each one of them actuates one degree-of-freedom (DOF) of the fully-decoupled parallel mechanism through a one-to-one velocity relation. Such mechanism control is simple, and it has good prospects as well.

Key words:fully-decoupled; parallel mechanism; structural synthesis; screw theory