特解法求解無界弦的受迫振動方程

許湘

特解法求解無界弦的受迫振動方程

許湘

（西華師范大學(xué)理論物理研究所，四川南充637009）

一維無界的波動方程，當(dāng)不考慮外力時典，可通過達(dá)朗貝爾公式直接求解。當(dāng)考慮外力時，不能直接運(yùn)用達(dá)朗貝爾公式求解，但是可以通過疊加原理將方程齊次化，進(jìn)而求解。特解法能將無界弦的受迫振動方程轉(zhuǎn)化成無界弦的自由振動方程，進(jìn)而可通過達(dá)朗貝爾公式，快速得到結(jié)果。

波動方程；泊松公式；達(dá)朗貝爾公式

0 引言

有限域在求解泊松方程中有廣泛的應(yīng)用，但是在無界域波動方程，卻很少應(yīng)用。無界弦的受迫振動方程往往采用傅里葉變換法和泊松公式求解，但對于一些簡單的問題可以有更簡單的方法，特解法就是其中一種。本文通過應(yīng)用特解法將無界弦的受迫振動方程轉(zhuǎn)化成無界弦的自由振動方程，進(jìn)而可通過達(dá)朗貝爾公式，快速得到結(jié)果。

1 無界弦的受迫振動方程求解

對于無界弦的受迫振動方程，這是問題歸結(jié)于考慮非齊次方程的定界問題

此方法雖然直接，但是需要計算二重積分，有點(diǎn)麻煩。在有些情況下，無界弦的受迫振動方程可以利用特解法和達(dá)朗貝爾公式來求解。

由特解法求解受迫振動方程的方法及步驟:(1)觀察泛定方程尋求特解.(2)利用疊加原理將非齊次波動方程轉(zhuǎn)化為齊次波動方程.(3)利用達(dá)朗貝爾方程得到結(jié)果。

2 通過實(shí)例說明

例1求解波方程初始

觀察泛定方程右邊只是x的函數(shù)，所以可設(shè)w= w(x)，并且滿足

令u（x，t）=v（x，t）+w(x)=v（x，t）+sinx，則v（x，t）滿足

由達(dá)朗貝爾公式得

因此原問題的解為：

此方法比積分變換法，快速，簡潔。例2求解波方程初始值問題

由達(dá)朗貝爾公式得：

因此原問題的解為：

3 結(jié)論

本文應(yīng)用了特解法在受迫振動中的應(yīng)用，其基本思想是觀察泛定方程的類型，尋找合適的特解，再運(yùn)用疊加原理分解成自由振動方程，進(jìn)而快速求解。這種方法快速容易掌握，是一種好的方法。

[1]梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法[M].4版，北京：高等教育出版社，2010．

[2]戴嘉尊，張魯明.數(shù)學(xué)物理方程[M].2版.南京：東南大學(xué)出版社，2014．

[3]上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)物理方法試題分析與解答[M].上海：上海交通大學(xué)出版社，2013.

The Special Solution of Infinite String of Forced Vibration Equation

XU Xiang
(Institute of Theoretical Physics,China West Normal University,Nanchong,Sichuan 637009 China)

A one-dimensional wave equation with unbounded,when not considering the external force,can be directly solved by D'Alembert formula,When considering the external force,D'Alembert formula can not be used directly,but it can be solved by the superposition principle,and then solved.the special solution of the infinite string of forced vibration equation is transformed into the free vibration equation of infinite string,and then by the Darren Bell formula,fast results.

wave equation;Poisson formula;D'Alembert formula

O175.24;O323

A

1673-1891（2016）01-0021-02

10.16104/j.issn.1673-1891.2016.01.006

2015-10-28

西華師范大學(xué)科研啟動基金（08B057）。

許湘（1981—），男，四川瀘州人，講師，研究方向：理論物理與固體力學(xué)。