正交各向異性矩形薄板振動(dòng)的一種半解析方法

王　淼， 陳永強(qiáng)， 李志敏

(1.上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上?！?00240；2. 中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京　100076; 3.上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海　200240)

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正交各向異性矩形薄板振動(dòng)的一種半解析方法

王淼1， 陳永強(qiáng)2， 李志敏3

(1.上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200240；2. 中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京100076; 3.上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海200240)

摘要：使用半解析的多項(xiàng)康氏法分析對邊簡支、對邊固定和對邊固定-簡支的正交各向異性矩形薄板振動(dòng)問題。選擇多個(gè)梁特征函數(shù)作為試函數(shù)，精確滿足對邊所有邊界條件。通過Gakerkin積分將偏微分振動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為常微分方程組并整理為狀態(tài)方程形式。強(qiáng)迫滿足另一對邊的邊界條件，獲得頻率方程，確定固有頻率。文獻(xiàn)結(jié)果比較不僅證實(shí)了該方法的有效性，而且揭示通過該方法獲得的對邊簡支板的解是精確解。最后，研究了不同長寬比下試函數(shù)項(xiàng)數(shù)對無量綱固有頻率的影響。

關(guān)鍵詞：正交各向異性矩形薄板；多項(xiàng)康氏法；梁特征函數(shù)；正交性條件；半解析解

矩形薄板是土木、航空航天等常用的結(jié)構(gòu)形式，其振動(dòng)一直受到廣泛關(guān)注。對于經(jīng)典的固定、簡支和自由邊界條件，矩形板總共有21種邊界條件組合。其中，對邊簡支的6種邊界組合存在精確解；其它的15種邊界組合，受限于偏微分方程的內(nèi)部耦合，通常認(rèn)為精確解不存在。多年來，國內(nèi)外學(xué)者使用各種方法對非對邊簡支板展開研究，試圖獲得較好的振動(dòng)解，這些方法主要有解析法(例如疊加法[1]和辛方法[2])、數(shù)值法(例如瑞利-里茲法[3]和有限元法)和半解析法(例如康氏法[4]和延展康氏法[5])。一般說來，解析法過程復(fù)雜但結(jié)果精確，數(shù)值法形式簡單但計(jì)算工作量大，而半解析法可以在精度和計(jì)算量之間取得很好的平衡。

康氏法(Kantorovich Method)[4]將變量表示為一個(gè)方向上滿足幾何邊界條件的試函數(shù)和另一方向未知函數(shù)的乘積，通過變分或Galerkin積分求未知函數(shù)的精確解?？凳戏ǖ挠?jì)算精度通常高于瑞利-里茲法，缺點(diǎn)在于計(jì)算精度依賴試函數(shù)。為進(jìn)一步提高計(jì)算精度，延展康氏法(Extended Kantorovich Method)[5]將康氏法中未知函數(shù)的精確解用作新的試函數(shù)，輪換變量，通過反復(fù)迭代求解。其優(yōu)點(diǎn)在于初始試函數(shù)可選擇隨意，不需滿足任何邊界條件，因?yàn)榈鷷?qiáng)制滿足邊界條件。

