一類p-Laplacian邊值問題多個對稱解的存在性

薛益民，蘇　瑩

(徐州工程學院 數(shù)學與物理科學學院,江蘇 徐州 221111)

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一類p-Laplacian邊值問題多個對稱解的存在性

薛益民，蘇瑩

(徐州工程學院 數(shù)學與物理科學學院,江蘇 徐州 221111)

摘要:研究一維p-Laplacian動力方程

兩點邊值問題多個對稱正解的存在性.利用Avery-Peterson不動點定理，得到邊值問題3個和任意奇數(shù)多個對稱解的存在性,并給出例子驗證所得結(jié)果.

關鍵詞:邊值問題；對稱解；p-Laplacian；不動點理論

the existences of triple or arbitrary odd positive symmetric solutions were obtained by using Avery-Peterson fixed-point theory. As an application, one example was given to illustrate the main results.

在研究動力方程邊值問題解的存在性時，因為非線性項包含低階導數(shù)導致非線性項很難控制，從而增加了研究困難，而一維p-Laplacian動力邊值問題不但包含一般的動力邊值問題，還具有很重要的應用價值，使得這一類問題一直受到學者們的關注[1-2].

論文主要考慮非線性項包含低階導數(shù)的一維p-Laplacian動力方程

(1)

1相關定義和引理

為了研究的需要，假設

定義1[3-4]設E是一個實 Banach 空間，P是一個非空閉凸集, P?E是一個錐，且滿足以下條件:

(i) 如果x∈P且λ≥0，那么λx∈P； (ii) 如果x∈P且-x∈P，那么x=0.

假定γ和θ在P上是一個非負連續(xù)的凸泛函，α在P上是一個非負連續(xù)的凹泛函，而ψ在P上是一個非負連續(xù)的泛函.定義如下凸集

和閉集

下面，給出 Avery-Peterson不動點定理，即引理1.

引理1[5]P是實Banach空間E的一個錐，γ,θ,α,ψ如上定義，此外，ψ滿足

所以對于某些正數(shù)h和d，有

(2)

(ii) α(Ax)>b對于x∈P(γ,α,b,d)且θ(Ax)>c；

(iii) 0?R(γ,ψ,a,d)且ψ(Ax)

假設E=C1([0,1],)，那么E是一個Banach 空間,定義范數(shù)為

(ii) 由(i)自然成立.

定義算子A：P→E,得

引理4A：P→P 是一個全連續(xù)算子.

證明事實上，對t∈[0,1]，有(Au)(t)≥0， (Au)(0)=(Au)(1)且 (Au)(0)=ω.

下面，證明算子A 在[0,1]上是對稱的.

其中： s=1-s1，r=1-r1,所以

因為

s=1-s1,r=1-r1,

所以

2主要結(jié)論

2.1多個解的存在性

利用Avery-Peterson不動點定理討論邊值問題(1), 從而，得到至少存在3個對稱正解的存在性準則.

下面，給出主要的定理及其證明.

那么邊值問題(1)至少存在3個對稱的正解u1,u2和u3，使得

且

證明根據(jù)全連續(xù)算子A的定義，要證明算子A滿足引理1，有

因此，根據(jù)條件(i)有

下面，將證明引理1中的條件(i)～(iii) 是成立的.

首先，驗證引理1 (i)成立的條件，假設u(t)≡3tb*+b*+ω,t∈[0,1]，容易得到

且

其次，證明引理1條件(ii)成立.

假設(ii)成立，有

(3)

最后，驗證引理1的條件 (iii)成立.

綜上所述，引理1所有條件都是滿足的, 根據(jù)引理1, 邊值問題(1)至少存在3個對稱的正解u1,u2,u3,使得

且

推論1在定理1中，如果條件(i)被下列條件(i′)

(i′)

所替代，那么定理1仍然成立.

(4)

并且有

(5)

由于 (i′) 成立，那么存在τ>0，滿足

(6)

2.2任意奇數(shù)多個解的存在性

下面，將證明邊值問題(1)存在任意奇數(shù)個正對稱解.

那么邊值問題(1)至少存在2n-1個對稱正解.

證明當n=1時, 由條件(i) 可得

并有

如此繼續(xù)下去，即可用歸納法證明結(jié)論.

3定理應用舉例

現(xiàn)在，給出一個例子來說明論文的結(jié)果.

例1考慮下面的邊值問題，設p=3，有

(7)

其中：h(t)=2t且f(t,u,u′):[0,1]×[0,)×(-,)→[0,)，有

經(jīng)計算可得

且

根據(jù)定理 1，可知邊值問題(7)至少存在3個對稱的正解u1,u2和u3，使得

且

參考文獻：

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(責任編輯朱夜明)

doi:10.3969/j.issn.1000-2162.2016.04.006

收稿日期：2015-03-11

基金項目:國家自然科學基金資助項目 (11301454)；江蘇省六大人才高峰項目 (2013-JY-003)；江蘇省自然科學基金資助項目(BK20151160)；徐州工程學院重點項目(2013102)；徐州工程學院青年項目(XKY2013314)

作者簡介：薛益民(1977-)，男，安徽宿州人，徐州工程學院講師.

中圖分類號：O175

文獻標志碼:A

文章編號:1000-2162(2016)04-0030-07

Existence of multiple symmetric solutions to ap-Laplacian boundary value problem with nonlinear term involving derivative

XUE Yimin, SU Ying

(School of Mathematics and Physical Science, Xuzhou Institute of Technology, Xuzhou 221111, China)

Abstract:In this paper, we studied the following dynamic equation for the two-point BVPs with p-Laplacian as the form of

Keywords:boundary value problem; symmetric solutions; p-Laplacian; fixed point theory