目前，采用單個(gè)試函數(shù)的康氏法和延展康氏法被用于矩形板的彎曲[6]、屈曲[7]和振動(dòng)[8]等問題。以振動(dòng)問題為例，Jones等[8]采用單項(xiàng)延展康氏法確定四邊固定各向同性薄板的固有頻率；Laura等[9]使用單項(xiàng)康氏法計(jì)算三邊彈性支承一邊自由的變厚度矩形薄板的基頻；梁樞平[10]取梁撓函數(shù)為試函數(shù)，利用單項(xiàng)康氏法求解不同邊界條件和長寬比下各項(xiàng)同性矩形薄板的固有頻率；Bhat等[11]采用單項(xiàng)延展康氏法推導(dǎo)各向同性薄板的特征函數(shù)；Lee等[12]取單個(gè)Timoshenko梁函數(shù)為試函數(shù)，利用延展康氏法分析各向同性矩形厚板的振動(dòng)特性；Sakata等[13]利用單項(xiàng)延展康氏法計(jì)算不同邊界條件、材料模量比和長寬比下正交各向異性薄板的固有頻率；Dalaei等[14]和Bercin[15]分別利用單項(xiàng)延展康氏法計(jì)算四邊固定正交各向異性薄板的固有頻率；Rajalingham等[16]利用單項(xiàng)延展康氏法確定四邊固定各向同性薄板的特征函數(shù)；鐘陽等[17]利用單項(xiàng)延展康氏法推導(dǎo)出彈性地基上四邊自由矩形薄板振動(dòng)的迭代表達(dá)式。

Yuan等指出，采用單項(xiàng)試函數(shù)，康氏法和延展康氏法的精度會受到限制，且不能求解剪切屈曲問題。但是，采用多項(xiàng)試函數(shù)會產(chǎn)生耦合微分方程組的求解困難問題，因此多項(xiàng)康氏法和多項(xiàng)延展康氏法在矩形板振動(dòng)分析中應(yīng)用很少。據(jù)作者所知，Ashour[18]采用多項(xiàng)康氏法研究對邊簡支和對邊固定的單向厚度變化的正交各向異性矩形板振動(dòng)問題；Shufrin等[19-20]以多項(xiàng)式冪級數(shù)為試函數(shù)，采用延展康氏法研究均勻中厚板以及雙向厚度線性變化板的振動(dòng)問題；Pairod等[21]同樣以多項(xiàng)式冪級數(shù)為試函數(shù)，采用延展康氏法計(jì)算正交各向異性階梯矩形薄板的固有頻率。

本文選擇梁特征函數(shù)作為試函數(shù)，使用多項(xiàng)康氏法分析對邊簡支、對邊固定和對邊固定-簡支的正交各向異性矩形薄板的自由振動(dòng)。利用梁特征函數(shù)的正交性，對位移和內(nèi)力作正交分解，引入狀態(tài)向量，通過傳遞矩陣法求解耦合微分方程組。在此基礎(chǔ)上，計(jì)算了15種邊界組合下矩形薄板的前六階無量綱固有頻率，并分析了梁特征函數(shù)的數(shù)目對計(jì)算結(jié)果的影響。

1正交各向異性矩形薄板的振動(dòng)微分方程與邊界條件

正交各向異性矩形薄板的振動(dòng)微分方程可表達(dá)如下

(1)

在x=0和x=a處的邊界條件可表達(dá)為

(2)

而y=0和y=b處的邊界條件可表達(dá)為

(3)

式中下標(biāo),x和,y分別代表對x和y的一階偏導(dǎo)數(shù)。a和b分別為板的長度和寬度。Vx(x,y,t)，Mx(x,y,t)，Vy(x,y,t)和My(x,y,t)為內(nèi)力分量，且

(4)

2特定邊界條件下正交各向異性矩形薄板的半解析解

假設(shè)振動(dòng)為簡諧振動(dòng)，那么

(5)

將式(5)代入式(1)可得

(6)

借助康氏法[18]，頻域位移可表示為以下無限級數(shù)形式

(7)

式中:Yr(y)為y方向的試函數(shù)，而Wr(x;ω)為x方向的未知函數(shù)。在本文中，試函數(shù)取為歐拉-伯努利梁的特征函數(shù)，原因在于：對于對邊簡支、對邊固定以及一邊固定一邊簡支這些特定邊界組合，梁特征函數(shù)能同時(shí)精確滿足y=0和y=b處的板的幾何和自然邊界條件。

梁特征函數(shù)滿足振動(dòng)方程如下[22]

(8)

式中:βk代表梁的頻率參數(shù)。對邊簡支、對邊固定以及一邊固定一邊簡支的梁特征函數(shù)表達(dá)、頻率特征方程和頻率參數(shù)見文獻(xiàn)[3]。

梁特征函數(shù)還滿足正交性條件如下[22]

(9)

式中：b代表梁長，即板寬。

將式(7)代入式(6)可得

D22WrYr,yyyy-ρhω2WrYr]=0

(10)

將式(18)乘以Yk(y)，對y在(0,b)范圍內(nèi)積分，應(yīng)用正交性條件式(9)并整理可得

(D22Pk-ρhω2)Wk=0(k=1,2…∞)

(11)

將式(5)和式(7)代入式(4)可得

(12)

對式(12)中的第一式和第二式乘以Yk(y)，對y積分并應(yīng)用正交性條件可得

僅取前N項(xiàng)梁特征函數(shù)作為試函數(shù)。相應(yīng)地，式(11)整理為矩形形式如下

D11W,xxxx+2(D12+2D66)SW,xx+

(D22P-ρhω2I)W=0

(14)

式中：W={W1(x;ω),…,WN(x;ω)}T。S=[Skr],(k,r=1,2,…,N)， P=diag(P1,…,PN)。 I 和 0 分別為N×N的單位對角陣和N×1的零矩陣。

此外，式(13)整理為矩形形式如下

(15)

式中：V(x;ω)={V1(x;ω),…,VN(x;ω)}T，M(x;ω)={M1(x;ω),…,MN(x;ω)}T。

Z,x(x;ω)=A(ω)Z(x;ω)

(16)

式中

由式(16)，狀態(tài)向量Z(0;ω)和Z(a;ω)的關(guān)系如下

Z(a;ω)=eA(ω)aZ(0;ω)

(17)

式中：eA(ω)a即為傳遞矩陣，它是一個(gè)8×8的分塊矩陣。

由式(2)和式(15)可得，x=0和x=a處板的邊界條件為

(18)

將板的邊界條件式(18)代入式(17)，容易獲得關(guān)于頻率特征方程?？紤]到頻率特征方程為超越方程，可借助Newton-Raphson算法確定各階固有頻率。

3數(shù)值算例分析

表2將15種不同邊界條件下各向同性方板的前六階無量綱固有頻率與文獻(xiàn)[23]進(jìn)行了比較。文獻(xiàn)[23]使用Levy法確定對邊簡支板的固有頻率，使用36項(xiàng)梁特征函數(shù)組合的瑞利-里茲法計(jì)算其它邊界條件板的固有頻率。在本文計(jì)算時(shí)，如無特別說明，取梁函數(shù)項(xiàng)數(shù)為6。比較發(fā)現(xiàn)，本文結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果吻合得非常好。尤其需要說明的是，對邊簡支情況下，本文結(jié)果與Levy法的結(jié)果完全相同，意味著使用S-S梁特征函數(shù)的多項(xiàng)康氏法獲得的對邊簡支板固有頻率是精確解。

表1　材料參數(shù)

表2　不同邊界條件的各項(xiàng)同性方板的無量綱頻率(材料1)

注：a使用S-S梁函數(shù)；b使用C-C梁函數(shù)；c使用C-S梁函數(shù)。

為研究長寬比和梁函數(shù)項(xiàng)數(shù)對正交各向異性S-C-S-C板和S-C-S-S板的前六階無量綱固有頻率影響：表3將長寬比分別為1.0和2.0，梁函數(shù)項(xiàng)數(shù)分別為1～6時(shí)使用C-C梁函數(shù)獲得的S-C-S-C板無量綱頻率與精確解進(jìn)行了比較；表4將長寬比分別為1.0和2.0，梁函數(shù)項(xiàng)數(shù)分別為1～6時(shí)使用C-S梁函數(shù)獲得的S-C-S-S板無量綱頻率與精確解進(jìn)行了比較。其中，S-C-S-C板和S-C-S-S板的精確解分別由使用S-S梁特征函數(shù)的多項(xiàng)康氏法獲得。比較發(fā)現(xiàn)：梁函數(shù)項(xiàng)數(shù)取1，即可獲得非常高精度的基頻；梁函數(shù)項(xiàng)數(shù)取為1～3時(shí)，會出現(xiàn)“漏頻”現(xiàn)象；隨梁函數(shù)項(xiàng)數(shù)的增加，使用C-C梁函數(shù)和C-S梁函數(shù)的多項(xiàng)康氏法求解結(jié)果不斷從上逼近精確解；梁函數(shù)項(xiàng)數(shù)取6時(shí)，使用C-C梁函數(shù)和C-S梁函數(shù)的多項(xiàng)康氏法求解結(jié)果幾乎與精確解完全相同。

表3　截?cái)囗?xiàng)取值對正交各向異性S-C-S-C板的無量綱頻率的影響(材料2)

表4　截?cái)囗?xiàng)取值對正交各向異性S-C-S-S板的無量綱頻率的影響(材料2)

4結(jié)論

針對對邊簡支、對邊固定和對邊固定-簡支的正交各向異性矩形薄板振動(dòng)問題，本文提出一種半解析方法，即多項(xiàng)康氏法。該方法使用梁特征函數(shù)為試函數(shù)，嚴(yán)格滿足一對對邊的所有邊界條件。在此基礎(chǔ)上，通過Galerkin積分將偏微分振動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為常微分方程組。對位移和內(nèi)力進(jìn)行正交分解，借助傳遞矩陣和邊界條件獲得頻率方程，確定固有頻率。研究表明：對于對邊簡支的矩形薄板，由本文方法可獲得精確解；對于對邊固定和對邊固定-簡支的矩形薄板，依據(jù)本文方法可獲得高精度的半解析解?？紤]到振動(dòng)微分方程和邊界條件的相似性，該方法不僅僅適用于各項(xiàng)同性和正交各向異性矩形薄板的振動(dòng)分析，而且可擴(kuò)展用于交叉疊層復(fù)合材料矩形薄板。

參 考 文 獻(xiàn)

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基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(10802047;51279222)；國家留學(xué)基金(201206235020)

收稿日期：2015-05-25修改稿收到日期：2015-09-29

通信作者李志敏 男，博士，副研究員，1974年9月生

中圖分類號:TU33

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.14.003

Semi-analytical approach for the vibration analysis of orthotropic thin rectangular plates

WANG Miao1, CHEN Yong-qiang2, LI Zhi-min3

(1.School of Naval Architecture, Ocean and Civil Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240,China;2.China Academy of Launch Vehicle Technology, Beijing 100076,China;3.School of Mechanical Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

Abstract:The semi-analytical multi-term Kantorovich method (MTKM) was adopted for the vibration analysis of orthotropic thin rectangular plates with two opposite edges both simply-supported, both clamped and one clamped the other simply-supported. Multiple beam characteristic functions were used as trial functions, which can satisfy the boundary conditions on two opposite edges exactly. With the Galerkin integral, the partial differential equation of motion was turned into several ordinary differential equations, which were then rewritten in the form of a space-state equation. Being enforced to satisfy the boundary conditions on the other two opposite edges, the transcendent frequency equation was derived and the non-dimensional frequencies were determined. Good agreements are shown between the present results and those from the references. It is revealed that the results from present method are exact for thin plates with two opposite edges both simply-supported. Moreover, the effect of the term number of trail functions on the non-dimensional frequencies under different aspect ratios was also investigated.

Key words:orthotropic thin rectangular plate; multi-term Kantorovich method; beam characteristic function; orthogonal condition; semi-analytical solution

第一作者 王淼 男，博士，助理研究員，1978年9月生

E-mail：zmli@sjtu.edu.cn